Séries chronologiques : recueil dexercices PDF

[PDF] Séries temporelles

stationnaire? Calculer sa fonction d'autocovariance. Solution succincte de l'exercice 1.6 (Processus harmonique). On a. µX(t)

Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices) M1 IM 2023

pour calculer les autocorrela- tions empiriques (voir corrigé du premier TP). Question 2a. La fonction diff.ts(serielag=T

Séries Chronologiques

Feuille d'exercices n˚1 : Introduction aux séries chronologiques. Exercice 1 Série corrigée des variations saisonni`eres. CVS=matrix(118

Séries chronologiques

Les corrigés de la plupart des exercices sont reportés `a la fin du cours. Exercice 1.2 Considérer les séries suivantes : – les premi`eres correspondent aux ...

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Exercice 1. Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n'est pas nécessairement stationnaire.

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Examen du 10/03/2020 corrigé

١٠‏/٠٣‏/٢٠٢٠ Exercice 4 (/12). Un statisticien étudie un jeux de données composé de 4 séries temporelles pour lesquelles il a représenté/calculé les ...

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Exercice Rechercher les séries arrêtées par le filtre moyenne mobile arithmétique. t t = m + 1

Séries Chronologiques

Feuille d'exercices n?1 : Introduction aux séries chronologiques Même questions que l'exercice 3 lorsque l'on consid`ere le mod`ele multiplicatif :.

Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices) M1 IM 2022

Les TP se feront en R les exemples de programmes seront aussi donnés en R. Les corrigés des exercices sur tables sont inclus dans ce polycopié. Pour les

Séries chronologiques

Ce cours est une introduction `a l'étude des séries chronologiques appelées encore Les corrigés de la plupart des exercices sont reportés `a la fin du.

Séries temporelles

On a ?Xt = Xt ? Xt?1 = µ + Zt qui est stationnaire. Exercice 1.4 (Somme de processus stationnaires). Soient X = (Xt) t?Z.

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Séries Chronologiques (Suite et Fin) – Mod`ele Linéaire Gaussien simple (Début) Calculer la série corrigée des variations saisonni`eres (CVSi) aux ...

Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices)

06?/01?/2020 (2) v=rnorm(100 mean = 0

Séries chronologiques : recueil dexercices

b) Calculez la variance de (X1 + X2 + X3 + X4)/4 pour ? = 0.8 et ?2 = 1. Refaites ce calcul pour ? = ?0.8. Exercice 3. Soit la série définie par Xn = ?Xn?2 +

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séries chronologiques »). Données en coupe instantanée. Quand une équation semble plutôt décrire la manière dont différents agents économiques.

Renforcement Séries Chronologiques

n'est pas un processus stationnaire. Exercice 2. Parmi les séries chronologiques suivantes déterminer celles qui sont centrées

Séries Chronologiques

La série corrigée de la tendance. La tendance agit comme une forte corrélation entre les variables Xt mais cette corrélation n'exprime aucune liaison `a caract`

Série de TD n 3 sur les séries chronologiques et le corrigé type

Série de TD n 3 sur les séries chronologiques et le corrigé type 3 2/détermination de la droite y(t) = f(t) = at + b On doit déterminer les coefficients « a » et « b » Dans ce deuxième exercice on va opter pour la formule de définition de la variance On aura a = ?(???? ?(???? 2 /N et ????? =?????

S´eries chronologiques : recueil d’exercices - univ-lillefr

S´eries Chronologiques - univ-toulousefr

chronologiques multidimensionelles c’est a dire telles que X t soit un vecteur de Rd Les Figures 1 et 2 pr´esentent di?´erents exemples de s´eries chronologiques 1 1 2 Description d’une s´erie chronologique On consid`erequ’une s´eriechronologique(X t) est la r´esultatntede di?´erentes composantesfondamentales :

EXERCICES SUR LES SÉRIES CHRONOLOGIQUES - maths-sciencesfr

l) Tracer le diagramme de la série chronologique correspondante On numérotera les mois des années 1 et 2 de 1 à 24 2) Que peut-on penser de la tendance générale du chiffre d'affaires ? 3) Déterminer le chiffre d'affaires prévisionnel pour l'année 3 sachant qu'il est en augmentation de 8 sur le chiffre d'affaires de l'année 2

