Nombres complexes
[000027]. Exercice 6. 1. Calculer les racines carrées de 1+i Soient z1 z2
Feuille 5 : Nombres complexes (correction)
Déterminer les n ? 1 racines du polynôme complexe 1 + z + z2 + + zn?1. Correction exercice 5-13. 1. Les racines 6-ièmes de 1 sont les eki?.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 10 **I. On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1. Montrer que : Vz ? C (z ? U < 1-1l?9x ? R/ z = 1+ix.
HP Z1 G8 Tower Desktop PC
Fiche produit. HP Z1 G8 Tower Desktop PC. Optez pour le plus abordable des ordinateurs Z by HP certifiés pro. Accédez à des performances de qualité.
Nombres complexes
L'écriture : z = rei? est appelée forme exponentielle de z. 1.1.2 Exercices d'application du cours. EXERCICE 1. 10 minutes. Ecrire les expressions suivantes
NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif
S Nouvelle-Calédonie novembre 2016
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation f(x)=1. 3. Soit M un point d'affixe z du cercle c de centre O et de rayon 1. 3.a. Justifier
Nombres complexes
8 sept. 2008 z = 1 + cos(?) + isin(?) = 2 cos2(?/2) + 2isin(?/2) cos(?/2) = 2 cos(?/2)ei?/2 . ... montre que les solutions de l'équation sont z1 = ?b+?.
1 Définition des nombres complexes 2 Représentation géométrique
4. Conjugué complexe de z = x + iy : c'est le nombre complexe z := x ? iy. • z1 + z2 = z1 +
Topic 8 Notes Jeremy Orlo - MIT Mathematics
+ 1f(z) =z3(z2+ 1)has isolated singularities atz= 0; i and a zero atz=1 We will show thatz= 0 is apole of order 3z= iare poles of order 1 andz=1 is a zero of order 1 The style ofargument is the same in each case Atz= 0: z+ 1 f(z) = :z3 z2+ 1Call the second factorg(z) Sinceg(z) is analytic atz= 0 andg(0) = 1 it has a Taylorseries + 1
Basic theory of the gamma function derived from Euler’s limit
?(z+ 1) = z?(z) we see that ?(z) is also di?erentiable at these points and (7) still holds It is clear that the series in (9) converges: denote its sum (temporarily) by ?(z) Clearly ?(z+1) = ?(z)+1/z With (7) this shows that ?(x) = ?(x) also for negative non-integer x
Complex Analysis and Conformal Mapping - University of Minnesota
1z+a0(2 2) are complex linearcombinations (meaning thatthe coe?cients akareallowed tobe complex numbers) of the basic monomial functions zk= (x+ iy)k Complex exponentials ez= ex+iy= excosy+ iexsiny are based on Euler’s formula and are of immense importance for solving di?erential equa- tions and in Fourier analysis
How do you Write e1 and Z as a sum?
= 0andz= 1. answer: It's easiest to write this as a sum. The term e1=zhas an essential singularty atz= 0. Since the other two terms are analyticatz= 1,fhas an essential singurity atz= 0. The singularities at 1 and 1 +i can be analyzed in the same manner.
What is the essential singularity of E1=Z?
The term e1=zhas an essential singularty atz= 0. Since the other two terms are analyticatz= 1,fhas an essential singurity atz= 0. The singularities at 1 and 1 +i can be analyzed in the same manner. (b)Find a functionfthat has a removable singularity atz= 0, a pole of order 6 atz= 1and an essential singularity atz=i.
What is [Math processing error] W = 1 / z?
An interesting property of the mapping [Math Processing Error] w = 1 / z is that it transforms circles and lines into circles and lines. You can observe this intuitively in the following applet. Things to try: Select between a Line or Circle. Drag points around on the left-side window.
What is the second transformation [Math processing error] f(z) = g (z)?
Thus the points exterior to the circle [Math Processing Error] | z | = 1 are mapped onto the nonzero points interior to it, and conversely. Any point on the circle is mapped onto itself. The second transformation [Math Processing Error] f ( z) = g ( z) ¯ is simply a reflection in the real axis.
