[PDF] Chapitre 4.1 – La cinétique de rotation

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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 1

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Chapitre 4.1 La cinétique de rotation

Le corps rigide

Un corps rigide est un système de N particules dont la distance entre chaque paire de particules doit être maintenue constante grâce à des forces internes. Les contraintes de distance ont pour effet de réduire les 3N possibilités de translation des N particules (chaque particule ayant 3 degrés de liberté de translation). Lorsque le corps rigide est libre de mouvement, les mouvements des N particules est réduit par les contraintes au mouvement seule particule. Cette particule ayant toute la masse du corps peut effectuer une translation et une rotation Ltranslation du corps est évalué en appliquant la

2e loi de Newton en supposant que toutes les forces

appliquées sur le corps sont appliquées sur la particule et lrotation du corps est évalué en appliquant la 2e loi de Newton en rotation1 par rapport à la particule.

La dynamique du corps rigide ne permet pas la

vibration du corps. Corps

Approximation

corps rigide

Mouvement

complexe - 3N mouvements de translation - Plusieurs contraintes de distance

N Particules

1 particules

Application des

contraintes - 3 mouvements de translation - 3 mouvements de rotation v v : Vitesse de translation : Vitesse de rotation

La dynamique du corps rigide approxime un corps

comme étant une particule pouvant effectuer

La cinématique de translation et de rotation

La cinématique de translation ous les

même déplacement (voir schéma A) comme par exemple un bloc qui glisse sur un plan incliné.

La cinématique de rotation

référence et effectuent la même rotation angulaire (voir schéma B) comme par exemple un tourne-disque en rotation. La cinématique de translation et de rotation on autour du point en translation (voir schéma C) comme par exemple lancer une balle de baseball. A A B Translation pure Rotation pure C

Translation et rotation

1 La 2e loi de Newton en rotation sera présentée dans le chapitre 4.7.

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 2

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Axe de rotation et position angulaire

corps rigide de rotation, les points situés sur le corps ne vont pas tous effectuer le même déplacement :

Rotation du corps

sur corps (rotation spin)

Rotation du corps autour

(rotation orbitale)

Rotation spin et rotation orbitale avec deux

vitesse angulaire différente (rotation spin-orbitale)

Rotation orbitale

de la Terre

365 jours/tour

Rotation spin

du Soleil

25 jours/tour (centre)

34 jours/tour (pole)

Rotation spin

de la Terre

24 heures/tour

Puisque tous points trajectoires circulaires, on réalise que sous une rotation simple (spin ou orbitale) variation de position angulaire un :

Position angulaire

initiale : 0

Position angulaire

finale : 30
P axe P axe 0T

Position, vitesse et accélération angulaire

À pa corps une position, une vitesse et une

accélération qui porte le nom de position angle , de vitesse angulaire et accélération angulaire Tous ces paramètres sont reliés par le calcul différentiel de la façon suivante : Relation Position angulaire Vitesse angulaire Accélération angulaire

Différentielle

(pente) T t ttd dZ ttd dD

Intégrale

(aire) tttdT tttdZ D t où : Position angulaire (rad) : Vitesse angulaire (rad/s) : Accélération angulaire (rad/s2)

N.B. On peut utiliser un indice x,y ou z

aux paramètres et pour désigner autour de quel axe le corps rigide tourne (ex : z z et z Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 3

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Le mouvement de rotation uniformément accéléré constante

mouvement de rotation uniformément accéléré (RUA). Les équations du mouvement sont alors

identiques à celles :

Mouvement rectiligne Mouvement rotatif

MUA : Mouvement uniformément accéléré RUA : Rotation uniformément accéléré o xxata o tavtvxxx 0 o 2 002

1tatvxtxxx

o 0 2 0

22xxavxvxxx

o D t o ttZZ 0 o 2 002

1tttZTT

o 0 2 0

22TDZTZ

Preuve :

La preuve est identique à la démonstration des équations du MUA en appliquant la correspondance

suivante : ox oxv oxa Situation 1 : Un disque tourne en ralentissant. Un disque tourne sur lui-même avec une vitesse angulaire initiale de 20 rad/s. En raison du frottement, son mouvement de rotation ralentit au taux constant de 4 rad/s2

Voici les données de base :

rad/s200Z 00T

2rad/s4 D

0Z ?T ?t

En utilisant la formule

Z2 pour un RUA, on peut évaluer la position finale angulaire du disque : 0 2 0

22TDZZ

04220022 T

rad50T Avec la relation suivante, on peut évaluer le nombre de tour : ( tour12S tours1 tours rad2 rad50n 2 50n
tours96,7n Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 4

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Les relations entre les variables linéaires et angulaires Un arc de cercle L est relié au rayon r d cercle et à un de la façon suivante : rL rnceCirconfére2

À partir de cette relation, nous pouvons associé la cinématique de translation selon un axe x circulaire

avec la cinématique de rotation selon un axe de la façon suivante en imposant la contrainte 0 Tx rx

TTrtrrtt

xvx d d d d d d

ZZrtrrtt

vax x d d d d d d où x : Position tangentielle (m) xv : Vitesse tangentielle (m/s) xa : Accélération tangentielle (m/s2) P axe 0 x r P0

Situation 2 : Un disque qui tourne de plus en plus vite. Un disque de 30 cm de rayon est initialement

au repos. À partir de t = 0, il est entraîné par une courroie qui lui imprime une accélération angulaire

constante de 2 rad/s2 (a) la vitesse t = 3 s ; (b) la longueur du trajet parcouru par une particule située à mi-chemin entre le centre du disque et le bord entre t = 0 et t = 3 s.