S´eries Chronologiques - univ-toulousefr

MI00141X - S´eries chronologiques Feuille d’exercices n?1 : Introduction aux s´eries chronologiques Exercice 1 Montrer si les suites ci-dessous sont p´eriodiques ou de somme nulle (et discuter selon les valeurs de a et de b) : 1 ?t ? Z s t = acos(2?t p); 2 ?t ? Z s 2t = a et s 2t+1 = b avec a et b deux r´eels; 3 ?t ? Z s

Séries chronologiques (avec R - unicefr

Séries chronologiques (avec R Séries chronologiques (avec R) (Cours et exercices) M1 IM 2022-2023 Sylvain Rubenthaler Table des matières Préface iii Chapitre1 Introduction 1 1 1 Tendancesetcomposantessaisonnières 2 1 2 Indicesdescriptifsd’unesérietemporelle 2 1 3 Feuilled’exercicesnuméro1(durée:3h) 4 1 4 Corrigé de la

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MI0B246X - S´eries chronologiques Feuille d’exercices n?1 : Processus stationnaires AR et MA Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n’est pas n´ecessairement stationnaire Soit (?t)t?Z un bruit blanc; v´eri?er que les processus d´e?nis par : Xt = ?t ?t? Z et

CHAPITRE IV Séries chronologiques - Sidi Mohamed Ben

CHAPITRE IV: Séries chronologiques I- Généralités 1) Définition On appelle « série chronologique » toutes suite temporelle d’observations chiffrées les observations sont effectuées à des intervalles de temps réguliers (années mois jours ) On notera par xt la valeur prise par la grandeur X à la date t et par T

Chapitre 8 ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES

Chapitre 8 page 6 Analyse des séries chronologiques Théorème : si la tendance d’une série chronologique xt est linéaire et a pour équation ct = ? t + ? les moyennes mobiles centrées ont pour tendance la même droite et en sont d’autant plus proches que la longueur des moyennes mobiles est élevée

COURS SUR LES SERIES CHRONOLOGIQUES Bac Pro tert

LES SÉRIES CHRONOLOGIQUES I) Exemples de séries chronologiques Définition On appelle série chronologique est une série statistique à deux variables dont l’une le temps est reporté sur l’axe des abscisses Suivant la nature du problème étudié le temps peut être exprimé en jours en mois trimestres ou années Exemple 1 :

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311 02- Les Séries Chronologiques Exercices 2-2 c Exercice N°4 : L’entreprise Infojet spécialisée dans la vente de logiciels éducatifs souhaite faire une étude de son chiffre d’affaires Les relevés de ces chiffres d’affaires semestriels des trois années antérieures sont consignés dans le tableau suivant : Année 1

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Exercice 5 Les sommes suivantes sont-elles finies ? ? ?() (? ?) ? ( )( ) Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6 Existence et calcul de : ? ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7 (Soit )une suite de réels positifs et Montrer que les séries et sont de même nature

Qu'est-ce que les séries chronologiques ?

Ce genre de données est bien connu en économie : la quasi-totalité des indices de prix, de production etc. sont cal-culés régulièrement par l’INSEE ou d’autres établissements constituent et ce que l’on appelle des séries chronologiques.

Comment calculer la série chronologique ?

on calcule les différences entre les observations et les moyennes mobiles ; on calcule la moyenne ou la médiane sj’ des différences de chaque colonne du tableau ; on calcule la moyenne ms' de ces valeurs sj' ; on obtient les estimations sj en centrant les valeurs sj’ : sj = sj' – ms'. 2.2 Modèle multiplicatif de série chronologique.

Quels sont les différents modèles de série chronologique ?

Un modèle de série chronologique est une équation précisant la façon dontes l compo-santes s’articulent les unes par rapport aux autres pour constituer la série chronologique. Il existe de très nombreux modèles, et parmi eux deux modèles classiques simples : le modèle additif et le modèle multiplicatif, auxquels nous nous limiterons.

Qu'est-ce que la série chronologique?

On appelle « série chronologique » toutes suite temporelle d’observations chiffrées, les observations sont effectuées à des intervalles de temps réguliers (années, mois, jours,…). On notera par x ? t? la valeur prise par la grandeur X à la date t et par T la date de la dernière observation.

