[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Ce chapitre est consacré à l"ensembleRnvu comme espace vectoriel. Il peut être vu de plusieurs façons :

un cours minimal sur les espaces vectoriels pour ceux qui n"auraient besoin que deRn, une introduction avant d"attaquer le cours détaillé sur les espaces vectoriels, une source d"exemples à lire en parallèle du cours sur les espaces vectoriels.

1. Vecteurs deRn

1.1. Opérations sur les vecteurs

L"ensemble des nombres réelsRest souvent représenté par une droite. C"est un espace de dimension 1.

Le plan est formé des couplesx1x2de nombres réels. Il est notéR2. C"est un espace à deux dimensions.

L"espace de dimension 3 est constitué des triplets de nombres réels€ x1x2x3Š . Il est notéR3.Le symbole

€x1x2x3Š

a deux interprétations géométriques : soit comme un point de l"espace (figure de gauche), soit

comme un vecteur (figure de droite) :0 @x 1 x 2 x 31
A0 @x 1 x 2 x 31
A

On généralise ces notions en considérant des espaces de dimensionnpour tout entier positifn=1,2,3,4, ...Les

éléments de l"espace de dimensionnsont lesn-uples x1x2...xn! de nombres réels. L"espace de dimensionnest notéRn.

Comme en dimensions 2 et 3, len-uple

x1x2...xn! dénote aussi bien un point qu"un vecteur de l"espace de dimensionn.

Soientu=

u1u2...un! etv= v1v2...vn! deux vecteurs deRn. L"ESPACE VECTORIELRn1. VECTEURS DERn2Définition 1. Somme de deux vecteurs.Leur somme est par définition le vecteuru+v=0 B @u

1+v1...

u n+vn1 C A. Produit d"un vecteur par un scalaire.Soit2R(appelé unscalaire) :u=0 B @u1... un1 C A.

Levecteur nuldeRnest le vecteur 0=

0...0

L"opposédu vecteuru=‚

u1...unŒ est le vecteuru=‚ u1...unŒ .Voici des vecteurs dansR2(ici=2) :uu

vu+vuDans un premier temps, vous pouvez noter~u,~v,~0au lieu deu,v,0. Mais il faudra s"habituer rapidement à la notation

sans flèche. De même, siest un scalaire etuun vecteur, on notera souventuau lieu deu.Théorème 1.

Soient u=‚

u1...unŒ , v=‚ v1...vnŒ et w=‚ w1...wnŒ des vecteurs deRnet,2R. Alors : 1. u +v=v+u 2. u +(v+w) = (u+v)+w 3. u +0=0+u=u 4. u +(u) =0

5.1u=u

6.(u) = ()u

7.(u+v) =u+v

8.(+)u=u+u

L"ESPACE VECTORIELRn1. VECTEURS DERn3u

vv u

u+vChacune de ces propriétés découle directement de la définition de la somme et de la multiplication par un scalaire.

Ces huit propriétés font deRnunespace vectoriel. Dans le cadre général, ce sont ces huit propriétés qui définissent

ce qu"est un espace vectoriel.

1.2. Représentation des vecteurs deRn

Soitu=

‚u1...unŒ

un vecteur deRn. On l"appellevecteur colonneet on considère naturellementucomme une matrice

de taillen1. Parfois, on rencontre aussi desvecteurs lignes: on peut voir le vecteurucomme une matrice1n, de

la forme(u1,...,un). En fait, le vecteur ligne correspondant àuest le transposéuTdu vecteur colonneu.

Les opérations de somme et de produit par un scalaire définies ci-dessus pour les vecteurs coïncident parfaitement

avec les opérations définies sur les matrices : u+v=0 B @u 1... u n1 C A+0 B @v 1... v n1 C A=0 B @u

1+v1...

u n+vn1 C

Aetu=0

B @u 1... u n1 C A=0 B @u1... un1 C A.

1.3. Produit scalaire

Soientu=‚

u1...unŒ etv=‚ v1...vnŒ deux vecteurs deRn. On définit leurproduit scalairepar hujvi=u1v1+u2v2++unvn.

C"est un scalaire (un nombre réel). Remarquons que cette définition généralise la notion de produit scalaire dans le

planR2et dans l"espaceR3.

Une autre écriture :

hujvi=uTv=u1u2un0 B BB@v 1 v 2... v n1 C CCA

SoientA= (aij)une matrice de taillenp, etB= (bij)une matrice de taillepq. Nous savons que l"on peut former

le produit matricielAB. On obtient une matrice de taillenq. L"élément d"indiceijde la matriceABest

a i1b1j+ai2b2j++aipbpj. Remarquons que ceci est aussi le produit matriciel : ai1ai2aip0 B BB@b 1j b 2j... b pj1 C CCA.