Semestre d"automne 2019-2020
Feuille 5 : Nombres complexes (correction)
Exercice 5-1.Calculer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants : z= 4 + 5i,a)z= (2 + 2i) + (5 + 3i),b)z= (37i)(12i),c) z= (4 + 5i)(5 + 3i)(12i),d)z=43i5 + 2i,e)z=(43i)(12i)73i,f) z=(7 + 6i)(32i)2 +i+4+6i.g) Correction exercice 5-1.Re(z) = 4;Im(z) = 5,a)Re (z) = 3;Im(z) = 5,b)Re (z) =17;Im(z) =1,c)Re(z) = 79;Im(z) = 27,d)Re (z) =1429
;Im(z) =2329 e)Re (z) =1958
;Im(z) =8358 f)Re(z) =6;Im(z) =5.g)
Exercice 5-2.Calculer la partie réelle et la partie imaginaire dez=1 +im2m+i(m21)pourm2R. Correction exercice 5-2.z=1 +im2m+i(m21)=(1 +im)(2mi(m21))(2m)2+ (m21)2=2m+m(m21) + 2im2i(m21)m4+ 2m2+ 1
m3+m+i(m2+ 1)(m2+ 1)2=m(m2+ 1) +i(m2+ 1)(m2+ 1)2 m+im 2+ 1; donc Re(z) =mm2+ 1et Im(z) =1m
2+ 1. Exercice 5-3.Soitz2C. Exprimer le conjugué des nombres complexes suivants en fonction de Re(z)etIm(z):
z+ 1,a)z2+ 3i,b)z+ 2z,c)z+zi,d) z3+ 1,e)iz23z,f)zz+iz,g)z2iz+ 4.h)
Correction exercice 5-3.Pour simplifier, notonsx=Re(z)ety=Im(z).z+ 1 =x+ 1iy,a)z2+ 3i=x2+y2i(2xy+ 3),b)z+ 2z= 3x2iy,c)z+zi= 2x+i,d)z
3+ 1 =x33y2x+ 1 +i(y33x2y),e)iz
23z=2xy3x+i(y2x23y),f)zz+iz=y+i(x+ 2y),g)z
2iz+ 4 =x2y2y+ 4 +i(x2xy).h)
Exercice 5-4.1.Calculer le mo dulede snom brescomplexe ssuiv ants: z= 2 + 5i,a)z=3 + 2i,b)z= (32i)(9 +i),c)z=2 + 5i52i.d) 2. Exprimer le mo duledes nom brescomplexes suiv antsà l"aide du mo dulede z : zz,a)2z2,b)2z,c)3z2z d) 1Correction exercice 5-4.
1. jzj=p29,a)jzj=p13,b)jzj=p1066,c)jzj= 1.d) 2. jzzj=jzjjzj=jzj2,a)j2z2j= 2jzj2,b)2z =2jzj,c)3z2z = 3jzj.d) Exercice 5-5.Soit(z;z0)2C2. Établir la relationjz+z0j2+jzz0j2= 2(jzj2+jz0j2)et en donner une interprétation géométrique. Correction exercice 5-5.jz+z0j2+jzz0j2= (z+z0)(z+ z0) + (zz0)(zz0) =jzj2+zz0+ zz0+jz0j2+jzj2zz0zz0+jz0j2= 2(jzj2+jz0j2):On appelle cette égalité l"identité du parallélogramme : dans un parallélogramme, la somme des carrés
des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales. Exercice 5-6.1.Représen terl esp ointsd"affixes suiv antesdans l eplan R= (O;!i ;!j) z= 1i,a)z,b)z+ z,c)zz.d) 2. Représen terles v ecteurssuiv antsdans le plan R= (O;!i ;!j) !vd"affixe2 +i,a)!wd"affixe3 + 2i,b)!v+!w,c)2!v!w.d) Correction exercice 5-6.On noteA,B,CetDles points d"affixes respectivesz,z,z+ zetzz. 2 Exercice 5-7.Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que : j1zj 12 a)Re (1z)12
b)Re (iz)12