S´eries chronologiques : recueil d"exercices

R. S. Stoica

Universit´e Lille 1

Laboratoire Paul Painlev´e

59655 Villeneuve d"Ascq Cedex, France

radu.stoica@math.univ-lille1.fr

Septembre, 2009

21 IntroductionLes exercices de ce recueil ont servi pendant trois ans, comme support pour

les heures des travaux dirig´es et des travaux pratiques quicompl´etaient le cours "Pr´evisions dans les s´eries chronologiques", donn´e aux ´etudiants en derni`ere ann´ee de master pro par Marie-Claude Viano, puispar Thomas Simon. Marie-Claude Viano a beaucoup am´elior´e la qualit´e des ´enonc´es du point de vue de la rigueur math´ematique, de la logique et de l"orthographe.

Je tiens la remercier pour tous ses efforts.

Je serai ´egalement reconnaissant au lecteur qui aura bien la gentillesse de me signaler les eventuelles fautes trouv´ees dans le texte.Ceci, malgr´e mon orgueil un peu touch´e, ne fera qu"am´eliorer la qualit´e dece document. Ce recueil regroupe des exercices qui se trouvent majoritairement dans [1, 3,

2]. Le choix de ces exercices a ´et´e fait en fonction des objectifs du cours : fa-

miliariser l"´etudiant avec les s´eries chronologiques, d´etecter et travailler avec les tendances d"une s´erie temporelle, manipuler les mod`eles de type ARMA, utiliser la fonction de corr´elation et de corr´elation partielle en vue de la mod´elisation et finalement, effectuer et ´evaluer une pr´ediction qui s"appuie sur un mod`ele attach´e `a la s´erie observ´ee. Le logiciel utilis´e pendant les s´eances des travaux pratiques a´et´eR, disponible `a partir du sitehttp://www.r-project.org/. Les donn´ees r´eelles sur lesquel- les nous avons travaill´e sont accessibles `a partir du site http://www.statsci.org/. Pour terminer, je voudrais remercier ´egalement tous les coll`egues qui met- tent en libre acc`es sur leurs pages Web leurs ressources p´edagogiques. 3

2 Exercices pour les travaux dirig´es

Exercice 1.SoitXetYdeux variables al´eatoires avecE[Y] =μetE[Y2]< a) Montrez que la constantec=μminimiseE[(Y-c)2]. b) D´eduisez-en que la variable al´eatoiref(X) qui minimiseE[(Y-f(X))2|X] estf(X) =E[Y|X]. c) Prouvez que la variable al´eatoire qui minimiseE[(Y-f(X))2] est aussi f(X) =E[Y|X]. Exercice 2.Soit la s´erie d´efinie parXn=Zn+θZn-2, avecnentier, {Zn} ≂BB(0,σ2) etθune constante r´eelle positive. a) On noteρX(h) =Cov(XnXn-h). CalculezρX(h). b) Calculez la variance de (X1+X2+X3+X4)/4 pourθ= 0.8 etσ2= 1.

Refaites ce calcul pourθ=-0.8.

Exercice 3.Soit la s´erie d´efinie parXn=φXn-2+Zn, avecnentier, {Zn} ≂BB(0,σ2) et|φ|<1.{Xn}est stationnaire.{Zn}et{Xm}ne sont pas corr´el´ees pourm < n. a) CalculezρX(h). b) Calculez la variance de (X1+X2+X3+X4)/4 pourφ= 0.9 etσ2= 1.

Refaites ce calcul pourφ=-0.9.

Exercice 4.Sur l"ensemble des suites, on d´efinit l"op´erateur diff´erence premi`ere ?par (?x)n=xn-xn-1. Sixn=?pk=0cknkavecn?V, montrez que (?x)nest un polynˆome de degr´ep-1 et que (?p+1x)n= 0. Exercice 5.Soient{x1,x2,...,xn}les valeurs observ´ees d"une s´erie tem- porelle et ˆρn(h) la fonction d"auto-corr´elation empirique. Prouvez que : a) Sixt=a+bt, o`uaetb?= 0 sont des constantes, montrez que pourhfix´e lim n→∞ˆρn(h) = 1 b) Sixt=ccos(ωt) o`uc?= 0 etω?(-π,π] sont des constantes, montrez que pourhfix´ee limn→∞ˆρn(h) =cos(ωh)

4Rappels peut ˆetre utiles ...E[Y] =E[E[Y|X]]

Cov(aX+bY,cU+dV) =acCov(X,U) +adCov(X,V) +bcCov(Y,U) + bdCov(Y,V)

