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CoursdՎlectroci nŽtique

EC2-Bobineetcondensateur

1In troduction2

2Le condens ateur2

2.1Const itutionetsymbole...............................2

2.2Relat iontension-intensitŽ ..............................2

2.3Cond ensateuretrŽgimes...............................3

2.4ƒner gieetcondensateur...............................3

2.5Assoc iationdecondensateur.............................3

2.5.1Associat ionensŽrie.............................3

3La bobine3

3.1Const itutionetsymbole...............................3

3.2Relat iontension-intensitŽ ..............................4

3.3Bobi neetrŽgimes...................................4

3.4ƒne rgieemmagasinŽeparlabobi ne.........................4

3.5Asso ciationdebobines................................5

3.5.1Associat ionensŽrie.............................5

4CircuitsRCetRL5

4.1Di ŽrentstypesderŽgime s.............................5

4.2ƒche londetension..................................6

4.3Circ uitRC......................................6

4.3.1ƒquation di

4.3.2Casdenot reŽtud e..............................6

4.3.3Chargedu condensateur...........................7

4.3.4DŽcharge ducondensateur..........................8

4.3.5AspectŽ nergŽtique..............................9

4.4Circ uitRL.......................................10

4.4.1ƒquation di

4.4.2Casdenot reŽtud e..............................10

4.4.3ƒtablis sementducourant..........................10

4.4.4Ruptur educourant.............................11

4.4.5AspectŽ nergŽtique..............................12

1 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur1.Int roduction

1Int roduction

Nousavion sdonnŽdanslechapit reEC1unedŽÞ nitionrŽdu ctric edecequÕestundip™le linŽaire(sacaractŽristiq ueestune droite).

EnrŽali tŽ,toutdip™lepourlequel uetisontreliŽs paruneŽquationdi≠ŽrentiellelinŽaireˆ

coe cientsconstantsestun dip™lelinŽaire. Lecas leplus simple correspondaucon ducteurohmiqueou=Ri.Nous allonsvoi ricile casducon densat euretdelabobinequisontdoncausside sdip™le slinŽai res.

2Le condensate ur

2.1Constit utionetsymbole

Uncon densateurestconstituŽdedeuxarmatu resconduct ricessŽparŽesparunisolantap- pelŽdiŽle ctrique. Ilspeuven ttreplans,cylindriqu esvoirsphŽriq ues. Lesconde nsateurssontcaractŽrisŽsparleurcapacitŽ CquisÕexpr imeenFarad.CÕestla capacitŽquÕilsontˆacc umulerdeschargeslors quÕils sont soumisˆunecertainedi

Žrencede

potentiel. LÕarmaturequireoitlecour antportela charge+q,lÕ autreportelacharge≠q. Figure1ÐS ymb olisationdÕuncondensateur,convention rŽcepteur

2.2Relat iontension-intensitŽ

Onconna" tlarelationentre lacharge portŽeparlÕarmatureposi tiveetlatension appliqu Že auxborn esducondensateur: q=Cu(1) Onconna" tlarelationentre lÕinte nsitŽducourantarrivan tsurlecondensate uretlavariation decharge delÕarmaturep ositive : i= dq dt (2)

DÕo:

i=C du dt (3) 2 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur2.3C ondensateuretrŽgimes

2.3Compo rtementducondensateursousdi

ŽrentsrŽgimes

Lecon densateurnÕest"intŽressant"quÕ enrŽgimevariable,c Õestˆdirelorsqueuvarie. Ene et,enrŽgim eperman ent,latensionŽt antconstante,ona: i=C du dt =0(4) Lecond ensateursecomportedoncenrŽgimeperm anentcom meuninterrupteur ouvert.

2.4ƒnergie emmagasinŽeparlecondens ateur

LՎnergieemmagasinŽeparlecon densateurentreletempst=0ou=0etle tempsto u=uestdonnŽep ar: E C 1 2 Cu 2 (5) Attention,la puiss ancereueparuncondensateurp eutchangerdesigneau coursdu temps:

ÐSisonŽn ergieE

C augmente,lapuissancere ue(P=u(t)i(t))e stpositive estleconden- sateursecomportecom meunr Žcepteur.

