[PDF] Contributions `a la géométrie des convexes. Méthodes

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Universite Paris-Est Marne-la-Vallee

Laboratoire d'Analyse et de Mathematiques Appliquees (UMR 8050)

Contributions a la geometrie des convexes.

Methodes fonctionnelles et probabilistes

Matthieu FRADELIZI

Synthese des travaux en vue de l'obtention de

l'Habilitation a Diriger des Recherches Habilitation a Diriger des Recherches soutenue le 4 decembre 2008, devant le jury compose de : { Keith BALL { Sergey BOBKOV (rapporteur) { Apostolos GIANNOPOULOS (rapporteur) { Michel LEDOUX { Bernard MAUREY { Mathieu MEYER { Alain PAJOR { Gilles PISIER { Herve QUEFFELEC (rapporteur) iii

A ma mere

v

Remerciements

Mathieu Meyer m'a initie a la recherche mathematique en dirigeant avec disponi- bilite et bienveillance ma these de Doctorat. Il continue depuis lors a s'interesser a mes travaux, prodiguant sans compter ses conseils avises. Je l'en remercie chaleureu- sement. Gr^ace a ses talents de chercheur, mais aussi d'organisateur, Alain Pajor a reussi a creer et coordonner un formidable reseau de mathematiciens europeens. Comme tous les membres du reseau, j'ai eu la chance de pouvoir en benecier et ainsi de renforcer et nouer de nombreux contacts dans toute l'Europe. Je tiens a lui exprimer ma reconnaissance pour ce travail. Je remercie la commission des locaux qui, lors de mon arrivee a l'Universite Marne- la-Vallee, m'a attribue un bureau voisin de celui de Bernard Maurey. J'ai pu ainsi benecier pleinement de sa gentillesse, de son ecoute et de ses lumieres. Par leur attention, leur curiosite et leur immense culture mathematique, ces trois professeurs ont permis que le groupe de travail Convexite et Probabilites de l'Univer- site Marne-la-Vallee soit accueillant pour les visiteurs de passage comme pour les nou- veaux du Laboratoire et qu'il reste chaque annee un lieu d'echanges mathematiques dynamiques et feconds. Je leur en sais gre ainsi qu'a tous les autres membres du groupe. Je tiens a exprimer toute ma gratitude a six mathematiciens que j'admire pro- fondement, Sergey Bobkov, Apostolos Giannopoulos et Herve Queelec qui m'ont fait l'honneur et le plaisir d'accepter d'^etre rapporteurs de mon Habilitation a Diriger des Recherches ainsi que Keith Ball, Michel Ledoux et Gilles Pisier qui me font celui de participer a mon jury. Parmi les plaisirs de la recherche, celui d'echanger, de travailler et de discuter avec d'autres est l'un des plus enrichissants. Je remercie a ce titre Guillaume Aubrun, Franck Barthe, Dario Cordero-Erausquin, Yehoram Gordon, Grigoris Paouris, Shlomo Reisner et Carsten Schutt pour tout ce qu'ils m'ont appris. Enn merci a ma famille et mes amis, qui m'encouragent et me supportent, parti- culierement a Olivier et tout particulierement a Judith, Felix et Alice.

TABLE DES MATI

ERES Introduction.................................................................. 1 Ensembles convexes .. ...................................................... 1 Fonctions convexes .. ........................................................ 2 Mesures convexes .. ........................................................ 4

1. Inegalites de types Favard-Berwald et Hensley.. .......... .......... 7

1.1. Inegalites classiques dans le cas symetrique .. ............. ............. 7

1.2. Le choix du centre .. .................................................... 11

1.3. Generalisations aux convexes quelconques .. ............................ 15

2. Methodes classiques en geometrie des convexes.. .................... 17

2.1. Courbure gaussienne .. .................................................. 17

2.2. Transformation de Radon spherique .. .................................. 19

2.3. Volumes mixtes .. ...................................................... 21

2.4. Symetrisations .. ........................................................ 26

3. Localisation des mesures convexes et applications.................... 31

3.1. Nouveau point de vue sur la localisation .. .............................. 32

3.2. Inegalites de concentration .. ............................................ 34

4. Mesure gaussienne........................................................ 39

4.1. Inegalite de shift .. ...................................................... 40

4.2. (B)-conjecture .. ........................................................ 42

