TIPE : Code correcteur derreurs
Nous allons nous pencher sur les principaux codes correcteurs binaires et voir comment se déroule le codage et la correction d'erreurs notamment pour les codes
Codes Correcteurs dErreurs Cours 1 + Introduction + Codes
17 janv. 2008 Sur internet (paquets IP) le code correcteur se limite `a la détection des erreurs (somme de contrôle). La correction est.
Introduction aux codes correcteurs derreurs
23 janv. 2006 Le principe du codage est le suivant : apr`es avoir découpé notre message en blocs de k bits on va appliquer un même algorithme sur chaque ...
Mathématiques des codes correcteurs derreurs
Codes de Hamming. 3. Codes linéaires et codes cycliques. Matrice génératrice et calcul du syndrome d'erreur. 4. Polynômes locateurs d'erreurs.
Codes correcteurs derreurs
codes.pdf. Les livres 'An introduction to error correcting codes with ... Les codes correcteurs ont été introduits pour corriger les erreurs de transmission ou de.
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Chapitre1 Codes Correcteurs Derreurs
Un code correcteur d'erreur permet de corriger une ou plusieurs erreurs dans un mot pdf. [33] : www.irisa.fr / armor / lesmembres / cousin / Enseignement ...
Codes correcteurs derreur
Codes correcteurs d'erreur. Judith Louis-Alexandre Camille Huynh
Codes détecteurs et correcteurs derreurs 1 Transmission et
On veut un code qui dé- tecte/corrige bien les erreurs pour cela
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Application des codes correcteurs derreurs Reed Muller
Un code correcteur d'erreur permet de corriger une ou plusieurs erreurs dans un [32]: www.greyc.ensicaen.fr/gbinetT_info/COURST_info_b_lineaires/.pdf.
Codes correcteurs derreurs
Le cours Codes correcteurs de Coste Paugam et Quarez disponible sur le web. `a l'adresse http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/codes.pdf.
Codes correcteurs derreur
Un code correcteur sert à assurer une transmission ou un stockage d'information par un canal ou support qui pourrait la détériorer. Ils sont utilisés notamment
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qu'on appelle le rendement du code
TD Réseau Les codes correcteurs et les codes détecteurs Claude
Le code de Hamming : un code détecteur et correcteur d'erreurs. Le CRC (Cycle Redundancy Check) : un
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Codes correcteurs
Alors un simple calcul donne dH(c c ) = wH(c ? c ) ? 2N
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Le cours Codes correcteurs de Coste Paugam et Quarez disponible sur le web `a l'adresse http://agreg-maths univ-rennes1 fr/documentation/docs/codes pdf
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Résumé L'objectif du présent cours n'est pas de proposer un exposé exhaustif de la théorie des codes correcteurs d'erreurs Tout d'abord parce que la tâche
[PDF] Codes correcteurs derreurs
Si v est un mot du code qui a subi une erreur au cours de la transmission on peut l'écrire v=c+e où e est un mot de poids 1 Que vaut le produit matriciel V7
[PDF] Codes correcteurs derreurs Codes équivalents étendus raccourcis
1 Codes correcteurs d'erreurs • I Modélisation notations distance propriétés – Exemples simples de codes de parité – Code de Hamming
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Le rôle des codes détecteurs et correcteurs d'erreurs est de détecter les erreurs de transmission et/ou de stockage et de les corriger
[PDF] Codes correcteurs
L'objectif initial des codes correcteurs est de parer les interférences dans un canal de transmission On considère un expéditeur et un destinataire
Comment calculer la distance minimale d'un code ?
La distance minimale entre deux mots du code est égale à trois. Si une unique altération se produit, alors le message reçu est à une distance de un d'un unique point du code. Il est ainsi possible de corriger automatiquement une erreur, si l'on sait que l'erreur est unique.C'est quoi un code systématique ?
