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Terminale S1(2013-2014)fonction exponentielle - exercice corrig´e

Fonction exponentielle - aire maximale

Exercice:Une aire maximale

Partie A -

12 1 2 3 O M PQ C xy Soitfla fonction d´efinie et d´erivable surRparf(x) =4ex+1. On noteC sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e d"origineO.

Pour tout r´eelxpositif ou nul, on note :

Mle point deCde coordonn´ees(x;f(x)),Ple point de coordonn´ees (x; 0)etQle point de coordonn´ees(0 ;f(x)).

Exprimer l"aire du rectangleOPMQen fonction dex.

Partie B -

Soitgla fonctiongd´efinie surRparg(x) = ex-xex+ 1. 1.

´Etudier les variations de la fonctiong.

2. a. Calculerlimx→-∞g(x)etlimx→+∞g(x).

b. Montrer que l"´equationg(x) = 0admet dansRune seule solutionα. Donner un encadrement d"amplitude10-2deα. c. D´emontrer queeα=1

α-1.

d. D´eterminer le signe deg(x)en fonction deα.

Partie C -

SoitAla fonction d´efinie et d´erivable surRparA(x) =4x ex+1. D´emontrer que pour tout r´eelx,A?(x)a le mˆeme signe deg(x).

En d´eduire les variations de la fonctionA.

Partie D -

1. Montrer que l"aire du rectangleOPMQest maximale lorsqueMa pour abscisseα. D´eterminer un

encadrement de cette aire maximale.

2. Supposons alors queMa pour abscisseα. La tangente T enM`a la courbeCest-elle parall`ele `a la

droite(PQ).

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1/44 d´ecembre 2013

Terminale S1(2013-2014)fonction exponentielle - exercice corrig´e

Solution:

Partie A -

12 1 2 3 O M PQ C xy Soitfla fonction d´efinie et d´erivable surRparf(x) =4ex+1. On noteC sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e d"origineO.

Pour tout r´eelxpositif ou nul, on note :

Mle point deCde coordonn´ees(x;f(x)),Ple point de coordonn´ees (x; 0)etQle point de coordonn´ees(0 ;f(x)). En utilisant les coordonn´ees des pointsO,P,MetQet sachant que le rep`ere est orthonormal, on aOP=x(x?0)etOQ=f(x) =4 ex+1

Ainsi l"aire du rectangleOPMQestOP×OQ=4x

ex+1.

Partie B -

Soitgla fonctiongd´efinie surRparg(x) = ex-xex+ 1.

1.gest une fonction d´erivable surRcomme somme et produit de fonctions d´erivables surR.

Soitx?R,g?(x) = ex-(1×ex+x×ex) =-xex.

Puisqueex>0surR, le signe deg?(x)est le signe oppos´e `ax. Ainsi, sur]-∞; 0[, g?(x)?0, pourx= 0,g?(x) = 0, et sur]0 ; +∞[, g?(x)?0. La donctiongest donc strictement croissante sur]- ∞; 0[puis strictement d´ecroissante sur]0 ; +∞[.

2. a.?limx→-∞g(x):

On sait quelimx→-∞ex= 0etlimx→-∞xex= 0. Ainsi,limx→-∞g(x) = 1par somme.

?limx→+∞g(x): On est en pr´esence d"une forme ind´etermin´ee.

Au voisinage de+∞,g(x) = ex(1-x) + 1

limx→+∞ex= +∞ lim x→+∞1-x=-∞? =?limx→+∞g(x) =-∞par produit et somme b.

Tableau de variation deg:

x g(x)-∞

0+∞

2 1

0g(0) = e0+ 0e0+ 1 = 2

gest continue surRcar elle est d´erivable surR. gest continue et strictement croissante sur]-∞; 0]. L"image de l"intervalle]-∞; 0]pargest l"intervalle]1 ; 2]. Or,0??]1 ; 2]. L"´equationf(x) = 2n"admet pas de soultion sur]- ∞; 0]. gest continue et strictement croissante sur[0 ; +∞[. L"image de l"intervalle[0 ; +∞[parg

est l"intervalle]- ∞; 2]. Or,0?]- ∞; 2]. D"apr`es le corollaire du th´eor`eme des valeurs

interm´ediaires, l"´equationg(x) = 0admet une unique soultionαsur[0 ; +∞[. On en d´eduit que l"´equationg(x) = 0admet exactement une solutionαdansR.`A la calculatrice g(1,27)≈0,03>0 g(α) = 0 g(1,28)≈ -0,007<0????? =?1,27< α <1,28 c.g(α) = 0??eα-αeα+ 1 = 0??eα(1-α) =-1??eα=1

α-1

2/44 d´ecembre 2013

Terminale S1(2013-2014)fonction exponentielle - exercice corrig´e d. En utilisant le tableau de variation de la fonctiong, on a :???????g(x)>0pourx?]- ∞;α[ g(x) = 0pourx=α g(x)<0pourx?]α; +∞[

Partie C -

SoitAla fonction d´efinie et d´erivable surRparA(x) =4x ex+1.

Aest une fonction d´erivable surR(ex+1?= 0,?x?R)comme quotient de fonctions d´erivables. Soitx?R:

A ?(x) =4(ex+ 1)-4xex (ex+ 1)2

4ex+ 4-4xex

(ex+ 1)2

4(ex+ 1-xex)

(ex+ 1)2 4g(x) (ex+ 1)2

Ainsi,A?(x) =4g(x)

(ex+ 1)2,?x?R. Mais,(ex+ 1)2>0surRdoncA?(x)a mˆeme signe queg(x)surR.

En utilisant le signe deg(x)d´etermin´e `a la question Partie B - 2.d., on peut dire queAest strictement

croissante sur]- ∞;α]puis strictement d´ecoissante sur[α; +∞[

Partie D -

1. D"apr`es la partie A -, l"aire du triangleOPMQestA(x)pour tout r´eelx?0. En utilisant les variations

de la fonctionA,Aadmet un maximum enα(α >0), c"est-`adire lorsqueMa pour absisseα.

A(α) =4α

eα+ 1 4α 1

α-1+ 1careα=1α-1

4α 1

α-1+α-1α-1

=4αα

α-1

4

α(α-1)

= 4(α-1)

Mais1,27< α <1,28 =?1,08<4(α-1)<1,12

1,08< A(α)<1,12

2. Supposons alors queMa pour abscisseα.

La tangente T enM`a la courbeCest parall`ele `a la droite(PQ)si, et seulement si les coefficients directeurs de ces deux droites sont ´egaux. Le coefficient directeur de la tangente T enM`a la courbeCestf?(α). fest d´erivable surRcomme quotient de fonctions d´erivables, et pourx?R f ?(x) =-4ex (ex+1)2

3/44 d´ecembre 2013

Terminale S1(2013-2014)fonction exponentielle - exercice corrig´e

Sachant queeα=1α-1,

f ?(α) =-4eα (eα+1)2=-4×1

α-1

(1α-1+1)2=-4

α-1

Le coefficient directeur de la droite(PQ)est :

y Q-yP xQ-xP=f(α)-00-α=-4 eα+1

α=-4

1α-1+1

α=-4

αα-1

α=-4(α-1)

αα=-4(α-1)α2

On en d´eduit que les deux droites sont parall`eles lorsqueMa pour abscisseα.

4/44 d´ecembre 2013

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