?nk=1k2=n(n+1)(2n+1)

6 Exercice 6.L"op´eration qui `a la suiteunassocie la suitevn=?qj=-qajun-j s"appelle filtrage. Soit le filtre (moyenne mobile) donn´e par les coefficients a a) Simn=c0+c1n, montrez que?qj=-qajmn-j=mn. b) SiZn,n= 0,±1,±2,...sont des v.a. ind´ependantes de moyenne nulle et varianceσ2, montrez que la moyenne mobileAn=?qj=-qajZn-jest "petite" pourqgrand, c"est `a direE[An] = 0 etV ar[An] =σ2 2q+1. Exercice 7.AetBsont des variables al´eatoires non-corr´el´ees etωest une fr´equence de valeur fix´ee dans l"intervalle [0,π]. Montrez que le processus X t=Acosωt+Bsinωtest stationnaire et calculez son esp´erance et sa fonc- tion d"auto-covariance.

Exercice 8.

a) Calculez la fonction d"auto-covariance de la s´erie temporelleXt=Zt+

0.3Zt-1-0.4Zt-2avec{Zt} ≂BB(0,1).

b) Calculez la fonction d"auto-covariance de la s´erie temporelleYt=Wt-

1.2Wt-1-1.6Wt-2avec{Wt} ≂BB(0,0.25).

c) Comparez les r´esultats obtenus. Exercice 9.Trouvez des s´eries temporelles ayant comme fonction d"auto- covariance les fonctions suivantes : a)σ(h) = 1, h= 0,±1,±2,... b)σ(h) = (-1)|h|, h= 0,±1,±2,... c)σ(h) = 1 + cos?πh

2?+ cos?πh4?, h= 0,±1,±2,...

σ(h) =???1 sih= 0

0.4 sih=±1

0 sinon

Exercice 10.SoitX1,X2,...une s´erie stationnaire de moyenneμet fonction d"auto-corr´elationρ(·). Montrez que le meilleur pr´edicteur deXn+hde la 5 formeaXn+best obtenu pour les valeursa=ρ(h) etb=μ(1-ρ(h)). Exercice 11.Montrez que l"´equation auto-r´egressive X t=φXt-1+Zt, t= 0,±1,±2,... avecZt≂BB(0,σ2) et|φ|= 1 n"a pas de solution stationnaire.

Exercice 12.Montrez que

1-φz=-∞?

j=1φ -jz-j pour|φ|>1 et|z|>1. Exercice 13.Soit{Yt}la s´erie temporelle form´ee par l"addition d"un mod`ele

AR(1) et d"un bruit

Y t=Xt+Wt o`uXt=φXt-1+Zt,{Zt} ≂BB(0,σ2z),|φ|<1 etXsetZtnon-corr´el´ees pours < t. Nous avons ´egalement{Wt} ≂BB(0,σ2w) etE[WsZt] = 0 pour tous less,t. a) Montrez que{Yt}est stationnaire et calculez sa fonction de covariance. b) Montrez que la s´erieUt=Yt-φYt-1peut ˆetre r´epresent´ee par un mod`ele

MA(1).

c) Est-ce que d"apr`es le point pr´ec´edent nous pouvons dire que{Yt}est un mod`eleARMA(1,1) ? Dans le cas affirmatif, trouvez ses param`etres en sachantφ= 0.5,σ2w= 0.25 etσ2z= 1. Exercice 14.Est-ce que les mod`eles ARMA consid´er´es sont bien d´efinis? a)Xt+ 0.2Xt-1-0.48Xt-2=Zt b)Xt+ 1.9Xt-1+ 0.88Xt-2=Zt+ 0.2Zt-1+ 0.7Zt-2 c)Xt+ 0.6Xt-1=Zt+ 1.2Zt-1 d)Xt+ 1.8Xt-1+ 0.81Xt-2=Zt e)Xt+ 1.6Xt-1=Zt-0.4Zt-1+ 0.04Zt-2

Ici{Zt} ≂BB(0,σ2).