Définition 44 Un code est dit systématique si une partie du mot codé coïncide avec le message. Cette expression permet de deviner les raisons qui ont conduit au choix des bits de parité. Les bits c2, c3, c4 sont tels qu'on essaie d'isoler une erreur sur un bit du message.Comment trouver la matrice de contrôle ?
Matrice de contrôle La matrice de contrôle, notée le plus souvent H, comporte (n?k) lignes et n colonnes. Elle s'écrit à l'aide de la matrice de parité P: H = (?Pt In?k). Nous remarquons que dans le corps F2, on a bien sûr ?Pt = Pt.- Un code corrige k erreurs si, lorsqu'un mot f(x) est transmis avec moins de k erreurs, on est capable de retrouver f(x). Le premier code est un code de paramètre (n,2n) qui détecte une erreur. Le deuxième code est un code de paramètre (n,3n) qui corrige une erreur et en détecte deux.
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Codes correcteurs d"erreur
Judith Louis-Alexandre, Camille Huynh, Dorian LesbreJuin 2017
Table des matières
1 Théorie des codes 2
1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Codes correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.4 Codes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 Structure de corps finis 6
2.1 Construction des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.1.1 Corps premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.1.2 Corps de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72.2 Propriétés des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93 Codes de Hamming 9
3.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93.2 Encodage : l"exemple du code de Hamming (7,4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114 Codes de Reed-Solomon 13
4.1 Encodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144.2 Détection d"erreurs et décodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154.3 Correction d"erreurs par syndrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164.3.1 Déterminer les polynômeset
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164.3.2 Déterminer les positions d"erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194.3.3 Déterminer les valeurs d"erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204.3.4 Synthèse de la correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204.4 Notes d"implémentation : calcul dansF2metF2m[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
5 Comparaisons de codes correcteurs 21
Table des fonctions
1 code : encodage de Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142 decode : décodeur de Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153 euclide : résolution de l"équation-clé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194 calcul_racines : calcule des racines de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
5 Forney : calcul des coefficientseik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
6 corrige : correcteur du code de Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
1 Théorie des codes
1.1 Principe
Un code correcteur sert à assurer une transmission ou un stockage d"information par un canalou support qui pourrait la détériorer. Ils sont utilisés notamment lors de l"échange de données sur
internet, sur réseau mobile, ou lors du stockage de données sur un disque DVD. L"idée est de rajouter
judicieusement un certain nombre de redondances afin de pouvoir retrouver le message initial sicelui-ci a été légèrement altéré. Le nombre de redondance dépendant de la fiabilité du support et du