Voici les données de base :

00Z 00T

2rad/s2D

?Z ?T s3t Évaluer la vitesse angulaire du disque à 3 s : tZZ 0 320 Z
(Remplacer valeurs num.) rad/s6Z (Évaluer Évaluons la vitesse linéaire sur le bord du disque : rvx

63,0xv

(Remplacer valeurs num.) m/s8,1xv (a) (Évaluer xv Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 5

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Évaluons l :

2 002

1ttZTT

2 002

1ttZTT

(Isoler 0T 2 02

1ttZT '

(Remplacer 0TT ' 2322

130 'T

(Remplacer valeurs num.) rad9'T (Évaluer Évaluons la distance parcourue à mi-chemin du rayon total : rx ' 'rx (Relation en x et

92/3,0'x

(Remplacer, r est à mi-chemin) m35,1'x (b) (Évaluer x Accélération centripète en cinématique de rotation sur une trajectoire circulaire. En cinématique de translation, elle dépend de la vitesse et du rayon de rotation. En cinématique de rotation, elle dépend de la vitesse angulaire et du r : 2raC v Ca r où Ca : Accélération centripète (m/s2) r : Rayon de la trajectoire circulaire (m) : Vitesse angulaire (rad/s)

Preuve :

de rotation : r vaC 2 r raC 2 (Remplacer rvvx 2raC Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 6

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Accélération tangentielle et centripète de rotation tangentielle Ta et en accélération centripète Ca , le module de tion respecte la règle de Pythagore étant donné que les deux perpendiculaires. Nous avons ainsi la relation suivante :

24Z ra

ax aC a P axe où a

P (m/s2).

r : Distance entre la particule P : Vitesse angulaire du corps rigide (rad/s). : Accélération angulaire du corps rigide (rad/s2).

Preuve :

tangentielle Ta et accélération centripète Ca

TCaaaKK

22
TCaaa (car CTaaK

222Zrra

(Remplacer 2raC et rax

24Z ra

La cinématique du roulement sans glisser

r roule sans glisser, le centre de la roue CR effectue un déplacement CRx 'r effectué par la roue durant sa rotation ce qui donne la relation suivante : ' 'rxCR Une roue à mesure est un instrument qui mesure des distances en effectuant un comptage des tours effectués par la roue durant sa rotation tout au long de son déplacement sans glisser. La distance parcourue d est alors le nombre de tours N multiplié par la circonférence de la roue r2 Nrd2

Une roue à mesure

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 7

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Voici les relations existant entre la cinématique de translation du centre de la roue et la cinématique de rotation de la roue :

Déplacement du centre de la roue :

' 'rxCR

Vitesse de translation du centre de la roue :

rvCR

Accélération du centre de la roue :

raCR r x 2r 2rad xCR CR r r Position angulaire et coordonnée xy de axe de rotation selon z spin ou orbitale z, la distance entre la position xy z , la vitesse angulaire z z du corps. Les valeurs de z z et z sont uniques au corps. Pour se convaincre, effectuons une rotation de 60o z situé à deux endroits dans le plan xy :

Schéma initiale :

0z

Rotation axe 1 :

60z

Rotation axe 2 :

60z
Axe rotation 1 Axe rotation 2 x y z z' Axe rotation 1 z' Axe rotation 2

Dans les deux cas, le corps a bel et bien effectué une rotation de 60o autour de axe de rotation z et le

corps possède le même état de rotation qui est 60z

Le corps possède une position angulaire

z unique par rapport à un axe de rotation z.

Le corps possède une vitesse angulaire

z unique par rapport à un axe de rotation z, car tzzd/dZ et z est unique. Le corps possède une accélération angulaire z unique par rapport à un axe de rotation z, car tzzd/dD et z est unique. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 8

Note de cours rédigée par Simon Vézina

Situation A : . La roue R voiture se déplace sans glisser selon x à la vitesse vvxRS par rapport au sol S. La roue possède un rayon r et tourne à la vitesse angulaire x P en fonction de son positionnement angulaire par rapport (a) au centre de la roue R et (b) par rapport au sol S.

Selon le référentiel de la roue, la roue est immobile et tous les bouts de pneu tournent à la même

vitesse angulaire . Représentons graphiquement le vecteur vitesse v xy à Avec rv 0 irvK jrvK 90
irvK 180
jr irv KK Z TZ sin cos quelconqueT (a) P x dans le référentiel de la roue R :

ZcosPRrvx

(b) Selon le référentiel du sol, la roue se déplace à vitesse RSxv rotations à vitesse angulaire

P x à partir de la mesure effectuée dans le

référentiel de la roue R :quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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