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CHAPITRE I TRIGONOMETRIE - Lycée Michel Rodange

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NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 1

Résoudre surRles équations suivantes :

1)sin2x=34

2)cos2x=12

3)sin(2x) = cos(x).D. LE FUR 1/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 2

1)Simplifier au maximum les expressions suivantes :

a)A(x) = cos(x+)sin2 x sin2(x); b)B(x) = tan(x+)tanxpourx2i 2 ;2 h c)C(x) = sin2 x2 + sin(x):sin(x); d)D(x) = sin3 +x sin3 x

2)Démontrer que pour toutx2R:

sin 3 +x sin3 x =34 sin2x:

Généralisation :

sin(a+b)sin(ab) = sin2asin2b:D. LE FUR 2/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 3

En utilisant les formules d"addition, calculer la valeur exacte desin712 etcos712

On pourra utiliser l"égalité :

712
=4 +3 :D. LE FUR 3/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 4

Démontrer que, pour tout réelx:

cos

4xsin4x= cos(2x):D. LE FUR 4/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 5

Démontrer que, pour tout réelxdifférent dek2 aveck2Z: sin(3x)sinxcos(3x)cosx= 2:D. LE FUR 5/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 6

Démontrer que la représentation graphique de la fonctionfdéfinie surRpar : f(x) = cos(2x) + sinx1 est située entre les droites d"équationy=3ety= 1.

IllustrationO

(Cf)65432101234564321012

D. LE FUR 6/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 7

Résoudre dansRl"équation :

2sin

3x17sin2x+ 7sinx+ 8 = 0:D. LE FUR 7/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 8

1)est un angle situé dans l"intervalle];[dont on sait quecos=p3

2 etsin=12

Que vauten radians?

2)est un angle situé dans l"intervalleh2

;i tel quesin=45

Calculercosettan.

3)est un angle situé dans l"intervalle]; 0]tel quecos=23

Calculersinettan.

4)est un angle situé dans l"intervalle]; 0]tel quetan= 2.

Calculercosetsin.D. LE FUR 8/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 9

Résoudre dans];[les équations suivantes :

1)2cos3x7cos2x+ 2cosx+ 3 = 0;

2)2sin3x+ cos2x5sinx3 = 0.D. LE FUR 9/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 10

Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante :tan8 =p21. On rappelle quetanx=sinxcosxpour toutx2DoùD=Rnn2 +koùk2Zo

1)Démontrer que pour toutx2D:

tan(x+) = tanx:

En déduire la valeur exacte detan98

2)Démontrer que pour toutx2D:

1 + tan

2x=1cos

2x:

En déduire la valeur exacte decos8

puis desin8

3)Calculer la valeur exacte decos58

.D. LE FUR 10/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 11

Résoudre dans];]l"équation :sin(2x) = cos(x).D. LE FUR 11/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 12

Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on considère les pointsAetBdont lescoordonnées polairessont :

A(2 ;0)B

2 ;6 On considère également le pointCdont lecoordonnées cartésiennessont :C(p3 ;1).

1)Préciser, sans justification, les coordonnées cartésiennes deA.

2)Calculer les coordonnées cartésiennes deB.

3)Calculer les coordonnées polaires deC.

4)Justifier que les pointsA,BetCsont sur un même cercle de centreOdont on précisera le rayon.

5)Placer précisément les pointsA,BetCsur une figure.

6)Quelle est la nature du triangleABC? Justifier.Illustration

D. LE FUR 12/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 13

Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante :tan12 = 2p3.

1)Soitx2i

0 ;2 h . Démontrer que : tan2 x =1tanx:

2)En déduire que :

tan512 = 2 +p3:D. LE FUR 13/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 14

1)R´soudre dans];[l"équation :

sinx= sin(2x): Représenter les éventuelles solutions sur le cercle trigonométrique.

2)Existe-t-il un angle aigunon nol ayant même sinus que2?D. LE FUR 14/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 15

Dans cet exercice, on donne :

cos5 =1 +p5 4

Calculer la valeur exacte decos25

puis decos35 .D. LE FUR 15/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 16

1)Démontrer que, pour toutx2i

0 ;2 h tanx=1cos(2x)sin(2x):

2)En déduire les valeurs exactes detan8

et detan12 .D. LE FUR 16/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 17

ABCest un triangle non rectangle.

1)Démontrer que :

tan(bA+bB) =tan(bC):

2)A l"aide de la relation :tan(a+b) =tana+ tanb1tanatanb(que l"on pourra démontrer au passage), prouver que :

tan(bA) +tan(bB) +tan(bC) =tan(bA):tan(bB):tan(bC):D. LE FUR 17/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 18

Soitfla fonction définie surRpar :

f(x) =sinx1 + cos 2x:

1)Etudier la parité def.