c)112 2 = 2d)z3z+ 3 <2e) Correction exercice 5-7.a)L"ensem bledes p ointsd"affixe x2Ctels quej1zj 12 est le cercle de centre d"affixe1et de rayon 12 b)Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors,1z= 1xiyet
Re(1z)12
,1x12 ,x12 L"ensemble des solutions est le demi-plan complexe à droite de la droite verticalex=12 c)Notons z=x+iyavecxetyréels. Alorsiz=y+ix. et
Re(iz)12
, y12 ,y 12 L"ensemble des solutions est le demi-plan complexe au-dessus de la droite horizontaley=12 d)Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors
11z 2 = 2,z1z 2 = 2, jz1j2= 2jzj2,(x1)2+y2= 2(x2+y2) ,x22x+ 1 +y2= 2x2+ 2y2,1 =x2+ 2x+y2,1 = (x+ 1)21 +y2 ,(x+ 1)2+y2= 2: L"ensemble des solutions est le cercle de centre de coordonnées(1;0)et de rayonp2. e)Notons z=x+iyavecxetyréels. Alors
z3z+ 3 <2,z3z+ 3 2 <4, jz3j2<4jz+ 3j2,(x3)2+y2<4((x+ 3)2+y2) ,x26x+ 9 +y2<4(x2+ 6x+ 9 +y2),x26x+ 9 +y2<4x2+ 24x+ 36 + 4y2 ,0<3x2+ 30x+ 27 + 3y2,0< x2+ 10x+ 9 +y2 ,0<(x+ 5)225 + 9 +y2,16<(x+ 5)2+y2: L"ensemble des solutions est l"extérieur du disque de centre de coordonnées(5;0)et de rayon4. 3Exercice 5-8.Soitx2R.
1. Calculer cos(3x)en fonction decos(x), puissin(3x)en fonction desin(x). 2.Linéariser sin4(x)puiscos(x)sin4(x).
Correction exercice 5-8.1.On a
cos(3x) +isin(3x) =e3ix= (eix)3= (cos(x) +isin(x))3 = cos3(x) + 3icos2(x)sin(x)3cos(x)sin2(x)isin3(x)
= cos3(x)3cos(x)sin2(x) +i(3cos2(x)sin(x)sin3(x)):
En identifiant les parties réelles et imaginaires,cos(3x) = cos3(x)3cos(x)sin2(x)etsin(3x) = 3cos2(x)sin(x)sin3(x). On réécrit cela en
cos(3x) = cos3(x)3cos(x)(1cos2(x)) = 4cos3(x)3cos(x); sin(3x) = 3(1sin2(x))sin(x)sin3(x) = 3sin(x)4sin3(x): 2. sin4(x) =eixeix2i
4 =e4ix4e2ix+ 64e2ix+e4ix16 e4ix+e4ix4(e2ix+e2ix) + 616 =2cos(4x)8cos(2x) + 616 18 cos(4x)12 cos(2x) +38 cos(x)sin4(x) =eix+eix2 e4ix4e2ix+ 64e2ix+e4ix16
e5ix+e3ix4e3ix4eix+ 6eix+e3ix+e5ix4eix4e3ix+ 6eix32 e5ix+e5ix3(e3ix+e3ix) + 2(eix+eix)322cos(5x)6cos(3x) + 4cos(x)32
=116 cos(5x)316 cos(3x) +18 cos(x):Exercice 5-9.Soientn2Net2R. Calculer
U n=nX k=0cos(k)etVn=nX k=0sin(k)Correction exercice 5-9.U
n+iVn=nX k=0cos(k) +inX k=0sin(k) =nX k=0(cos(k) +isin(k)):D"après la formule de Moivre,
U n+iVn=nX k=0e ik=nX k=0(ei)k: Si0 (mod 2), alorsei= 1etUn+iVn=n+ 1. En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtientUn=n+ 1etVn= 0.Sinon,ei6= 1donc
U n+iVn=1(ei)n+11ei=1e(n+1)i1ei: 4À partir de là, deux solutions : dans la solution calculatoire, on multiplie par le conjugué du dénominateur
1ei(n+1)1ei=(1ei(n+1))(1ei)(1ei)(1ei)=1eie(n+1)i+eni1eiei+ 1
