VECTEURS ET DROITES
Un vecteur directeur de D est u ! ?b; a. ( ). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D. Le coefficient directeur de D est ?.
EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS
On appelle équation cartésienne d'une droite (d) une équation de (d) sous la Deux droites seront parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Première S - Equations cartésiennes dune droite
Son équation réduite peut donc s'écrire sous la forme: . • Nous avons vu dans les classes précédentes que le nombre est le coefficient directeur de la droite (
Méthodes relatives aux équations de droites Déterminer une
Par identification des coefficients le coefficient directeur de (D1) est m = -10 . Droite (D) d'équation cartésienne connue. Si on connaît une équation
DROITES DU PLAN
Partie 1 : Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite Donner la pente (coefficient directeur) et l'ordonnée à l'origine de chacune des ...
Chapitre 4 - Equation cartésienne dune droite et vecteur directeur
En effet ce taux d'accroissement donne la valeur du paramètre m. Enfin
FICHE PÉDAGOGIQUE DE PRÉPARATION DUNE LEÇON Classe
de déterminer une équation cartésienne d'une droite passant par deux points. • de donner un vecteur directeur
EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS
On appelle équation cartésienne d'une droite (d) une équation de (d) sous la Deux droites seront parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Fonctions affines et droites
f est une fonction affine et son coefficient directeur est a. On peut également avoir une équation cartésienne de la droite (D) avec une équation du ...
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Un vecteur directeur d'une droite d'équation cartésienne + + Le coefficient directeur de D est ? son ordonnée à l'origine est ? et un ...
[PDF] Première S - Equations cartésiennes dune droite - Parfenoff org
Réponse : Les points A et B appartiennent à la droite d donc le vecteur est un vecteur directeur de cette droite (10 – 5 ; 23 – 13) soit (5 ; 10) en
[PDF] Chapitre 4 - Equation cartésienne dune droite et vecteur directeur
Si (d) n'est pas parallèle à l'axe (Oy) alors (d) a une équation de la forme y = mx + p où m ? R est le coefficient directeur de la droite et p ? R est l'
[PDF] DROITES DU PLAN - maths et tiques
a) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point 6 3 1 ( et de vecteur directeur ? 6 ?1 5 ( b) Déterminer une équation
[PDF] VECTEURS ET DROITES - maths et tiques
On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D 2) Equation cartésienne d'une droite
[PDF] On appellera équation réduite dune droite (d) toute écriture du type
Dans l'équation réduite d'une droite s'écrivant y=ax+b ? le nombre a représente le coefficient directeur de la droite c'est à dire qu'un vecteur
[PDF] I Vecteur directeur dune droite II Équation cartésienne dune droite
II Équation cartésienne d'une droite Propriété : Soit ( ) une droite Il existe a b et c trois nombres ( ; ) ? (0 ;0) tels que :
[PDF] ÉQUATION CARTÉSIENNE DE DROITE I) Colinéarité de deux
m en est le coefficient directeur Un vecteur directeur de d est tup1mq Exemple d : y “ 2 3 x ` 5 Un vecteur directeur de d est tuˆ1
[PDF] Méthodes relatives aux équations de droites Déterminer une
Par identification des coefficients le coefficient directeur de (D1) est m = -10 Droite (D) d'équation cartésienne connue Si on connaît une équation
[PDF] 1 S Exercices sur équations de droites et systèmes
En effet pour utiliser le coefficient directeur il faudrait d'abord transformer les équations cartésiennes en équations réduites On sait que le vecteur u
[PDF] Équations cartésiennes de droites 1 Vecteur directeur dune droite 2
est le coefficient directeur de la droite et son ordonnée à l'origine Exemple La droite d'équation parallèle à l'axe des abscisses a pour coefficient
Comment trouver le coefficient directeur d'une équation cartésienne ?
Pour obtenir le coefficient directeur d'une droite à partir de sa forme cartésienne, il est pratique d'utiliser l'équation réduite : = + où représente le coefficient directeur de la droite.Quel est la formule de l'équation cartésienne ?