besoin de correction : une sonde spatiale en utilise beaucoup pour transmettre des données, tandis
que le protocole http se contente d"une simple détection d"erreur, préférant redemander le message
au serveur plutôt que de le corriger. Disons que nous voulons transmettre le message suivante : "Le cheval blanc d"Henri 4" Le code le plus simple est celui de répétition, on c"est-à-dire que l"on transmetLe cheval blanc d"Henri 4
Le cheval blanc d"Henri 4"
Cependant, si une erreur se produit, on est incapable de dire à priori si la première répétition où la
deuxième est la bonne : "Le cheval blanc d"Henri 4Le cheval blanc d"Henri
5 Ce code ne permet donc pas de corriger d"erreurs. Des codes plus complexes permettent d"obtenir de bien meilleurs résultats (exemple de code de Reed-Solomon) "}|Ö[%&Le cheval blanc d"Henri 4"Ce code rajoute6symboles de contrôles, et peut corriger jusqu"à5erreurs. Ainsi si le décodeur reçoit
"}|Ö[%&Le chevalrouge d"Henri 4" ou "}êÖ[%&Le4evasblanc d"HenriX "Il pourra retrouver au message initial. Ce code est donc plus efficace que le précédent : il insère
nettement moins de symboles (6 et non 25) et peut corriger 5 erreurs.L"objectif de l"étude mathématique des codes correcteurs est de trouver des solutions optimales
(comment corriger un maximum d"erreur) à partir d"une longueur de message à transmettre ou d"un
nombre de symboles ajoutés fixé.1.2 Définitions générales
Caractéristiques d"un code :afin de formaliser la notion de code correcteur, nous utiliserons les définitions suivantes : -L"alphabetest un ensemble fini de symboles avec lequel sont écrits les mots du code. On prendra pour alphabetFq, un corps fini àqéléments muni des opérations somme et produit.-Le messageAest une liste deksymboles à transmettre, on l"assimile à un élément deFkq-L"encodeurest un algorithme qui transforme le messageAen un mot du codeCde longueur
ncomportant des redondances. On l"assimile à une fonction injectiveenc:Fkq!Fnq -Le codeest l"ensemble des mots possibles :C=enc(B);B2Fkq -Le mot reçuD2Fnqest une version potentiellement corrompue du message émisD=C+E, avecEles erreurs introduites. 2 -La distance de Hammingentre deux motsC1;C2notéd(C1;C2)est le nombre de symboles distincts entreC1;C2. On appelle poids la distance au mot nul :w(C) = d(C;0) On introduit alors les grandeurs suivantes pour caractériser un code -qle cardinal de l"alphabet (nombre de symboles distincts) -kla dimension d"un code (la longueur du message initial) -ple nombre de symboles de contrôle -n=k+pla longueur d"un mot du code la distance minimale d"un co dedmin= min (c1;c2)2C2 c16=c2d(c1;c2)
On condensera toutes ces notations en disant queCest un code(n;k;dmin)q. Le décodeur est un algorithme qui retrouveCà partir deD=C+EsiEest de poids assez faible. On l"assimile à un une fonctiondec :Fnq!Fkqvérifiant8A2Fkq;dec(enc(A)) =Aet8A2Fkq;8E2Fnq; w(E)6dmin12
)decenc(A) +E=A Proposition 1 : (Propriétés de la distance de Hamming) La distance de Hamming est symétrique et vérifie pour tout(c1; c2; c3)2(An)3: d(c1;c2) = d(c1c2;0) =w(c1c2)(1) d(c1;c2) + d(c2;c3)>d(c1;c3)>jd(c1;c2)d(c2;c3)j(2) Démonstration :notonsc1= (1;:::;n),c2= (1;:::;n)etc3= (1;:::;
n). On a alors d(c1;c2) =nX i=1(1i;i) oùest le symbole de Kronecker. On sait que pour touti2[[1; n]],i;i=i;i=ii;0d"où la symétrie et le premier point.Soiti2[[1; n]],
Cas 1 :i;