L"ESPACE VECTORIELRn2. EXEMPLES D"APPLICATIONS LINÉAIRES4Autrement dit, c"est le produit scalaire dui-ème vecteur ligne deAavec lej-ème vecteur colonne deB. Notons

`1,...,`nles vecteurs lignes formant la matriceA, etc1,...,cqles vecteurs colonnes formant la matriceB. On a alors

AB=0 B

BB@h`1jc1i h`1jc2i h`1jcqi

h`2jc1i h`2jc2i h`2jcqi h`njc1i h`njc2i h`njcqi1 C

CCA.Mini-exercices.

1. F aireun dessin pour chacune des 8 propriétés qui font de R2un espace vectoriel. 2.

F airela même chose pour R3.

3. Montrer que le produit scalaire vérifiehujvi=hvjui,hu+vjwi=hujwi+hvjwi,hujvi=hujvipour toutu,v,w2Rnet2R. 4.

Soit u2Rn. Montrer quehujui>0. Montrerhujui=0 si et seulement siuest le vecteur nul.2. Exemples d"applications linéaires

Soient

f

1:Rp!Rf2:Rp!R...fn:Rp!R

nfonctions depvariables réelles à valeurs réelles; chaquefiest une fonction : f i:Rp!R,(x1,x2,...,xp)7!fi(x1,...,xp)

On construit une application

f:Rp!Rn définie par f(x1,...,xp) =f1(x1,...,xp),...,fn(x1,...,xp).

2.1. Applications linéairesDéfinition 2.

Une applicationf:Rp!Rndéfinie parf(x1,...,xp) = (y1,...,yn)est dite uneapplication linéairesi8>>><

>>:y

1=a11x1+a12x2++a1pxp

y

2=a21x1+a22x2++a2pxp............

y n=an1x1+an2x2++anpxp.En notation matricielle, on a f0 B BB@x 1 x 2... x p1 C CCA=0 B BB@y 1 y 2... y n1 C CCA=0 B BB@a

11a12a1p

a

21a22a2p.........

a n1an2anp1 C CCA0 B BB@x 1 x 2... x p1 C CCA, ou encore, si on noteX=0 B @x 1... x p1 C

AetA2Mn,p(R)la matrice(aij),f(X) =AX.

Autrement dit, une application linéaireRp!Rnpeut s"écrireX7!AX. La matriceA2Mn,p(R)est appelée lamatrice

de l"application linéairef. L"ESPACE VECTORIELRn2. EXEMPLES D"APPLICATIONS LINÉAIRES5

Remarque.

•On a toujoursf(0,...,0) = (0,...,0). Si on note0pour le vecteur nul dansRpet aussi dansRn, alors une

application linéaire vérifie toujoursf(0) =0.

Le nom complet de la matriceAest : la matrice de l"application linéairefde la base canonique deRpvers la base

canonique deRn!

Exemple 1.

La fonctionf:R4!R3définie par8

:y

1=2x1+5x2+2x37x4

y

2=4x1+2x23x3+3x4

y

3=7x13x2+9x3

s"exprime sous forme matricielle comme suit : 0 @y 1 y 2 y 31
A =0 @2 5 27

4 23 3

73 9 01

A0 B B@x 1 x 2 x 3 x 41
C CA.

Exemple 2.

Pour l"application linéaire identitéRn!Rn,(x1,...,xn)7!(x1,...,xn), sa matrice associée est l"identitéIn(car

InX=X).

Pour l"application linéaire nulleRp!Rn,(x1,...,xp)7!(0,...,0), sa matrice associée est la matrice nulle0n,p

(car 0 n,pX=0).

2.2. Exemples d"applications linéaires

Réflexion par rapport à l"axe(Oy)

La fonction

f:R2!R2x y 7!x y est la réflexion par rapport à l"axe des ordonnées(Oy), et sa matrice est1 0 0 1 car1 0 0 1 x y =x y .xy x y x yO

Réflexion par rapport à l"axe(Ox)

La réflexion par rapport à l"axe des abscisses(Ox)est donnée par la matrice1 0 01 L"ESPACE VECTORIELRn2. EXEMPLES D"APPLICATIONS LINÉAIRES6xy x y x yO

Réflexion par rapport à la droite(y=x)

La réflexion par rapport à la droite(y=x)est donnée par f:R2!R2,x y 7!y x et sa matrice est 0 1 1 0 .xy x y y x(y=x)O

Homothéties

L"homothétie de rapportcentrée à l"origine est : f:R2!R2,x y 7!x y

On peut donc écrirefxy=00

xy. Alors la matrice de l"homothétie est :0 0 L"ESPACE VECTORIELRn2. EXEMPLES D"APPLICATIONS LINÉAIRES7xy x y x yO

Remarque.

La translation de vecteuru0v0est l"application

f:R2!R2,x y 7!xquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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