Une équation cartésienne de droite est de la forme ax+by+c=0. On peut déterminer une équation cartésienne de la droite \\left(d\\right) lorsque l'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur de la droite.Méthode
1On calcule les coordonnées des vecteurs AB et AM .2On utilise le déterminant xy??x?y de ces deux vecteurs. Ce déterminant est nul lorsque les points A, B et M sont alignés.3On développe et on réduit l'expression pour obtenir la forme d'une équation cartésienne.
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET DROITES En 1837, le mathématicien italien Giusto BELLAVITIS, ci-contre, (1803 ; 1880) publie des travaux préfigurant la notion de vecteurs qu'il nomme "segments équipollents". Puis plus tard au XIXe siècle, le mathématicien et physicien allemand Hermann GRASSMANN (1809 ; 1877) pose les bases des opérations sur les segments orientés pour les besoins de la mécanique : addition de forces, de vitesses... Le calcul vectoriel prend alors réellement son essor. I. Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls
u et vsont colinéaires signifie qu'ils ont même direction c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel k tel que
u =kv . Critère de colinéarité : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées x y et x' y' dans un repère (O, i j ). Dire que u et vsont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit : xy' - yx' = 0. Démonstration : - Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. - Supposons maintenant que les vecteurs
u et v soient non nuls. Dire que les vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel k tel que u =kv . Les coordonnées des vecteurs u et vsont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité : x x' y y' Donc : xy' = yx' soit encore xy' - yx' = 0.
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Réciproquement, si xy' - yx' = 0. Le vecteur
v étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que x'≠ 0. Posons alors k= x x' . L'égalité xy' - yx' = 0 s'écrit : y= xy' x' =ky' et donc u =kv . Exemple : Vérifier si les vecteurs u 5 -4 et v -7 5 sont colinéaires. 5 x 5 - (-4) x (-7) = -3 ≠ 0. Les vecteurs u et vne sont pas colinéaires. II. Equations de droite 1) Vecteur directeur d'une droite Définition : Dest une droite du plan. On appelle vecteur directeur de Dtout vecteur non nul
uqui possède la même direction que la droite D. 2) Equation cartésienne d'une droite Théorème et définition : Toute droite D admet une équation de la forme
ax+by+c=0 avec a;b ≠0;0 . Un vecteur directeur de D est u -b;a. Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D. Démonstration : Soit A
x 0 ;y 0 un point de la droite D et uun vecteur directeur de D. Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs
AM x-x 0 y-y 0 et u sont colinéaires, soit :βx-x
0 -αy-y 0 =03YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSoit encore :
βx-βx
0 -αy+αy 0 =0Et donc :
βx-αy+αy
0 -βx 0 =0Cette équation peut s'écrire :
ax+by+c=0 avec a=β et b=-α et c=αy 0 -βx 0 . Les coordonnées de u sont donc =-b;a . Exemple : Soit une droite d d'équation cartésienne4x-5y-1=0
. Alors le vecteur ude coordonnées (5 ; 4) est un vecteur directeur de d. Théorème réciproque : L'ensemble des points M(x ; y) tels que
ax+by+c=0 avec a;b ≠0;0 est une droite D de vecteur directeur u -b;a. - Admis - Méthode : Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur Vidéo https://youtu.be/NosYmlLLFB4 Vidéo https://youtu.be/i5WD8IZdEqk On considère un repère
O;i ;jdu plan. 1) Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A(3 ; 1) et de vecteur directeur
u(-1 ; 5). 2) Déterminer une équation cartésienne de la droite d' passant par les points B(5 ; 3) et C(1 ; -3). 1) Soit un point M(x ; y) de la droite d. Les vecteurs
