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NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 2/2
Partie 1 : Module d'un nombre complexe
Définition : Soit un nombre complexe =+. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté , égal àM est un point d'affixe z.
Alors le module de z est égal à la
distance OM.Propriétés : a)
b) ! c) Méthode : Calculer le module d'un nombre complexeVidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4
Vidéo https://youtu.be/i85d2fKv34w
Calculer : a)
3-2
b) -3 c) 02+0 d)
Correction
a)3-2
1 3 -213 b)
-3 -3 -3 =3×1=3 c) 02+0=
6 2 +1 3 d) 3 2 = 1Partie 2 : Argument d'un nombre complexe
Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle.On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle 7⃗;
2Remarques :
- Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg2
- 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle 7⃗; n'est pas défini.Exemple :
Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4
Soit =3+3.
Alors3+3
3 +3 =3 2 et arg 42
Méthode : Déterminer géométriquement un argumentVidéo https://youtu.be/NX3pzPL2gwc
a) Déterminer un argument de chaque affixe des points A, B et C. b) Placer les points D et E d'affixes respectives et telles que : =2 et arg2
2
=3 et arg 42
Correction
a) arg 42
arg2
arg2
3 b) Le point D appartient au cercle de rayon 2 car =2.Le point E appartient au cercle de rayon 3 car
=3. Partie 3 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture cos+sin avec =arg Méthode : Passer de la forme trigonométrique à la forme algébriqueVidéo https://youtu.be/kmb3-hNiBq8
Écrire le nombre complexe =3Pcos
+sinQ sous sa forme algébrique.
4 334-23
4Correction
=3Pcos 2 +sin 2 Q =30+×1
=3 Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme trigonométriqueVidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4
Vidéo https://youtu.be/RqRQ2m-9Uhw
Écrire le nombre complexe =
3+ sous sa forme
trigonométrique.Correction
- On commence par calculer le module de z : 6 73
+1 3+1=2 - En calculant , on peut identifier plus facilement la partie réelle de z et sa partie imaginaire :3+
2 3 2 1 2 On cherche donc un argument de z tel que : cos= et sin= 1Comme cosP
Q= 2 et sinP Q= 1 2 , on a : 2 =cosP 6Q+sinP
6 QDonc :
=2PcosP 6Q+sinP
6QQarg
62
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