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Lycée Internationale de Valbonne 2018-2019

T.D. de Mathématiques ECE 2

ESTIMATION.

Estimation ponctuelle

Exercice 1.

On a vu que la variance empirique est un estimateur biaisé de la variance. SoitXune variable aléatoire d"espérancemet de variance2. On pose :X n=1n n X k=1X kSn=1n n X k=1(Xkm)2Tn=1n1n X k=1(XkX n)2 1. Montr erque Snest un estimateur sans biais de2. Quel est son inconvénient? 2. Montr erque Tnest un estimateur sans biais de2.(on s"inspirera fortement du calcul vu dans le cours "premier estimateur de la variance" 1)

RÉPONSE:1.Outils utilisés:

(a) définition de "sans biais" (b) linéar itéde l"espér ance, f ormuleV(Y+) =2V(Y) (c) 1

Soitn2N

E(Sn) =E

1n n X k=1(Xkm)2! 1n n X k=1E(Xkm)2linéarité de l"espérance 1n n X k=1h (E(Xkm))2+V(Xkm)i

K-H "à l"envers"

1n n X k=1h (E(Xk)m))2+V(Xkm)i linéarité de l"espérance 1n n X k=1h (mm)2+V(Xk)i formuleV(Y+) =2V(Y) 1n n X k=1 2 =2 Comme on cherche à estimer2, le biais qui est la différence entre ceu que l"on mesure et ce que l"on veut estimer vaut : b(Sn) =E(Sn)2= 0 l"estimateurSnest donc non biaisé. Son inconvénientil faut connaître la valeur exacte de l"espérance pour pouvoir le calculer,

or il est courant que l"on cherche à déterminer et la variance et l"espérance d"un échantillon.

2. Remarque :Ce calcul est presque identique à celui vu pour "premier estimateur de la variance". On a besoin de calculs préalables E(X n) =E 1n1n X k=1! 1n1n X k=1E(Xk)linéarité de l"espérance nn1m 2 et, d"une autre écriture deTn T n=1n1n X k=1(XkX n)2 1n1n X k=1(X2k+X 2 n2XkX n) 1n1 nX k=1X 2k+nX k=1X 2 n2nX k=1X kX n! 1n1 nX k=1X 2k+nX 2 n2X nn X k=1X k! constantes par rapport à l"indicek 1n1 nX k=1X 2k+nX 2 n2nX nX n! définition deX n 1n1 nX k=1X 2knX 2 n! 1n1 nX k=1X 2k! nn1X 2 n n E(X n2) =V(X n) +E(X n)2=2n +m2

On a de même

E(X2k) =V(Xk) +E(Xk)2=2+m2

On peut donc calculer l"espérance deTn

E(Tn) =E

1n1n X k=1X

2knn1X

2 n! 1n1n X k=1EX2knn1EX 2 n linéarité 1n1n X k=1

2+m2nn1

2n +m2 nn12+m2nn1 2n +m2 n1n12 =2 L"espérance de l"estimateur est égale à ce que l"on veut estimer, l"estimateurTnest sans biais. 3 Remarque :L"inconvénient précédent a disparu, le calcul deTnne dépend que de l"échan- tillon et non pljus de la connaissance préalables dem

Exercice 2.

D"après Romain BoillaudOn dispose den >2observations indépendantesX1,X2,...Xnde même loi de Poisson de paramètre >0inconnu. On souhaite estimer le paramètre=e.

Pour toutk2N, on pose

Y k=8 :1siXk= 0

0sinon

On introduit également :Y

n=1n n X k=1Y kSn=nX k=1X k 1. (a) Montr erque Yksuit une loi de Bernouilli de paramètre e. (b)

Calculer E(Yk)puisE(Y

n). En déduire queY nest un estimateur sans biais de. (c)

Calculer la variance de Y

net en déduire que cette estimateur est convergent. 2. Expliquer pour quoiSnsuit une loi de Poisson et trouver son paramètre 3.

On pose pour i2N

'(i) =PSn=i(X1= 0)

Montrer que pouri2N

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