Exercice 15.Calculez la fonction de corr´elation de la s´erie temporelle suiv- ante : X t+ 0.2Xt-1-0.48Xt-2=Zt

6(contentez vous de calculer les premi`eres valeurs)Exercice 16.Calculez la fonction de corr´elation du processus

X t= 0.8Xt-3+Zt avec{Zt} ≂BB(0,σ2). Exercice 17.Montrez que pourh= 2 la valeur du co´efficient d"auto- corr´elation partielleα(h) du mod`eleMA(1) X t=Zt+θZt-1, t= 0,±1,±2,... avec{Zt} ≂BB(0,σ2) est

α(2) =-θ2

1 +θ2+θ4.

Exercice 18.Soit{Xt},t= 0,±1,±2,...une s´erie stationnaire d´efinie par X t=φ1Xt-1+...+φpXt-p+Zt avec{Zt} ≂BB(0,σ2) etE[ZtXs] = 0 pour chaques < t. a) Montrez que le meilleur pr´edicteur lin´eaire deXn+1en fonction de (on supposen > p). b) Quelle est l"erreur quadratique moyenne de?Xn+1?

Exercice 19.Soit le mod`eleAR(2)

X n-aXn-1-a2Xn-2=?n,?n avec{?n} ≂BB(0,σ2). a) Donner une condition suffisante surapour qu"il existe un processus sta- tionnaire centr´e (Xn). b) Donner les expressionsσ(0),ρ(1) etρ(2) en fonction de deux param`etres aetσ2, et en d´eduire une expression simple de a en fonction des auto- corr´elations ... c) Pr´eciser les valeurs, en fonction dea, des coefficientsr(h), (h= 1,2,...). 7

3 Exercices pour les travaux pratiques

Exercice 1.Simuler une s´erie temporelle form´ee de variables normales i.i.d. de param`etres : a)μ= 0 etσ2= 1, b)μ= 0 etσ2= 4; c) Regardez l"auto-corr´elation et la covariance des simulations obtenues ; interpr´etez. Indication : help(plot), help(rnorm), help(acf), windows() or x11() et aussi par(mfrow=c(2,1)) Exercice 2.Fabriquer des donn´ees simul´ees : a) Dessinez la droitem1=at+bet la sinuso¨ıdes50= 250sin(2πt

T) avec

a= 0.5,b= 1.0 etT= 50. On prendrat?[0,999]. b) Rajoutez un bruitN(0,10) `a la droite et `a la sinuso¨ıde, respectivement ; regardez les fonction d"auto-corr´elation respectives enfaisant varier l"´ecart type du bruit ; interpr´etez. c) Rajoutez la droite, la sinuso¨ıde, puis le bruit ; regardez les fonctions d"auto-corr´elation respectives ; interpr´etez.quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

[PDF] Séries chronologiques : recueil dexercices

Qu'est-ce que les séries chronologiques ?

Comment calculer la série chronologique ?

Quels sont les différents modèles de série chronologique ?

Qu'est-ce que la série chronologique?

S´eries chronologiques : recueil d"exercices

R. S. Stoica

Universit´e Lille 1

Laboratoire Paul Painlev´e

59655 Villeneuve d"Ascq Cedex, France

Septembre, 2009

21 IntroductionLes exercices de ce recueil ont servi pendant trois ans, comme support pour

Je tiens la remercier pour tous ses efforts.

2]. Le choix de ces exercices a ´et´e fait en fonction des objectifs du cours : fa-

2 Exercices pour les travaux dirig´es

Refaites ce calcul pourθ=-0.8.

Refaites ce calcul pourφ=-0.9.

4Rappels peut ˆetre utiles ...E[Y] =E[E[Y|X]]

?nk=1k2=n(n+1)(2n+1)

Exercice 8.

0.3Zt-1-0.4Zt-2avec{Zt} ≂BB(0,1).

1.2Wt-1-1.6Wt-2avec{Wt} ≂BB(0,0.25).

2?+ cos?πh4?, h= 0,±1,±2,...

σ(h) =???1 sih= 0

0.4 sih=±1

0 sinon

Exercice 12.Montrez que

1-φz=-∞?

AR(1) et d"un bruit

MA(1).

Ici{Zt} ≂BB(0,σ2).

6(contentez vous de calculer les premi`eres valeurs)Exercice 16.Calculez la fonction de corr´elation du processus

α(2) =-θ2

1 +θ2+θ4.

Exercice 19.Soit le mod`eleAR(2)

3 Exercices pour les travaux pratiques

T) avec

4Rappels peut ˆetre utiles ...E[Y] =E[E[Y|X]]

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