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Voici quelques exemples d'estimateurs bâtis sur par cette méthode 1 Page 2 Estimation paramétrique 2 1 Loi exponentielle
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I 1 2 Estimation paramétrique Modèles et vraisemblance Cadre paramétrique Le modèle une expérience statistique consiste en une famille de lois de
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Estimation paramétrique
Maria João Rendas
Laboratoire I3S, CNRS-UNSA
février 2007 rEspace des observations
Espace des paramètresEspace des paramètres
QR)(ˆrq
vraie valeur (inconnue) observations (mesurées)estimateur (fonction déterministe des observations) pÂÌQ 21pqqqq⋯ )|(qrp : probabilité conditionnelle des observations (pour chaque valeur possible de q dans Q)
Les entitLes entit
éés de base de l"estimation params de base de l"estimation paraméétriquetrique
ObjectifObjectif
: déterminer la fonction de façon à approximer au mieux la valeur (inconnue, non-observée) de q.Remarque : L"application de
Q enR est aléatoire:
)(ˆrq 1q2q décrite par la distribution conditionnelle de r sachant qqqq ? est une variable aléatoire )(ˆrq p(r| q2) p(r| q1) 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81
ExempleExemple
caractérisation d"un système automatique de lancement mire q= [p mire , p gauche , p droite r = [r 1, r2, ..., r
N], rk Î {sur la mire, à gauche, à droite} Q M3 Ì R
3.R = {sur la mire, à gauche, à droite}
N 020406080100
0 20 4060
80
100
020406080100
N mireNgauche
Ndroite
N(r) = N
mire (r), N gauche (r), N droite (r), N mire (r) + N gauche (r) + N droite (r) =NRésultat de 20 tirages indépendantes
avec le même systèmeImpossible d"imposerr !!
Erreur d"estimation:
RÎ"=rr
qq qqe q -=)(ˆ)(rr qqe q -=)(ˆ)(rrL"erreur est aussi une
variable aléatoire Pour cet exemple, considérons l"estimateur suivant: NrN NrNNrNrdroitegauchemire
q 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.65 0.7 0.750.150.20.25
egauche emire edroiteErreur d"estimation dans les 20 tirages
indépendantes avec le même systèmeDéfinitionDéfinition
: Fonction de vraisemblance p(r| q) Note:Pour chaque
qqqq, comme fonction de r , p(r| q) est une fonction densité de probabilité conditionnelle (sachant la valeur de q, qui est fixe) Pour r fixe (une fois les observations acquises), comme fonction de q, p(r| q) est appelée fonction de vraisemblance (elle n"a donc plus les propriétés d"une densité de probabilité!) La fonction de vraisemblance joue un rôle fondamentale dans la théorie de l"estimation statistiqueModèle binomialp(r|
q) = qn(r)(1- q)N-n(r) =(q/(1-q)) n(r)(1-q) N log p(r|q) = n(r)log (q/(1-q)) -+Nlog(1- q) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1111111
Sn p(n|
q) q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1
∫ p(r| q) d q n(r) log p(n(r)| q)CritCrit
èères d"estimationres d"estimation
(pour comparer - et donc choisir! - des estimateurs)BiaisBiais
d"estimation rrrrE r dp)|()(|)(ˆ qqqq qIdéalement,
qqq=ˆrE
: estimateur non-biaisé Estimation de la moyenne par la loi des grands nombres (200 tirages) {}[ ]2.07.01.0,2024.06981.0994.0 =»qq E 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81
qmire qgauche qdroiteEstimateur consistant
consistant (propriété asymptotique) lim N q avec probab. 1 (w.p.1)N: nombre d"observations (taille de r)
)(ˆrq 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.505101520253035
q (q0 = .2)histogramme des estimees N=10,20,50,100,500 r= r 1,rquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30[PDF] Estimations et intervalles de confiance - Institut de Mathématiques
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