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Math. C2. +. 2 Activité : Code ISBN. Au dos de chaque livre magazine



NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. NOMBRES COMPLEXES. (Partie 2). I. Module d'un nombre complexe.



PROBABILITES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. PROBABILITES. Activités conseillées. Activité conseillée Exercices conseillés En devoir.

.
1

NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 2/2

Partie 1 : Module d'un nombre complexe

Définition : Soit un nombre complexe =+. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté , égal à

M est un point d'affixe z.

Alors le module de z est égal à la

distance OM.

Propriétés : a)

b) ! c) Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe

Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4

Vidéo https://youtu.be/i85d2fKv34w

Calculer : a)

3-2

b) -3 c) 0

2+0 d)

Correction

a)

3-2

1 3 -2

13 b)

-3 -3 -3 =3×1=3 c) 0

2+0=

6 2 +1 3 d) 3 2 = 1

Partie 2 : Argument d'un nombre complexe

Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle.

On appelle argument de z, noté arg(z) une mesure, en radians, de l'angle 7⃗;

2

Remarques :

- Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg

2

- 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle 7⃗; n'est pas défini.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4

Soit =3+3.

Alors

3+3

3 +3 =3 2 et arg 4

2

Méthode : Déterminer géométriquement un argument

Vidéo https://youtu.be/NX3pzPL2gwc

a) Déterminer un argument de chaque affixe des points A, B et C. b) Placer les points D et E d'affixes respectives et telles que : =2 et arg

2

2

=3 et arg 4

2

Correction

a) arg 4

2

arg

2

arg

2

3 b) Le point D appartient au cercle de rayon 2 car =2.

Le point E appartient au cercle de rayon 3 car

=3. Partie 3 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture cos+sin avec =arg Méthode : Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Vidéo https://youtu.be/kmb3-hNiBq8

Écrire le nombre complexe =3Pcos

+sin

Q sous sa forme algébrique.

4 3

34-23

4

Correction

=3Pcos 2 +sin 2 Q =3

0+×1

=3 Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4

Vidéo https://youtu.be/RqRQ2m-9Uhw

Écrire le nombre complexe =

3+ sous sa forme

trigonométrique.

Correction

- On commence par calculer le module de z : 6 7

3

+1 3+1=2 - En calculant , on peut identifier plus facilement la partie réelle de z et sa partie imaginaire :

3+

2 3 2 1 2 On cherche donc un argument de z tel que : cos= et sin= 1

Comme cosP

Q= 2 et sinP Q= 1 2 , on a : 2 =cosP 6

Q+sinP

6 Q

Donc :

=2PcosP 6

Q+sinP

6

QQarg

6

2

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