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?Corrigé du baccalauréat S La Réunion?

29 juin 2010

Exercice 16 points

Commun à tous lescandidats

Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]-1 ;+∞[ par f(x)=1+ln(1+x). On noteCfsa courbe représentative dans un repère orthononnal?

O,-→ı,-→??

On noteDla droite d"équationy=x.

PartieA

1. a.Sens de variation de la fonctionf:

f ?(x)=1

1+x>0 sur ]-1 ;+∞[

La fonctionfest donc croissante sur?

O,-→ı,-→??

b.Limites de la fonctionfaux bornes de son ensemble de définition : lim x→-1+f(x)=-∞car limx→-1+1+x=0+et limx→-1+ln(1+x)=-∞ lim x→+∞f(x)=+∞car limx→+∞1+x=+∞et limx→+∞ln(1+x)=+∞

Tableau de variations def:

x f ?(x) f(x) -1+∞

2.On désigne par g la fonction définie sur l"intervalle ]-1 ;+∞[ parg(x)=f(x)-x.

a.limx→-1g(x)=-∞: lim

x→-1g(x)=limx→-11-x+ln(1+x)=-∞car limx→-1+1+x=0+, limx→-1+ln(1+x)=-∞et limx→-11-x=2

b. lim x→+∞ln(1+x)

1+x=0 car limx→+∞1+x=+∞et limX→+∞lnXX=0

lim

1+x+ln(1+x)1+x?

=-∞car limx→+∞ln(1+x)1+x=0 et lim x→+∞1-x

1+x=-1.

c.Sens de variation de la fonctiong g ?(x)=f?(x)-1=1

1+x-1=-x1+xdu signe de-xsur ]-1 ;+∞[

Elle possède une tange,nte horizonate au point d"abscisse 0.

Tableau de variations de la fonctiong:

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

x f ?(x) f(x)-10+∞ 0- 11 0 0 d.Sur l"intervalle ]-1 ; 0[, la fonctiongest continue, comme somme et composée de fonctions

continues, et strictement croissante. Elle réalise donc une bijection de ]-1 ; 0[ sur ]-∞; 1[.

Or 0 appartient à l"ensemble d"arrivée ]-∞; 1[. Donc, 0 possède un unique antécédent, noté

αdans ]-1 ; 0[.

Sur l"intervalle ]0 ;+∞[, la fonctiongest continue, comme somme et composée de fonctions continues,etstrictementdécroissante.Elleréalisedoncunebijectionde]0;+∞[sur]-∞; 1[.

Or 0 appartient à l"ensemble d"arrivée ]-∞; 1[. Donc, 0 possède un unique antécédent, noté

βdans ]0 ;+∞[.

De plus :

?g(2)?0,0986>0 g(3)?-0,614<0=?2?β?3 e.Signe deg(x) : —-1Signe deg(x)

Position relative

deCfet deD -1αβ+∞ 0+0- C f?(D)ACf?(D)BCf?(D)

Position relative de la courbeCfet de la droiteD:

—Cfest située au dessus de la droiteDpourx?]α;β[. —Cfest située en dessous de la droiteDpourx?]-1;α[?]β;+∞[.

La Réunion229 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

-112345 -2 -1 1 2 3 0 B A

PartieB

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse, sera

prise en compte dans l"évaluation. Soit (un)la suite définie pour tout nombre entier naturelnpar :?u0=2 u n+1=f(un)

1.Pour tout nombre entier natureln, 2?un?β. Démonstration par récurrence :

— On a 2?u0=2?β

— Supposons que, pour unndonné, on ait : 2?un?β, alors, la fonctionfétant croissante sur [2;β] :

2?un?β=?2

— Ainsi,?n,n??, 2?un?β.

2.La suite(un)est croissante (en utilisant le signe de g(x)étudié plus haut) :

u n+1-un=f(un)-un=g(un)?0 sur [2;β] Donc, (un) étant une suite croissante et majorée parβ, elle est convergente.

Exercice 24 points

Commun à tous lescandidats

La Réunion329 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieI

Ondisposed"undécubiqueAparfaitement équilibrépossédant unefaceverte,deuxfacesnoiresettrois

faces rouges.

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer

la couleur de la face obtenue. On noteV1,N1etR1(respectivementV2,N2etR2) la couleur obtenue au premier (respectivement se- cond) jet.