ÐSisonŽn ergieE

C diminue,lapuissancereue estnŽgat iveestlecondensateursecomp orte commeungŽnŽrate ur.

ConsŽquencesurlacontinuitŽdel afonctionu(t)

LՎnergieemmagasinŽeparuncon densateurdŽpenddelatensi onˆses bornes. Cetransfert dՎnergienepouvantpassefaire instant anŽment,latensi onu(t)auxborn esdÕuncondensateu r estunefonc tioncontinu edutemps.

2.5Associa tiondecondensateur

2.5.1Associ ationensŽrie

Troiscondensate ursdecapacitŽC

1 ,C 2 ,C 3 placŽsensŽriesont Žquival entsˆuncondensa- teurdecapacitŽ C eq vŽriÞantlarelationsuivant e: 1 C eq 1 C 1 1 C 2 1 C 3 (6)

Troiscondensate ursdecapacitŽC

1 ,C 2 ,C 3 sateurdecapacitŽC eq vŽriÞantlarelationsuivant e: C eq =C 1 +C 2 +C 3 (7) 3 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur3.Lab obine

3La bobine

3.1Consti tutionetsymbole

Unebobin eestconstituŽedÕ unenroule mentdespiresconductricesautou rdÕunisolant.E lle admetdoncunece rtainerŽsi stanceint ernedufaitdecettegrande longueurdeÞl. Figure2ÐS ymb olisationdÕunebobinerŽelle,convent ionrŽcepteur

3.2Relati ontension-intensitŽ

variedanslessp iresdela bobinecrŽŽ unchampmagnŽtique

Bquifaitapp ara"treunet ension

annŽe). MathŽmatiquement,pourunebobineidŽale(sansrŽsistance interne) ,cetteauto- induction sՎcrit: u=L di dt (8) oLe stl Õinductan cedelabobinequisÕexprimeenHenry(H). Enten antcomptedelarŽsi stanceinternede labobin e,late nsionauxbornesdecelle-ci sՎcrit: u=L di dt +ri(9) avecrlarŽsi stanceinternedelabobinequisÕ exprimeenOhm(≠).

3.3Compor tementdelabobinesousdi

ŽrentsrŽgimes

Lab obinenÕest"intŽr essante"quÕenrŽ gimevariable,cÕestˆdirelorsqueivarie. Ene et,enrŽgim eperman ent,lÕintensit ŽŽtantconstante,ona: u=L di dt +ri=ri(10) Labobi nesecomportedoncen rŽgimep ermanentcommeuncondu cteurohmi que defaibl erŽsistance(r=10≠12≠).

3.4ƒnergie emmagasinŽeparlabobi ne

Pourunebobi neidŽale,l ՎnergieemmagasinŽ eparcelle-cientrel etempst=0oi=0et lete mpstoi=iestdonnŽep ar: E L 1 2 Li 2 (11) Attention,l apuiss ancereueparunebobinepeutc hangerdesigneaucours dutem ps: 4 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur3.5As sociationdebobines ÐSisonŽn ergieEau gmente,lapuissancer eu e(P=u(t)i(t))es tpositivee stlabobine secompor tecommeunrŽcepteur . ÐSisonŽn ergieE diminue,lapuissance re ueestnŽgativeestlabobines ecomport ecomme ungŽnŽr ateur. Pourunebobi nerŽelle, pendantquÕellee mmagasinelՎnergieE L ,el leendissipe aussipar e etJoul e.

ConsŽquencesurlacontinuitŽdel afonctioni(t)

LՎnergieemmagasinŽeparune bobinedŽpenddelÕintensit Žducour antquilat raverse.Ce

transfertdՎnergienepouvant passefaireinstantanŽment,lÕ intens itŽducouranti(t)parcou-

rantunebobi neestunef onctioncontinuedu temps.

3.5Associa tiondebobines

conducteursohmiques.

