DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ? telle que f ' = f et f (0) = 1. D5 - Démonstration de l'unicité au programme (exigible BAC) : -
Démonstrations exigibles au bac
Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une « restitution organisée de connaissances ». I - Suites. Enoncé I-1. Soient (un) n?
démonstrations exigibles au baccalauréat
démonstrations exigibles au baccalauréat fonction exponentielle (1/2) propriété : Il existe une unique fonction f dérivable sur r telle que f ' = f et f(0)
FONCTION EXPONENTIELLE
Démonstration de l'unicité (exigible BAC) : L'existence est admise. - Démontrons que f ne s'annule pas sur ?. Soit la fonction h définie sur ? par.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Démonstration (exigible BAC) : - Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes
Raisonnement et démonstration
ménager une grande progressivité dans l'apprentissage de la démonstration et de faire sur deux épreuves successives n'est pas exigible dans le cadre du.
ROC : Restitution organisées des connaissances
18 jui. 2014 Démonstration : Seule la preuve de la première limite est exigible. D'après l'inégalité de Bernoulli on a : ?a > 0 (1 + a)n.
LOIS À DENSITÉ (Partie 2)
Démonstration (exigible BAC) : Par symétrie de la courbe de la fonction densité f on a : P(?t ? X ? t) = 2P(0 ? X ? t) = 2 f (x)dx.
RAPPELS EXP ET FONCTION LN
Démonstration ROC . Lsexistence dsune telle fonction est admise mais la démonstration de son unicité est exigible au bac.
DROITES ET PLANS DE LESPACE
Propriété : Si une droite d est orthogonale à un plan P alors elle est orthogonale à toutes les droites de P. Démonstrations (exigible BAC) : Ces deux
démonstrations exigibles au baccalauréat
démonstrations exigibles au baccalauréat démonstrations exigibles au baccalauréat fonction exponentielle (1/2) propriété : Il existe une unique fonction dérivable sur telle que ' = et (0) = 1 démonstration - exigible- L'existence de la fonction est admise conformément au programme !
Les démonstrations sont regroupées par chapitres (voir
Toutes ne sont pas exigibles au bac Pour les démonstrations exigibles au bac cliquer sur les liens en bleu ci-dessous TS –DEMONSTRATIONS Les démonstrations sont regroupées par chapitres (voir renvois aux démonstrations dans les synthèses de cours) Toutes ne sont pas exigibles au bac
DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S - LeWebPédagogique
D1- Démonstration au programme (exigible BAC) :! Prérequis : Pour tout entier naturel n on a : (11+ana)n?+(inégalité de Bernoulli) On suppose que q>1 alors on peut poser q=a+1 avec a>0 qa nan=+(11)n? + Or lim 1( ) n na +=+ car a?>0 Donc le théorème de comparaison
PRODUIT SCALAIRE
DANS L'ESPACE
I. Produit scalaire de deux vecteurs
1) Définition
Soit et deux vecteurs de l'espace. A, B et C trois points tels que et Il existe un plan P contenant les points A, B et C.Définition :
On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P.On a ainsi :
- si ou est un vecteur nul,Exemple :
Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
ABCDEFGH est un cube d'arête a.
uvuAB=vAC=uv.uv.ABAC.0uv=uv .cos ;uvuv uv=´´ 2 uvAB DG ABAF ABAB a H 22) Propriétés
Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. Propriétés : Soit , et trois vecteurs de l'espace. - et sont orthogonaux.Démonstration :
Il existe un plan P tel que les vecteurs et admettent des représentants dans P. Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent.3) Expression analytique du produit scalaire
Propriété : Soit et deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé . Alors .Et en particulier : .
Démonstration :
En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple : , et .On a en particulier : .
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace .
uvw 2 .uuu= ..uvvu = ...uvwu vuw +=+ ...kuvu kvk uv== kÎ.0uv=Ûuvuv x uy z x vy z ,,,Oijk .'''uvx xyy zz=++ 222.uuuxyz==++ uvx iyj zkxiyjz k xxiixy ij xzi kyxjiy yjj yzj kzxkizyk jzzk k xxyyzz ;ij 2 .1iii== 2 .1jjj== ..0ijji == 2 222
.uuu xxy yzz xyz==++=++ ;,,CCBCDCG 3
Alors : et soit .
Alors .
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.
II. Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.Démonstration :
Elle est incluse dans la démonstration du corollaire qui suit. Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, HermannGünther Grassmann (1809 ; 1877).
Corollaire : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P. - Démontrons la réciproque : 1 1 1 CE 10 01 0,50 DI 1 1 0,5 DI .111110,50,5CEDI =´+´-+´= CE DI nnnuv 4 Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur . Soit une droite quelconque () de P de vecteur directeur .Démontrons que () est orthogonale à .
peut se décomposer en fonction de et qui constituent une base de P (car non colinéaires).Il existe donc deux réels x et y tels que .
Donc , car est orthogonal avec et .
Donc est orthogonal au vecteur .
Et donc est orthogonale à ().
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un planVidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
ABCDEFGH est un cube.
Démontrer que le vecteur est normal au plan
(ABG).On considère le repère .
Dans ce repère : ,,,,.
On a ainsi :
, et , donc : Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un planVidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
Dans un repère orthonormé, soit et .
Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).
d n 1 d 2 d uvuvn D w D d wuv wxuyv=+...0wnxu nyvn=+= nuvnw d D CF ;,,BBABC BF 1 0 0 A 0 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 F 0 1 1 G 0 1 1 CF 0 1 1 BG 1 0 0 AB .0011110 .0(1)10100 CFBG CFAB CF 11 2,3 21AB 2 0 2 C 5
On a : et .
Soit un vecteur orthogonal au plan (ABC). Il est tel que : soitPrenons par exemple, alors et .
Le vecteur est donc normal au plan (ABC).
2) Equation cartésienne d'un plan
Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé . Un plan P de vecteur normal non nul admet une équation cartésienne de la forme , avec ℝ. Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points tels que , avec ℝ, est un plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Soit un point de P. 2 1 3 AB 1 2 0 AC a nb c .0 .0 nAB nAC 23020 abc ab 2230
2 330
2 2 bbc ab bc ab cb ab b=1 1c= a=2 2 1 1 n ;,,Oijk a nb c ax+by+cz+d=0 dÎ x My z ax+by+cz+d=0 dÎ A A A x Ay z 6 et sont orthogonaux avec . - Réciproquement, supposons par exemple que (a, b et c sont non tous nuls). On note E l'ensemble des points vérifiant l'équation
Alors le point vérifie l'équation .
Et donc E.
Soit un vecteur . Pour tout point , on a :
E est donc l'ensemble des points tels que .
Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal .Exemple :
Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point et de vecteur normal . x MyP z AM n.0AMnÛ= 0 0 AAA AAA axxb yyc zz axbyc zaxby czÛax+by+cz+d=0
d=-ax A -by A -cz A a¹0 x My z ax+by+cz+d=0 ;0;0 d A a ax+by+cz+d=0 AÎ a nb c xquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] resultat roc azur 2016
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