1.Probabilité pour qu"à l"issue d"un jeu, les deux faces obtenues soient noires :

Les deux jets étant indépendants, nous pouvons écrire :p(N1∩N2)=p(N1)×p(N2)=2

6×26=19

2.Soit l"évènement C : "à l"issue d"un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur».

6? 2 +?26? 2 +?36? 2 =718

3.Probabilité pour qu"à l"issue d"un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes :

p(

C)=1-p(C)=1-718=1118

4.À l"issue d"un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, la probabilité

pour que les deux faces obtenues soient vertes :

V?C=?C∩V=V=?pC(V)=p(C∩V)

p(C)=p(V)p(C)=? 1 6? 2 7 18= 1

36×3614=114

PartieII

On dispose d"un second dé cubiqueBéquilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le

nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le déB;

— si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le déBet on note la couleur de la face obtenue;

— si la face obtenue est noire, on lance le déAet on note la couleur de la face obtenue.

1. a.Arbre de probabilités traduisant cette situation. :

V V2/3 N1/32 3 N V 1/6N 2/6R 3/6 1 3 b.Probabilité d"obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l"on a obtenu une face verte au premier lancer : pV1(V2)=23

2.Probabilité d"obtenir deux faces vertes est égale à49:

p(V1∩V2)= pV1(V2)×p(V1)=2

3×2

3=49

3.Probabilité d"obtenir une face verte au deuxième lancer :

6×13+23×23=918=12

La Réunion429 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice 35 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

On cherche à déterminer l"ensemble des fonctionsf, définies et dérivables sur l"intervalle ]0 ;+∞[,

vérifiant la condition (E) : pour tout nombre réelxstrictement positif,xf?(x)-f(x)=x2e2x.

1.Une fonctionf, définie et dérivablesur l"intervalle ]0 ;+∞[, vérifie la condition (E),alors la fonc-

tiongdéfinie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ parg(x)=f(x) xvérifie, pour toutxde ]0 ;+∞[ : g ?(x)=?f(x) x? =xf?(x)-f(x)x2=x2e2xx2=e2x

2.Ensemble des fonctions définies et dérivables sur l"intervalle [0 ;+∞[ qui vérifient la condition

(E) : fvérifieE=?g?(x)=e2x=?g(x)=1

2e2x+k=f(x)x=?f(x)=12xe2x+kxaveck?

Réciproquement :

f(x)=1

3.Fonctionhdéfinie et dérivable sur l"intervalle ]0 ;+∞[ vérifiant la condition (E) et s"annulant en1

2: h?1 2?

PartieB

On considère la fonctionhdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par h(x)=1

2xe2x-e2x=e2x?e2x-1-1?

On désigne parCsa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;?ı;??).

1.Signe deh(x) :xétant positif,h(x) est du signe de e2x-1-1 et, comme la fonction exponentielle

est strictement croissante sur e

2x-1-1?0??e2x-1?e0??2x-1?0??x?1

2

Ainsi :

x

Signe deh(x)

012+∞

0-0+

2. a.À l"aide d"une intégration par parties :on pose :u=x

v ?(x)=e2x, ainsi :u?=1 v(x)=1

2e2xet :

1 2

0xe2xdx=?1

2xe2? 1 2 0-? 12 01

2e2xdx=14e-?14e2x?

1 2 0=1

4e-14e+14=14

Ainsi :

1 2

0h(x)dx=1

2? 1 2

0xe2xdx-?

12 0e

2xdx=12×14-?e2x

22?
1 2 0 =1

8-e16=2-e16?-0,04489

La Réunion529 juin 2010

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.La fonctionhétant négative sur l"intervalle?0;12?, l"intégrale calculée plus haut est négative.

Ainsi, en unité d"aire, la valeur exacteAde l"aire de la partie du plan située en dessous de l"axe des abscisses et au dessus de la courbeCest :

A=????2-e

16????

=e-216

0.10.20.30.40.50.60.70.80.911.1

-0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 A O AC

Exercice 45 points

Candidatsn"ayantpas choisi l"enseignementde spécialité PartieI : Restitutionorganisée de connaissances Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O;?u;?v). SoientA,BetCtrois points du plan d"affixes respectivesa,b,c.

On suppose queAetBsont distincts, ainsi queAetC.

On rappelle que?-→u,-→AB?

=arg(b-a) [2π]. -→AB,-→AC? =?-→AB,-→u? +?-→u,-→AC? =-?-→u,-→AB?quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
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