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MP - Physique-chimie. Travaux dirigés

Jean Le Hir, 9 décembre 2007 Page 1 sur 3

Onde électromagnétique dans le vide - corrigé On considère un champ électrique d"une onde électromagnétique de la forme suivante : 0 0 0 cos cos sin cosy

E E t kza

yE t kzap = w - p a w - +j

1- À partir de l"équation de Maxwell-Gauss et de l"équation de propagation du champ, déterminer

a, j et k en fonction de w, a et de la vitesse 0c de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. Équation de Maxwell-Gauss : { }div 0, , , ,yxzEEEE x y z tx y z ( ) ( )0div sin cos sinyE E t kz k t kza ap p( )= - w - - a w - +j( )( )

En posant

u t kz= w -, la condition nécessaire div 0E=??? s"écrit donc ( )cos sinu k uap= a +j

Deux fonctions harmoniques de la même variable ne peuvent égale quel que soit u que si elles ont

même amplitude et même phase, soit : ka pa = et 2 pj =-. Le champ électrique s"écrit donc : 0 0 0 cos cos sin siny

E E t kza

y

E t kzka ap

= w - p p w -???

Remarque : Les valeurs ka

pa =- et 2 pj =+ correspondent à la même solution.

L"équation de propagation s"écrit : { }

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

0 1 , , ,0 10 x y y y y y z z z z zE

E E E E

x y z t Ex y z c t

E E E E

Ex y z c t?

Chacune des deux équations d"Alembertiennes donne la même condition :

2 2 2 222

2 2 2 2

0 0

0 , , ,y yE k E x y z t ka c c a

( )p w w p= - - + = "?= +( )( )?

2 2 2 222

2 2 2 2

0 0

0 , , ,z zE k E x y z t ka c c a

( )p w w p= - - + = "?= +( )( )? LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Travaux dirigés JLH 09/12/2007 Page 2 sur 3

Cette relation

2 22 2 2002

ck ca pw = + s"appelle " relation de dispersion ». Elle impose une condition absolue sur la pulsation w, il existe une pulsation de coupure cw. En posant c 0c aw = p , cette condition s"écrit : cw> w.

2- À partir de l"équation de Maxwell-Faraday, déterminer le champ magnétique B??? associé à ce champ

électrique dans cette onde électromagnétique et vérifier que ce champ satisfait bien aux autres

équations de Maxwell qui le concernent.

L"équation de Maxwell-Faraday s"écrit :

00 rot, , , , x y zy y xz zEx E EB

E E E e x y z ty y y z t

E E z z? ? ? ? Le champ d"induction magnétique n"a donc de composante non nulle que sur x et l"on obtient cette composante en intégrant par rapport au temps. 22200
22
0 et donc ( )0 2

0cos cosxEyB t kz eakc

wp= w -??? ???

Il serait possible d"y ajouter une constante magnétostatique, mais seule nous intéresse ici le champ

propagatif, fonction du temps.

3- Proposer une représentation spatiale de cette onde électromagnétique. Comment peut-on nommer une

telle onde ? Note : La représentation spatiale d"une telle onde ne pourrait en aucun cas être demandée en temps limité et sans outil informatique adéquat. Le schéma ci-contre est obtenu à l"aide du logiciel de calcul formel Maple. L"onde est harmonique et propagative selon z dans le sens

0z>, mais il ne s"agit pas d"une onde plane

puisque l"amplitude des champs n"est pas identique en tout point d"un plan orthogonal à la direction de propagation. Le champ d"induction magnétique est transverse, mais ce n"est pas le cas pour le champ électrique pour lequel il existe une composante vibratoire longitudinale. Tout ceci est caractéristique d"une onde guidée.

Il existe des noeuds de vibration pour le champ d"induction magnétique pour les valeurs

,2 ay na n= + Î? : l"onde présente un caractère de stationnarité dans la direction y. B??? E??? x y z LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Travaux dirigés JLH 09/12/2007 Page 3 sur 3

Remarque : Nous rencontrons le même type d"onde dans le cas de la propagation guidée entre deux

plans métalliques, mais alors c"est le champ électrique qui est transverse et le champ magnétique qui

présente une composante longitudinale.

4- Déterminer le vecteur de Poynting de cette onde. Se produit-il une propagation d"énergie ?

Le vecteur de Poynting a pour expression

0

BEP = Ùm

Avec y y z zE E e E e= +??? ??? ?? et x xB B e=??? ???, cela donne : 0 0 y xz x y z

E BE Be eP = -m m??? ??? ???

Soit :

y y z ze eP = P +P??? ??? ??? avec 2 0 0 2 2

0 02sin sin 2 24

cos cos y zEyt kz composante transversalek ka a E y t kz composante longitudinalek a? e wp pP = w -? ?e wp( )P = w -( )?( )? La composante transversale yP est de valeur moyenne nulle dans le temps et ne correspond donc à aucun transfert d"énergie.

La composante longitudinale

zP est de valeur moyenne positive : il lui est associé une propagation d"énergie électromagnétique dans la direction et le sens de la propagation. 22
0 0 cos2z z ztt

Eye ek ae w

p ( )P = P =( )( ) Cette propagation de fait à une vitesse égale à la vitesse de groupe gv inférieure à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques planes dans le vide :

2 2 2 22 20 0 0 0

g 0022 2 2

1c c c k c

d d v k c cdk dk va a kj ( )pw( )= = + = = = <( )wp( )+quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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