2)Démontrer quefest2-périodique.

3)Calculer la dérivéef0def. En déduire le tableau de variations defsur[0 ;].

4)Résoudre dansRl"équationf(x) =p2

IllustrationO

(Cf)6543210123456432101234

D. LE FUR 18/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 19

Soitfla fonction définie surRpar :

f(x) = 3sin(4x)1:

1)Calculer la période de la fonctionf.

2)Calculer sa dérivéef0.

3)Résoudre dansh

0 ;2 i l"équationf0(x) = 0.

4)Donner le tableau de variation defsurh

0 ;2 i

IllustrationO(Cf)65432101234565432101234

D. LE FUR 19/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 20

Soitfla fonction définie suri

2 ;2 h par : f(x) =1cosx:

1)Etudier la parité def.

2)Calculer la dérivéef0def. En déduire le tableau de variations defsurh

0 ;2 h

3)Résoudre dansi

2 ;2 h l"équationf(x) =p2.

IllustrationO(Cf)

1 0 1 8 7

654321012345678

D. LE FUR 20/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 21

Soitfla fonction définie surRpar :

f(x) = 2sin2x+ 4sinx+ 2:

1)Démontrer quefest-périodique.

2)Calculer la dérivéef0def.

3)Dresser le tableau de variations defsur[0 ;].

4)Résoudre surRl"équationf(x) = 0.

IllustrationO(Cf)

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 9 8 7 6 5

43210123456789

D. LE FUR 21/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 22

Résoudre dans];]les équations suivantes.

1)cosx=p2

2)sinx=p3

2 .D. LE FUR 22/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 23

Pour chacune des inéquations suivantes, on demande : de placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants à ces solutions, de donner la mesure principale associée à chacun de ces points, de donner toutes les solutions dans ];].

1)sinx612

2)cosx <12

.D. LE FUR 23/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 24

Résoudre dansRl"équation :2cos2x+ cosx1 = 0.

On pourra poserX= cosx.D. LE FUR 24/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 25

1)ExprimerE(x)etF(x)en fonction decosxet/ousinx.

E(x) = cos2

x + sin(x) + sin(+x)

F(x) = cos52

x + sin92 x + sin(x+ 19)

2)Simplifier l"expressionG:

G= cos8

+ cos38 + cos78quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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Quels sont les exercices de trigonométrie?

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1)sin2x=34

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1)Simplifier au maximum les expressions suivantes :

2)Démontrer que pour toutx2R:

Généralisation :

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Exercice 3

On pourra utiliser l"égalité :

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Exercice 4

Démontrer que, pour tout réelx:

4xsin4x= cos(2x):D. LE FUR 4/ 50

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Exercice 5

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 6

IllustrationO

D. LE FUR 6/ 50

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 7

Résoudre dansRl"équation :

3x17sin2x+ 7sinx+ 8 = 0:D. LE FUR 7/ 50

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Exercice 8

1)est un angle situé dans l"intervalle];[dont on sait quecos=p3

Que vauten radians?

2)est un angle situé dans l"intervalleh2

Calculercosettan.

3)est un angle situé dans l"intervalle]; 0]tel quecos=23

Calculersinettan.

4)est un angle situé dans l"intervalle]; 0]tel quetan= 2.

Calculercosetsin.D. LE FUR 8/ 50

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Exercice 9

Résoudre dans];[les équations suivantes :

1)2cos3x7cos2x+ 2cosx+ 3 = 0;

2)2sin3x+ cos2x5sinx3 = 0.D. LE FUR 9/ 50

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1)Démontrer que pour toutx2D:

En déduire la valeur exacte detan98

2)Démontrer que pour toutx2D:

1 + tan

2x=1cos

En déduire la valeur exacte decos8

3)Calculer la valeur exacte decos58

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Exercice 11

NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S

Exercice 12

A(2 ;0)B

1)Préciser, sans justification, les coordonnées cartésiennes deA.

2)Calculer les coordonnées cartésiennes deB.

3)Calculer les coordonnées polaires deC.

4)Justifier que les pointsA,BetCsont sur un même cercle de centreOdont on précisera le rayon.

5)Placer précisément les pointsA,BetCsur une figure.

6)Quelle est la nature du triangleABC? Justifier.Illustration

D. LE FUR 12/ 50

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Exercice 13

1)Soitx2i

2)En déduire que :

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1)R´soudre dans];[l"équation :

2)Existe-t-il un angle aigunon nol ayant même sinus que2?D. LE FUR 14/ 50

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Exercice 15

Dans cet exercice, on donne :