3.5.1Assoc iationensŽrie

Onpeut considŽrerlec asdesbobinesrŽelles:

Uneassoc iationdenbobinesrŽellesident iquescaractŽrisŽesparle coupleL,restŽquival ente ˆun ebobinedÕi nductancenLassociŽeˆunconducteurohm iq uederŽ sistancenr. idŽales:

Soitdeuxbob inesidŽalesdÕ inductancesL

1 etL 2

ŽquivalenteˆunebobinedÕinductanc eL

eq quivŽriÞe : 1 L eq 1 L 1 1 L 2 (12)

4Ci rcuitslinŽairesdupremi erordresoumisˆunŽchelonde

tension 4.1Di

ŽrentstypesderŽgime s

EnŽlec tricitŽ,onemploiesouventletermederŽgime def onctionnement:nousall onsen rencontrerdedi

Žrentessortesetilnefau tpaslesconfondre.

ÐLerŽ gimecontinuetlerŽ gimevariablesontˆoppose r: ÐEnrŽgimecontinu,tou teslesgrandeursŽl ectrique ssontconstantesaucoursdu temps; ÐEnrŽgimevariable,ce sgrandeursd Žpendentdutemps. ÐLerŽ gimetransitoireetl erŽgimepermanentvontdepair: 5 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur4.2ƒc helondetension ÐUnrŽgimeestpermane ntlorsquependantuncert aintemps,lescaractŽr istiqu es desgrandeur sŽlectriquesnesontpasm odiގes. LerŽ gimecontinuestunc asparticulierderŽgim epermanen t. UnrŽ gimevariablepeutt repermanent:nousver ronslerŽgimes inuso•dalquies t variable(lÕintensitŽ etlatensionsontdesfonctionstrigonomŽtriqu espŽri odique s), maiscommel escaractŽristi quesdei(t)etu(t)restentlesmmes,cerŽ gimeestaus si permanent. ÐUnrŽgimetransitoire estlerŽgim edurant lequelonpassedÕu nrŽgimepermanent

ˆun autre.

4.2ƒchelo ndetension

Nousallons soumettredi

Žrentscircuitsˆun

Žchelondetension:onfai tpasse rlatensionaux

bornesducircuitˆ Žtudie rdÕunevaleurE 1

ˆun eva-

leurE 2

Pourcela,de uxpossibilit Žs:

ÐOnferm eouonouvreuninterr up teu rquirelie

ungŽnŽr ateurdetensioncontinueauci rcuitˆ

Žtudier.

ÐOnutil iseungŽnŽrateurbassefrŽ quence (GBF) quipeutdŽ livrerunete nsioncrŽneaudefrŽquence variable. Danscecas,i lfautrŽ glerlafrŽ quence duGBFen fonctiondecequelÕonsou haiteob servŽ( gŽnŽrale- transitoireˆobserver).

Figure3ÐE che lonsdetensions

6 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur4.3C ircuitRC

4.3CircuitR C

4.3.1ƒquationd i

Žrentielle

OnŽtu dielecircuitRCsoumi sˆune tensionE=

cste,ons Õin tŽresseˆlÕalluredelatensionauxbornes duconde nsateuretˆlÕintensitŽparcourantle cir- cuit.

Onappli quelaloidesmailles:

E=Ri+u(13)

Ori=C du dt ,dÕ o E=RC du dt +u(14)

ƒquationquelÕonpeutŽ crire:

du dt +u=E(15) avec≠=RC.

Figure4ÐCircuitRC

CetteŽquationdi

Žrentielleestdupremierordre,le circuitRC estapp elŽcircuitdupremier ordre.

4.3.2Casdenot reŽtud e

Las olutiondecetteŽquation di

Žrentielleseradi

ŽrenteselonlecasŽtu diŽ.

Pourobteni rlasolutionlaplusgŽnŽ rale,on additionne: rŽponseducircuitRCs ansexc itation:cÕestcequelÕonapp ellel erŽgimelib re; OnsÕin tŽresseraiciaucircuitsoumisˆunŽchelondete nsion:legŽ nŽr ateur dŽlivreEpourlacharge duconde nsateur,0poursadŽch argedansl arŽsistance.

4.3.3Charged ucondensateur

Ondoit trouverune solutionˆlՎquation:≠ du dt +u=E. formeu 1 =Ae t avecAunecons tant eet"unrŽe l.