1cos()cos((n+ 1)) + cos(n) +i(sin()sin((n+ 1)) + sin(n))22cos():
On en déduit
U n=1cos()cos((n+ 1)) + cos(n)22cos()etVn=sin()sin((n+ 1)) + sin(n)22cos(): La deuxième solution est plus astucieuse, en factorisant les exponentielles1ei(n+1)1ei=ein+12
e i2 e in+12 ein+12 e i2 ei2 =ein22isin(n+12
)2isin(2 = cos n2 sin(n+12 )sin( 2 )+isinn2 sin(n+12 )sin( 2On en déduit
U n= cosn2 sin(n+12 )sin( 2 )etVn= sinn2 sin(n+12 )sin( 2 Exercice 5-10.1.Calculer le mo duleet un a rgumentdes nom brescomplexes suiv ants: u=3,a)v= 1i,b)w=1 +ip3p3 +i,c)z=p6ip2 2 d) 2.En déduire le mo duleet un argumen tde uwetzv
Correction exercice 5-10.u= 3eidoncjuj= 3,arg(u)(mod 2).a) v=p2ei4 doncjvj=p2,arg(v) 4 (mod 2).b) w=(1 +ip3)( p3i)p32+ 12=p3i+ 3i+p3
4 =2p3 + 2i4 =p3 2 +12 i=ei6 doncjwj= 1etarg(w)6 (mod 2).c) z=p2 p3i2 =p2ei6 doncjzj=p2etargz 6 (mod 2).d) Alors, d"une part,juvj=jujjvj= 3p2etarg(uv)arg(u) + arg(v)34 (mod 2), et d"autre part, zv =jzjjvj= 1etargzv arg(z)arg(v)12 (mod 2).Exercice 5-11.Soitz=q2 +
p3 +iq2p3. 1. Calculer z2, déterminer le module et un argument dez2et écrirez2sous forme trigonométrique. 2.En déduire le mo duleet un argumen tde z.
3.En déduire une expression de cos12
etsin12 5Correction exercice 5-11.
1.z2= q2 + p3 2 +2iq2 + p3 q2p3 q2p3 2 = 2+p3(2p3)+2i(23p32) = 2p3+2i.
On a alorsz2= 4(p3
2 +i2 ) = 4ei6 doncjzj= 4etarg(z)6 (mod 2). 2. P ourle mo dule,jzj=pjzj2=pjz2j= 2. Pour l"argument,2arg(z)arg(z2) (mod 2)donc arg(z)12 (mod 2).3.z= 4ei12
= 4cos12 + 4isin12 donc en identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient cos 12 =p2 + p3 4 etsin12 =p2p3 4Exercice 5-12.1.Donner la forme trigonométrique de (1 +i)npour toutn2N(utiliser la formule de Moivre).
2. En déduire une expression très simple de (1 +i)n+ (1i)n.Correction exercice 5-12.1.1 +i=p2
p2 2 +ip2 2 =p2ei4 , doncquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] tapuscrit la couleur des oiseaux
[PDF] contes aborigènes d'australie en maternelle
[PDF] yapa le petit aborigène daustralie maternelle
[PDF] yapa le petit aborigène daustralie tapuscrit
[PDF] littérature australie cycle 3
[PDF] conte aborigène la couleur des oiseaux
[PDF] questionnaire ali baba cycle 3
[PDF] conte mille et une nuit résumé
[PDF] ali baba et les 40 batteurs
[PDF] redoubler sa seconde en 2016
[PDF] redoublement seconde 2017
[PDF] dose de safran en poudre
[PDF] 100g de riz en cuillere a soupe
[PDF] poids quinoa cru cuit