i= 0, alorsi6= idonci6=iou i6=i. donci;i= 0ou i;i= 0. Ce qui donne (1i;i) + (1 i;i)>1etj(1i;i)(1 i;i)j61donc j(1i;i)(1 i;i)j6(1i; i)6(1i;i) + (1 i;i)Cas 2 :i;
i= 1. On a évidemment(1i; i)6(1i;i) + (1 i;i).Sii=ialors
i=idoncj(1i;i)(1 i;i)j=j(0)(0)j= 0Sii6=ialors
i6=idoncj(1i;i)(1 i;i)j=j(1)(1)j= 0 En sommant suri, on obtientjd(c1;c2)d(c2;c3)j6d(c1;c3)6d(c1;c2) + d(c2;c3)1.3 Codes correcteurs Codet-correcteurs :soitt>0, notonsC 2 P(An)un code sur l"alphabetA. Pour chaque mot c2 Cdu code, on définit l"ensembleE(c;t) =fa2 An=d(c;a)6tg
. C"est une boule de centrecet de rayont(au sens de la distance de Hamming). -Cestt-correcteur si les ensemblesE(c; t) c2Csont disjoints. -Cest parfait si les ensemblesE(c; t) c2Cforment une partition deAn 3 SiCcodet-correcteur, on peut attribuer à chaque élément deAndistant de moins detdu code un unique mot du code le plus proche. SiCest parfait, alors tout élément deAnadmet un unique motdu code le plus proche.Illustration des ensemblesE(c;t)pour le code1-correcteur parfait Hamming(3;1):enc:8
:F2!F3207!000
17!111
Proposition 2 :
SoitCun code possédantqkéléments surFnq,tun entier positif etc2 C. On a1.#E(c; t) = 1 +n(q1) +n
2 (q1)2+:::+n t (q1)t=tX `=0 n (q1)` 2. si Cestt-correcteur alors#E(c;t)6qnk 3. si Cest parfait alors#E=qnk: Démonstration :pour construire un élémentddeE(c;t), de manière unique : 1. on c hoisit`2[[0; t]]la distance de Hamming entredetc: 2. on c hoisitl"emplacemen tde c es`coefficients distincts :n possibilités. 3. on c hoisitla v aleurde c haqueco efficient: (q1)possibilités pour chaque (n"importe quel élément deAdifférent du coefficient correspondant dec), donc(q1)`en tout.En sommant, on obtient#E(c; t) =tX
`=0 n (q1)`.Si le code estt-correcteur, alors[
c2CE(c;t) Anest une union disjointe (avec égalité siCest parfait), donc en passant aux cardinaux X c2Ct X `=0 n (q1)`6qn(avec égalité siCest parfait), or #C=qk, on obtient alors :tX `=0 n (q1)`6qnkavec égalité siCest parfait.Proposition 3 :SoitCun code de distance minimaledmin>1. Alors
Cestdmin12
-correcteur mais n"est pasdmin12 + 1-correcteur. 4Démonstration :Posonst=dmin12
Soit(c1; c2)2 C2, montrons queE(c1; t)\ E(c2; t) =;. Soith2 E(c1; t). On sait qued(h;c1)6t. D"après l"inégalitéd(h;c2)>d(c2;c1)d(h;c1)on ad(h;c2)>dmindmin12 >dmin12 donch =2 E(c2; t). Les ensembles sont disjoints. Il existe(c1;c2)2 C2tel qued(c1;c2) =dmin. Donc en modifiantt+ 1symboles dec1différents de ceux dec2en symboles dec2, on obtient un mothde distancet+ 1dec1et moins det+ 1de c2. Donch2 E(c1;t+ 1)\ E(c2;t+ 1). Le code n"est past+ 1correcteur.1.4 Codes linéaires
Code linéaire :un codeCest dit linéaire de longueurnet de dimensionksur l"alphabetAsiC est un sous-espace vectoriel deAnde dimensionk. En pratiqueA=Fqest un corps fini (et doncAn est unFqespace vectoriel de dimension finien). Matrice génératrice :soitG2 Mn;k(Fq). On dit queGest une matrice génératrice du code linéaireClorsque la famille des colonnes deGest un base deC. AinsiGest de rangketx7!Gxest une fonction d"encodage possible. Matrice de contrôle :Fnqest muni du produit scalaire usuel (la somme des produits des coordon- nées). CommeFnqest de dimension finie, il existe un unique sous-espace vectorielC?de dimension nk. NotonsH2 Mn;nk(Fq)une matrice génératrice deC?, appelée matrice de contrôle.Proposition 4 :
SoitCun code linéaire. Il existe une matrice de contrôleHet une matrice génératriceG. De plus,
pour toute matrice de contrôleHet pour toute matrice génératriceGon a : 1. tHG= 02.8x2Fnq; x2 C ,tHx= 0