AM x-3 y-1 et u -1 5 sont colinéaires, soit : 5x-3 --1 y-1 =0 . Soit encore :5x+y-16=0
. Une équation cartésienne de d est :5x+y-16=0
. Remarque : Une autre méthode consiste à appliquer le premier théorème énoncé plus haut. Ainsi, comme
u (-1 ; 5) est un vecteur directeur de d, une équation de d est de la forme :5x+1y+c=0
. Pour déterminer c, il suffit de substituer les coordonnées de A dans l'équation. 2) BC est un vecteur directeur de d'. BC 1-5 -3-3 -4 -6 . Une équation cartésienne de d' est de la forme : -6x+4y+c=0. B(5 ; 3) appartient à d' donc : -6 x 5 + 4 x 3 + c = 0 donc c = 18. Une équation cartésienne de d' est :
-6x+4y+18=0 ou encore3x-2y-9=0
. Tracer une droite dans un repère : Vidéo https://youtu.be/EchUv2cGtzo 3) Equation cartésienne et équation réduite Si
b≠0 , alors l'équation cartésienne ax+by+c=0 de la droite D peut être ramenée à une équation réduite y=- a b x- c b . Le coefficient directeur de D est a b , son ordonnée à l'origine est c b et un vecteur directeur de D est 1;- a b . Exemple : Soit d dont une droite d'équation cartésienne4x+y-6=0
. Son équation réduite est y=-4x+6 . 4) Parallélisme de droites Propriété : Les droites d'équation ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont parallèles si et seulement si ab'-a'b=0 . Démonstration : Les droites d'équations ax+by+c=0 et a'x+b'y+c'=0 sont parallèles si et seulement si leur vecteur directeur respectif u -b a et v -b' a' sont colinéaires soit : -ba'-a-b' =0 soit encore : ab'-a'b=0 . Exemple : Vidéo https://youtu.be/NjsVdVolhvU Les droites d'équations3x-y+5=0
et -6x+2y+7=0 sont parallèles. En effet, 3 x 2 - (-1) x (-6) = 0.5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr III. Décomposition d'un vecteur Définition : On appelle base du plan tout couple de deux vecteurs non colinéaires. Exemples : - Lorsqu'on considère un repère
O;i ;j du plan, le couple de vecteurs i et j , notée i ;j , est une base du plan. - Lorsqu'on considère un triangle non aplati ABC, le couple AB ;AC par exemple est une base du plan. Propriété : Soit u ;v une base du plan. Pour tout vecteur w , il existe un unique couple de nombres réels a;b tel que : w =au +bv . - Admis - Remarque : La décomposition w =au +bv signifie que le vecteur w a pour coordonnées a;b dans la base u ;v6YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Choisir une décomposition pertinente pour résoudre un problème Vidéo https://youtu.be/4-dKOkNu_p4 Soit un triangle ABC. D est le milieu de [BC] et E est le milieu de [BD]. Le point F est défini par :
AF =3AB +AC . Démontrer que les points A, E et F sont alignés. Par définition, le vecteur AF est exprimé en fonction de AB et AC . On va exprimer également le vecteur AE dans la base ( AB AC ) et démontrer que les vecteurs AE et AF sont colinéaires. D est le milieu de [BC] donc AD 1 2 AB +AC . E est le milieu de [BD] donc AE 1 2 AB +AD . Donc : AE 1 2 AB 1 2 AB +AC 1 2 AB 1 4 AB 1 4 AC 3 4 AB 1 4 ACOn a ainsi :
AE 3 4 AB 1 4 AC et AF =3AB +ACDonc :
AE 1 4 AF . Les vecteurs AE et AFsont colinéaires et donc les points A, E et F sont alignés. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] taux d'évolution 1ere stmg
[PDF] coefficient multiplicateur reciproque
[PDF] passer d'un coefficient multiplicateur a un pourcentage
[PDF] coefficient multiplicateur prix de vente
[PDF] exercice coefficient multiplicateur ses
[PDF] comment trouver le coefficient d'un trinome du second degré
[PDF] coefficient d'un trinome de degré 2
[PDF] coefficient cultural fao
[PDF] besoin en eau des cultures fao
[PDF] coefficient cultural tomate
[PDF] calculs des besoins en eau des plantes
[PDF] comment calculer le besoin en eau d'une culture
[PDF] coefficient cultural gazon
[PDF] calcul des besoins en eau des cultures pdf