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DERNIÈRE IMPRESSION LE18 mars 2014 à 14:21

Intégration et primitives

Table des matières

1 Notion d"intégrale2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Exemple de calcul d"intégrale : la quadrature de la parabole. . . . 3

1.3 Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Définition cinématique de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Primitive6

2.1 Théorème fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Primitive vérifiant une condition initiale. . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Primitive des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Règles d"intégrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Exemples de calcul de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Intégrale d"une fonction continue11

3.1 Calcul à partir d"une primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Propriétés algébriques de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5 Valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Calcul du volume d"un solide15

4.1 Présentation d"une méthode de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Calcul du volume d"une sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Volume d"un cône. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

PAULMILAN1 TERMINALES

1 NOTION D"INTÉGRALE

1 Notion d"intégrale

Le but de l"intégration est de calculer la surface délimitée par une courbe et l"axe des abscisses.

1.1 Définition

Définition 1 :Soitfune fonctioncontinue et positivesur un intervalle [a;b].

SoitCfsa courbe représentative.

Le plan est muni d"un repère orthogonal(O,I,J).

On appelle

•Unité d"aire (u.a.): l"aire du rectangle bâti à partir des points O, I et J. •Domaine sous la courbe: domaine délimité par la courbeCf, l"axe des abs- cisses, et les droites d"équationx=aetx=b(a?b). Ce domaine est l"ensemble des pointM(x;y)du plan tels que : a?x?bet 0?y?f(x)

•Intégraledefsur[a;b]:lamesurede

l"aire en u.a. du domaine situé sous la courbeCf.

On la note :?

b af(x)dx

1 u.a?

b af(x)dx O Cf IJ a b

Remarque :

?b af(x)dxse lit : " somme ou intégrale deaàbdef(x)dx». •La variable "x" est une variable muette, c"est à dire qu"elle n"est plus présente lorsque le calcul est effectué. •La variablexpeut être remplacée par :t,u, ou toute autre lettre à l"exception deaetb.

Exemple :On donne la représentation

suivante d"une fonctionfsur [-2;3] ainsi que les mesures : OI = 2 cm et

OJ = 3 cm. Calculer :

•L"unité d"aire.

?3 -2f(x)dxpuis l"aire en cm2 12

1 2 3-1-2-3

OIJ

L"unité d"aire vaut : 2×3=6 cm2

Pour calculer l"intégrale, il faut calculer l"aire sous la courbe enunité d"aire soit le nombre de rectangles. Il y a 7 rectangles pleins un demi rectangle en haut à

PAULMILAN2 TERMINALES

1.2 EXEMPLE DE CALCUL D"INTÉGRALE:LA QUADRATURE DE LA PARABOLE

gauche et un triangle en haut à droite de côté respectifs 2 et 1 soit2×12=1 rec- tangle. On en déduit donc : 3 -2f(x)dx=8,5 etA=8,5×6=51 cm2

1.2 Exemple de calcul d"intégrale : la quadrature de la parabole

Le problème :Calculer l"intégrale de la fonction carréefsur[0;1]. Il s"agit donc de calculer l"aireAsous la parabole dans l"intervalle [0;1]. L"idée de Riemann est d"encadrer cette aire par deux séries de rectangles. On divise l"intervalle [0;1] ennparties. Sur chaque petit intervalle?i n,i+1n? , on détermine la valeur minimale et maximale de la fonction carrée. Comme cettefonction est croissante sur [0;1], la valeur minimale estf?i n? et la valeur maximalef?i+1n? On obtient alors ces deux séries de rectangles comme la figure ci-dessous : 1 Oi nf ?i n?f ?i+1 n? i+1 n1n2nnn=1...SuiteTn

SuiteSn

On définit deux suites avecf(x) =x2:

•La suite(Sn)des rectangles hachurés dont l"aire estSn: S n=?1 n? 2

×1n+?2n?

2

×1n+···+?n-1n?

2

×1n

12+22+···+ (n-1)2

n3 •La suite(Tn)des rectangles bleus dont l"aire estTn: T n=?1 n? 2

×1n+?2n?

2

×1n+?3n?

2

×1n+···+?nn?

2×1n

12+22+···+n2

n3=Sn+1n

L"aire sous la courbeAvérifie donc :Sn?A?Tn

PAULMILAN3 TERMINALES

1 NOTION D"INTÉGRALE

Algorithme :Calculer à l"aide d"un algorithme les valeurs deSnetTnlorsque n=5, 10, 20, 100, 1000

Programme classique pour déterminer les

termes d"une suite définie par une somme. On obtient alors les résultats suivants à 10 -4 près : nST

50,24000,4400

100,28500,3850

200,30880,3588

1000,32840,3384

10000,33280,3338

Variables

N,I,S,T

Algorithme

LireN

0→S

PourIvariant de 1 àN-1

S+I2

N3→S

FinPour

S+1

N→T

AfficherSetT

On constate que les deux suites semblent converger vers la même limite : S

1000?T1000?0,333

Remarque :D"après le tableau de valeurs, on peut conjecturer que la suite(Sn) est croissante et la suite(Tn)est décroissante. De plus leur différenceTn-Sn=1

ntend vers 0. On dit alors que les suites sont adjacentes.Démonstration :Montrons que ces deux suites convergent vers la même li-

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