5. Inegalites de Santalo et conjectures de Mahler fonctionnelles.. . . . . 47

5.1. Versions fonctionnelles de l'inegalite de Santalo .. ...................... 51

5.2. Conjecture de Mahler pour les fonctions paires .. ........................ 54

5.3. Conjecture de Mahler pour les fonctions quelconques .. ........ ........ 57

5.4. Conjecture de Mahler asymptotique .. .................................. 59

Bibliographie.. .............................................................. 63 viiiTABLE DES MATIERES

Articles et preprints

[1]M. Fradelizi. Sections of convex bodies through their centroid.Arch. Math.,69 (1997), 515{522. [2]M. Fradelizi. Hyperplane sections of convex bodies in isotropic position.Beitrage

Algebra Geom.,40(1999), No.1, 163{183.

[3]F. Barthe, M. Fradelizi et B. Maurey. A short solution to the Busemann-Petty problem.Positivity,3(1999), 95{100. [4]M. Fradelizi. Sectional bodies associated to a convex body.Proc. Amer. Math.

Soc.,128(2000), No.9, 2735{2744.

[5]F. Barthe, D. Cordero-Erausquin et M. Fradelizi. Shift inequalities of Gaussian type and norms of barycenters.Studia Math.,146(3), (2001), 245{259. [6]M. Fradelizi, A. Giannopoulos et M. Meyer. Some inequalities about mixed vo- lumes.Israel J. Math.,135(2003), 157{179. [7]M. Fradelizi et O. Guedon. The extreme points of subsets ofs-concave probabilies and a geometric localization theorem.Discrete Comput. Geom.,31(2004), 327{335. [8]G. Aubrun et M. Fradelizi. Two-point symmetrization and convexity.Arch. Math.,

82(2004), 282{288.

[9]D. Cordero-Erausquin, M. Fradelizi et B. Maurey. The (B) conjecture for the Gaussian measure of dilates of symmetric convex sets and related problems.J. Funct.

Anal.,214(2004) 410{427.

[10]M. Fradelizi et O. Guedon. A generalized localization theorem and geometric inequalities for convex bodies.Adv. Math.204(2006), 509{529. [11]M. Fradelizi et M. Meyer. Some functional forms of Blaschke-Santalo inequality.

Math. Z.256, (2007), 379{395.

[12]M. Fradelizi et M. Meyer. Increasing functions and inverse Santalo inequality for unconditional functions.Positivity,12(2008), 407{420. [13]M. Fradelizi et M. Meyer. Some functional inverse Santalo inequalities.Adv.

Math.,218(2008), 1430{1452.

[14]M. Fradelizi et M. Meyer. Functional inequalities related to Mahler conjecture.

A para^tre dansMonatsh. Math.

TABLE DES MATI

ERESix

[15]M. Fradelizi, Y. Gordon, M. Meyer et S. Reisner. The case of equality for an inverse Santalo functional inequality. A para^tre dansAdv. Geom. [16]M. Fradelizi. Concentration inequalities fors-concave measures of dilations of

Borel sets and applications. Soumis, 2008.