Injectonsu

1 ≠#"Ae t +Ae t =0(16)

Cequid onne"=≠

1 7 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur4.3C ircuitRC 2 constante. Ona du 2 dt =0doncu 2 =E.

SolutionglobaleellesՎcrit:u(t)=Ae

t +E. Utilisationdelaconditioninitial eLՎquationdi≠ŽrentiellequenousŽtudionsestdup re- mierordre,un eseuleconditioni nitialesu tˆt rouv erlaseuleconstanteˆ dŽterm iner:

At=0,u(t)=0doncA+E=0etA=≠E.

Finalement,latensionauxbornesducon densate ur

quisecharge sՎcri t: u(t)=E

1≠e

t (17) Etsonall ureest reprŽsentŽeci- contre.Onp eut vŽriÞerquelafonctionu(t)estbiencon tinue.

Figure5ÐAl lur edelatension

auxborn esducondensateurl ors desach arge Commelemontre laÞgure ci-dessus,lacon stanted etemps≠=RCpeuttrefacil ement obtenuegraphiquement .CetempspermetdecaractŽriserlavitesse dechar geducondensateur, plusilestfaib leplus lecondens ateursechargevite.

Onditau ssisouven tquÕauboutdÕun tempstŽgalˆ5≠,le condens ateuresttotalementchargŽ.

Onestp assŽdurŽgim etransitoireau rŽgimep ermanent.

IntensitŽdanslecircuit

Onpeu tfacilementobt enirlՎquationdelÕintensitŽ ducouran tetsonallure. Ene et,i=C du dt dÕo: i(t)= E R e t (18)

Lafon ctioni(t)estdiscon tinue.

Figure6ÐAl lur edelÕintensitŽ

danslecirc uitlors delacharge duconde nsateur

4.3.4DŽcharge ducondensateur

Ondoitt rouverunes olutionˆlՎquation:≠ du dt +u=0.

SolutionOncher cheunesolutiondelaforme u=Ae

t avecAunecons tant eet"unrŽe l.

InjectonsudanslՎqu ation:

≠#"Ae t +Ae t =0(19) 8 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur4.3C ircuitRC

Cequid onne"=≠

1

Lasol utionsՎcritdonc:u(t)=Ae

t Utilisationdelaconditioninitial eAt=0,u(t)=EdoncA=E.

Finalement,latensionauxbornesducon densate ur

quisedŽch argesՎc rit: u(t)=Ee t (20) Etsonall ureest reprŽsentŽeci- contre.Onp eutvŽ- riÞerquelafonct ionu(t)estbiencon tinue.

Figure7ÐAl lur edelatension

auxborn esducondensateurl ors desadŽ charge

IntensitŽdanslecircuit

Onpeut facilementobte nirlՎquationdelÕintensitŽ ducour antetsonallure. Ene et,i=C du dt dÕo: i(t)=≠ E R e t (21)

Lafon ctioni(t)estdiscon tinue.

Figure8ÐAl lur edelÕintensitŽ

danslecirc uitlors dela dŽchargeducondensateur

4.3.5Aspec tŽnergŽtique

Casdel acharge

Reprenonslaloidesmaillesut ilisŽ espourŽ tablirlՎq uationdi

Žrentielleconcernantlatension

auxborn esducondensateurd ansunc ircuitRC:

Ri+u=e(t)(22)

$%R dq dt q C =E;mu ltiplionscetteŽquationparidt:(23) $%Ri 2 dt+ q C dq dt dt=Eidt(24) $%Ri 2 dt+d q 2 2C =Eidt(25)

Onrecon na"talorslesŽnergiessuiv antes:

pendantletempsdt; 9 ElectrocinŽtiqueEC2-Bobineetcondensateur4.4C ircuitRL Onpeu tintŽgrercesŽ nergiesinÞnitŽsimaless urletemps dechargeducondensateur:

ЃnergiefournieparlegŽn Žrateur:

E g 5" 0

Eidt=E

Q 0 dq=EQ=CE 2 (26) cari= dq dt ;pe ndantlachargeduconden sateur; Q=Cuetlorsq uelecondensateurestquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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