Démonstration :Cétant un sous-espace vectoriel non-nul deFnq, espace de dimension finie,Cest de dimension finie. Donc il existe une base deC, et donc une matriceG. De même il existe un supplémentaire orthogonal de dimension finie, et donc une base de ce supplémentaire. tHG= 0car les coefficients du produit correspondant au produit scalaire d"une colonne deH, donc d"un vecteur deC?est d"une colonne deG(vecteur deC). Soitx2Fnq. on note(c1; :::; cn)2(Fnq)nkles colonnes deH, c"est une base deC?. On a leséquivalences suivantes :
x2 C ,x2(C?)? , 8c2(C?);hx; ci= 0 , 8i2[[1; nk]];hci; xi= 0 ,Hx= 0Proposition 5 : (Distance minimale d"un code linéaire) SoitCun code linéaire. La distance minimaledminentre deux mots deCvérifie : d min= min c2Cnf0gw(c) 5Démonstration :on a par définition :
d min= min (c1;c2)2C2 c16=c2d(c1;c2)or pour tout(a;b)2 A2;d(a;b) = d(ab;0)
= min (c1;c2)2C2 c16=c2d(c1c2;0) = min
(c1;c2)2C2 c16=c2w(c1c2)
le code étant linéaire, tout différence de mots du code est un mot du code et tout mot du code peut
s"écrire sous la forme d"un différence :fc1c2;(c1;c2)2 C2=c16=c2g=C n f0g.On a alorsdmin= minc2Cnf0gw(c)Définition :On définit la borne de Hamming d"un codet-correcteur par :
V t=tX i=0 n i (q1)i avecqle cardinal de l"alphabet, etnla longueur d"un mot du code.Proposition 6 : (Majoration de Hamming)
Pour tout codeCt-correcteur, on a la majoration suivante : #C6qnV t avecqle nombre de lettres dans l"alphabet du code etVtla borne de Hamming du code. Démonstration :C"est une reformulation de la proposition 2Proposition 7 : Un code est parfait si et seulement si sa borne de Hamming est atteinte. Démonstration :Le sens direct a été montré dans la proposition 2. SoitCun codet-correcteur. Montrons que si sa borne de Hamming est atteinte,Cest un code parfait. SoitB=fa2 An=9c2 C;a2 E(c;t)gl"ensemble des éléments deAnappartenant à une boule de rayontcentrée en un mot du code. Alors on a exactement#B= #C Vt, les boules étant disjointes puisque le code estt-correcteur. On a alors#B=qn= #AnpuisB=An, ce qui montre que le code est parfait.2 Structure de corps finis2.1 Construction des corps finis
2.1.1 Corps premiers
Construction :soitpun entier naturel non nul. La relation de congruence modulopest une relation d"équivalence qui permet de construire l"ensembleZ=pZ=fCl(x);x2Zg. Cet ensemble estcomposé depéléments : les classes des entiers de0àp1notées0;:::;p. On définit les opérations
+etdansZ=pZpar : -8(a;b)2(Z=pZ)2;a+b=a+b -8(a;b)2(Z=pZ)2;ab=ab Ces opérations sont bien définies car, pour(a;b;c;d)2Z4siac[p]etbd[p]alorsa+bc+d[p] etabcd[p] 6Proposition 8 : (Structure de(Z=pZ;+;))
L"ensemble(Z=pZ;+;)est un anneau commutatif d"élément neutre0pour l"addition et1pour le produit. De plus(Z=pZ;+;)est un corps si et seulement sipest premier.Démonstration :soit(a;b;c;d)2(Z=pZ)4
Groupe commutatif(Z=pZ;+): elle s"hérite de la structure de groupe commutatif de(Z;+): Associativité :(a+b) +c=a+b+c=a+b+c=a+b+c=a+ (b+c)Commutativité :a+b=a+b=b+a
Neutre :0 +a=0 +a=aet donca+0 =a
Inversibilité :a+a=a+a=0
Anneau(Z=pZ;+;):
Associativité :(ab)c=abc=abc=abc=a(bc)
Distributivité :(a+b)(c+d) =a+bc+d=(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd =ac+ad+bc+bdNeutre :a1 =a1 =aet1a=a
Commutativité :ab=ab=ba
Supposonsppremier eta60[p]. Il existex2[[1; p1]]tel quea=x.x < petpest premier, doncx^p= 1. D"après le théorème de Bezout, il existe(u;v)2Z2,ux+vp= 1.ux+vp=1, orp= 0etx=a, on a doncav=1etva=av=1
Supposonspnon premier.