Preambule

Les travaux de ce memoire sont consacres aux ensembles, aux fonctions et aux mesures convexes. En introduction, nous presentons ces notions et leurs nombreuses relations mais, la pas plus que dans la suite, nous ne pretendons realiser une synthese de tous les resultats du domaine. Il s'agit plut^ot d'indiquer le contexte et l'origine de nos recherches et parfois leurs applications. Nous avons regroupe nos travaux a la fois par themes et par methodes de demonstration. Ainsi, dans la premiere partie, sont presentes nos resultats consacres aux inegalites fonctionnelles de type Holder et inverse Holder veriees par les fonctions log-concaves. Le lien avec les ensembles convexes est donne par le theoreme de Brunn-Minkowski. Nous exposons, dans la deuxieme partie, nos articles utilisant les outils classiques de la convexite que sont la courbure gaussienne, la transformation de Radon spherique, les volumes mixtes et les methodes de symetrisation. Dans les troisieme et quatrieme par- ties sont rassemblees nos recherches sur les mesures convexes et la mesure gaussienne. Enn, dans la derniere partie, nous donnons plusieurs demonstrations des formes fonctionnelles de l'inegalite de Blaschke-Santalo et de son inverse, la conjecture de

Mahler.

INTRODUCTION

Nos travaux portent sur la geometrie asymptotique des convexes, c'est a dire l'etude des proprietes geometriques des ensembles convexes deRn, lorsque la dimensionntend vers l'inni. A un ensemble convexeK, on associe naturellement une fonction convexe, sa jauge, et une mesure convexe, la mesure uniforme surK. L'etude des ensembles convexes passe ainsi par l'etude des fonctions convexes et des mesures convexes, en s'attachant a la comprehension des nombreuses relations entre ces notions. Le but de cette introduction est d'en expliciter quelques unes. Nous rappelons d'abord les quelques denitions et proprietes des ensembles convexes necessaires a la poursuite de la lecture, puis nous presentons des inegalites classiques veriees par les fonctions convexes et nous nissons par le plus important, l'introduction des mesures convexes et des inegalites de Brunn-Minkowski et Prekopa-Leindler, qui permettent d'etablir des liens plus profonds entre ensembles, fonctions et mesures convexes.

Ensembles convexes

On se place dans l'espace euclidienRn, dans lequel le produit scalaire canonique et la norme associes sont notesh;ietjj. La boule unite fermee de la norme euclidienne est noteeBn2. La somme de Minkowski de deux ensemblesAetBdeRnest denie par

A+B=fa+b;a2A;b2Bg

et l'homothetique d'un ensembleAdeRnpar un facteur reelestA=fa;a2Ag. On dit qu'un ensembleAdeRnest symetrique siA=Aet qu'il est convexe si pour tous reels positifset, il verieA+A= (+)A. Un ensemble convexe, compact et d'interieur non vide deRnest appele uncorps convexedeRn. Un corps convexe symetriqueKdeRnest la boule unite fermee de la norme denie, pourx2Rn, par kxkK= inff >0 ;x2Kg:

2INTRODUCTION

SiKn'est pas borne, alorsk kKdenit une semi-norme surRn, siKn'est pas symetrique et contient l'origine dans son interieur, alors la fonctionk kKest bien denie et est appeleela jaugedeK, enn siKne contient pas l'origine dans son interieur, nous etendons la denition en posantkxkK= +1sif >0 ;x2Kg=;. Dans tous ces cas, nous continuerons a noter la jauge de la m^eme facon,k kK. La sectionK\Ed'un convexeKdeRnpar un sous-espace aneEdeRnest un ensemble convexe, de m^eme que la projection orthogonalePEKdeKsurE. De plus, siEest un sous-espace vectoriel deRnetE?designe son orthogonal dansRn, alors, pour x2E?, la section K x:=K\(E+x) est non vide si et seulement six2PE?Ket les sections (Kx)x2PE?Kforment une famille concave en ce sens que, pour toutx;y2PE?Ket tout 01, on a la relation (1)Kx+KyK(1)x+y: Par exemple, siu2Sn1, alors l'ensemblefx2K;hx;ui=tgest convexe et non vide pour toutt2[hK(u);hK(u)], ouhKestla fonction d'appuideK, denie, poury2Rn, par h

K(y) = sup

x2Khx;yi: L'epaisseurdeKdans la directionu2Sn1estwK(u) =hK(u) +hK(u). La fonction d'appuihKd'un corps convexeKest positivement homogene et siKcontient l'origine dans son interieur,hKdenit la jauge (ou la norme dans le cas symetrique) d'un convexe associe aK, noteK, appele le polaire deK. On a K =fy2Rn;hx;yi 1;8x2Kg=fy2Rn;hK(y)1g: On a donchK() =k kKet si de plusKest ferme alors, d'apres le theoreme de

Hahn-Banach (en dimension nie), (K)=K.

Nous nous sommes limites ici aux notions de bases, necessaires tout au long de la lecture. Bien-s^ur, beaucoup d'autres denitions et proprietes des ensembles convexes appara^tront et seront denies au fur et a mesure de leur utilisation. Voyons a present les liens entre ensembles et fonctions convexes et quelques inegalites classiques de convexite.

Fonctions convexes

On a deja vu deux fonctions convexes que l'on peut attacher a un ensemble convexe, sa norme et sa fonction d'appui. On peut aussi lui associer des fonctions concaves, log-concaves et m^eme plus generalement -concave. Rappelons la denition d'une

FONCTIONS CONVEXES3

fonction -concave. Pour

2[1;+1], une fonctionf:Rn!R+est

-concavesi, pour toutxetytels quef(x)f(y)>0 et tout2[0;1], f((1)x+y)((1)f (x) +f (y))1= ou les cas limites sont interpretes par continuite. Ainsi, les fonctions1-concave sont les fonctions quasi-concaves (i.e.les fonctionsftelles que les ensembles de niveaux fftgsont convexes pour toutt2R), les fonctions +1-concaves sont constantes sur leur support et les fonctions 0-concaves sont les fonctions log-concaves (telles que logfsoit concave). Par exemple, siKest un ensemble convexe alors la fonction denie surRnpar f(x) = (1 kxkK)1 est -concave (poura2R, on notea+= sup(a;0)). Les variations autour des inegalites de convexite sont au coeur de nos recherches et avant de les exposer, il convient de rappeler celle qui est sans doute la plus remar- quable, l'inegalite de Jensen [J06], a la fois par la simplicite de sa demonstration et ses tres nombreuses consequences. Theoreme(Inegalite de Jensen). |Soientn1un entier naturel,':Rn!R une application convexe,( ;A;)un espace de probabilite etf: !Rnune fonction integrable telle que'fest integrable. Alors Z f d Z 'f d: La demonstration est un modele d'elegance. Soitx0=Rfd. Comme'est convexe, il existeh2Rn(h=r'(x0) si'est reguliere enx0) tel que '(x)'(x0) +hh;xx0i pour toutx2Rn. Applique ax=f(!), cela entraine que pour tout!2 '(f(!))'(x0) +hh;f(!)x0i: En integrant avec la mesure de probabiliteon obtient le resultat. Bien qu'elementaire, l'inegalite de Jensen est tres importante car elle a de nombreux corollaires parmi lesquels l'inegalite arithmetico-geometrique et l'inegalite de Holder. En eet, etant donnes deux nombres reelsp < q, en appliquant l'inegalite de Jensen avecn= 1,'(t) =tq=p(qui est convexe siq >0 et concave siq <0) etfremplacee parjfjp, on obtient kfkLp():= Z jfjpd 1p Z jfjqd 1q :=kfkLq();(1) ce qui signie que, pour toute probabilite, l'applicationp7! kfkLp()est crois- sante surR. L'inegalite (1) appliquee a une probabilitediscrete, redonne l'inegalite

4INTRODUCTION

arithmetico-geometrique. Par exemple avec la combinaison convexe de deux mesures de Dirac on obtient que pour tout reelsaetbla fonction

7!((1)jaj

+jbj )1= est croissante surR. En particulier, cela entra^ne qu'une fonction -concave est 0- concave pour tout 0 . La croissance des normesLpsur un espace de probabilite est une forme de l'inegalite de Holder. On en deduit aussi que, pour toute mesure, tous reelsrets, toute fonctionf2Lr()\Ls() et tout reel, 01,quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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