Cas 1 :p= 1. Alors01 [p]donc0 =1,00 =1donc02 U(Z=pZ). AlorsZ=pZn"est pas un corps.Cas 2 :p>2.pest non premier, doncp>3. Il existe(u;v)2[[2; p1]]2tel queuv=p, doncuv=0. SiZ=pZest un corps alorsu
1etv1existent. On av
1u 1uv=v1v=1orv
1u 1uv=v 1u10 =0donc1 =0. On en déduit00 =1, c"est-à-dire01 [p].pj1
etp2Ndonnep= 12.1.2 Corps de Galois Construction :soitpun nombre premier etn2N. On noteraFple corpsZ=pZ. SoitPdeFp[X] de degrén. On définit la relationpar8(A;B)2Fp[X];AB,Pj(AB). C"est une relationd"équivalence. On pose alorsFp[X]=Pl"ensemble des classe d"équivalences. Il contientpnéléments :
les classes des polynômes deFp;n1[X](qui est unFpespace vectoriel de dimensionn). On noteA la classe deA. Similairement à la congruence sur les entiers, on définit les opérations : -8(A;B)2(Z=pZ)2;A+B=A+B -8(A;B)2(Z=pZ)2;AB=AB Elle sont de même bien définies : pour(A;B;C;D)2Fp[X]4tel queABetCD, on sait que (A+C)(B+D)et(AC)(BD)Proposition 9 : (Structure de(Fp[X]=P;+;))
L"ensemble(Fp[X]=P;+;)ainsi défini est un anneau commutatif d"élément neutre0pour l"addition
etX0pour le produit. De plus(Fp[X]=P;+;)est un corps si et seulement siPest irréductible
dansFp[X]. Démonstration :la structure d"anneau commutatif s"hérite de celle deFp[X] SupposonsPirréductible dansFp[X]. SoitA2Fp[X]=Pn0 Il existeC2Fp;n1[X]tel queA=C.degCOn a alorsCD=0. SiFp[X]=Pest un corps alorsC
1etD1existent, etD
1C 1CD=1 7 orCD=0doncD 1C1CD=0. On a1 =0, donc02 U(Fp[X]=P), d"oùFp[X]=Pn"est pas
un corps.Proposition 10 : Soitppremier etn>2entier. Le polynômeXpnX2Fp[X]est égal au produit de tous les polynômes irréductibles unitaires deFp[X]dont le degré divisen.Démonstration :
SoitP2Fp[X]irréductible de degréddivisantn. Le corpsFpd=Fp[X]=Pexiste. On sait que le groupe multiplicatif d"un corps fini est cyclique d"après la proposition 13. Il existe donc un élémentA2(Fp[X]=P)n f0ggénérateur de(Fp[X]=P)n f0g;.X6= 0donc il existei21; pdtel queX=A i.X pd=A pdi=A i=X. OrpjndoncX pn=X,PdiviseXpnX. SoitPun diviseur irréductible deFp[X]de degréd. Posonsf:Fp[X]=P!Fp[X]=P x7!xp.Soit(a;b)2(Fp[X]=P)2f(a+b) = (ab)p=a
pb p=f(a)f(b)et f(a+b) = (a+b)p=pX i=0 p ia ib piorppremier doncp p i d"oùp i = 0dansFp, f(a+b) =a p+b p=f(a) +f(b) fest donc un endomorphisme de corps. Supposonsf(a) =f(b),f(ab) =0, siab6=0alorsf((ab)1)f(ab) =f(1) =1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] code bch pdf
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