[PDF] Thème 14-Espace - corrigé 2 disques non superposable et

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Classe de Quatrième

THEME 14 : ESPACE

ACTIVITE 1: A) Parmi les 7 solides représentés ci-dessous, donne à vue d"oeil leur nom en complétant les

pointillés parmi les noms suivants : prisme droit - cube - pyramide - cône - pavé - cylindre - sphère

(boule) .

1 2 3 4 5 6 7

1 : un cube 2 : un pavé 3 : un prisme droit 4 : un cylindre

5 : une pyramide 6 : une boule 7 : un cône de révolution

Parmi les 7 solides ci-dessus, lesquels ont été étudié en : Sixième ? : le cube et le pavé Cinquième ? : Cylindre et prismes droits.

Cette année, tu vas étudier deux autres catégories de solides : les pyramides et les cônes.

En troisième, il va te rester à étudier un solide, lequel ? : la boule

B ) Nomme et décris les solides dessinés ci-dessous dans le tableau . Pour décrire, écris le nombre de faces et la

nature des faces. Exemple: n°1: 5 faces; 2 triangles et 3 rectangles . Nom:..................................

Remarque :

Pour les solides 3, 5 , 7, 8 , 9 et 16, des traits devraient être en pointillés. Corrige en repassant en

rouge. 1234
5 6 789
10

111213

14 1516
N° Nombre de faces Nature des faces Nom du solide

1 5 2 triangles et 3 rectangles

Prime droit à base

triangulaire

2 5 2 triangles et 3 rectangles

Prime droit à base

triangulaire

3 0 Sphère

4 7 6 triangles et 1 hexagone Pyramide

5 2 2 disques et une surface Cylindre de révolution

6 4 4 triangles ( 3 triangles et 1 triangle ) Pyramide

7 1 1 disque et une surface Cône

8 2 2 disques et une surface latérale Cylindre de révolution

9 2 2 disques non superposable et une surface latérale Cône tronqué

10 7 2 pentagones et 5 rectangles Prisme droit dont la base

est un pentagone

11 6 6 rectangles Pavé

12 6 2 trapèzes et 4 rectangles Prisme droit dont la base

est un trapèze

13 6 1 pentagone et 5 triangles Pyramide

14 6 6 carrés Cube

15 5 1 carré et 4 triangles Pyramide

16 1 1 disque et une surface Cône

Trouve un point commun aux solides 4, 6, 13 et 15 :

Ils ont tous des triangles.

Comment les distinguer ? :

La base

Complète : Une pyramide est un solide dont :

- une face est un polygone appelé base. - Toutes les autres faces sont des triangles qui ont un sommet commun.

C) a. Place le centre H de chacun des 4 polygones ci-dessous, puis donne le nom de chacun de ces polygones.

1 2 3 4

H H H H

Carré Hexagone régulier Octogone régulier

Triangle équilatéral

Que peux-tu dire sur les longueurs des côtés de chacun des polygones ? :

Ils ont la même longueur

On dira qu"un polygone est régulier

si tous ses côtés ont la même longueur et que les sommets soient inscrit dans un cercle. b. (Pour les questions suivantes, la figure ci-dessous peut aider) On suppose maintenant : - que chacun des polygones du a) correspond à la base d"une pyramide.

- que le pied de la hauteur de la pyramide passe par le centre H et est perpendiculaire au polygone de base.

Que peux-tu dire sur la longueur des arêtes latérales d"une pyramide ayant pour base les polygones 1, 2 et 3 ? :

Elles ont la même longueur.

En déduire la nature des faces latérales : Des triangles isocèles.

Pour la pyramide dont la base est un triangle équilatéral (figure 4) , peux-tu dire la " même chose » ?

( justifier ) : Oui ( un triangle équilatéral est trois fois isocèle) c. Bilan : Une pyramide est dite régulière lorsque :

1) sa base est constituée d"un polygone régulier.

2) pied de sa hauteur passe par le centre et est perpendiculaire au polygone de base.

D)

a. Prend ton équerre et pose la perpendiculaire à ta table. Cette équerre matérialise un triangle.

Quelle est la nature du triangle ? : triangles rectangle

Par la suite, on appellera A le sommet de l"angle droit et [BS] l"hypoténuse. Faire pivoter l"équerre autour du

côté [AS] perpendiculairement à la table. Ce mouvement de rotation engendre un solide dit de révolution

qui admet pour axe le côté [AS] et pour génératrice l"hypoténuse [BS].

Dessine ci-dessous le solide obtenu.

Le solide obtenu est un

cône de révolution. D"après les 16 figures du B), quelle est le solide qui représente un cône de révolution ? : le solide 7

Que peux-tu dire du solide 16 ?:

Pas de révolution

b. On fait tourner chacune des figures ci-dessous autour de l"axe. Dessine le solide engendré.

D CBEA

H

1 2 3 4

Donne un nom aux solides 1, 3 et 4 :

1 : Un cylindre 3 : Un cône de révolution 4 : Une demi-sphère

Exercice n°1 : 1. Complète les deux figures suivantes qui représentent la même pyramide à base carrée

dans des perspectives différentes.

2. Pour chacune des deux figures obtenues, indique quelles sont les faces cachées et quelles sont les faces

visibles. Solide à gauche : Faces cachées sont AEB et ABE

Faces visibles sont ACD - ABC et BCDE

Solide à droite : Faces cachées sont ACB - ABE et CBDE

Faces visibles sont ACD et ADE

Exercice n°2 : Complète la figure pour qu"il représenta en perspective la pyramide dont S est un sommet et dont ABCDE est la base.

Exercice n°3 : Un cube ABCDEFGH est représenté sur la figure ci-dessous, I est le centre de la face ABCD.

Représente en perspective, à gauche de la figure, la pyramide HDAI de sommet H, posée sur la face DAI, la

face HDA étant en vraie grandeur. A B CD ES H D AI Exercice n°4 : Pour chacun des solides ci-dessous, repasse en rouge la hauteur. ACTIVITE 2 : Construction d'une pyramide : LE PATRON

A. Sur une feuille de papier à dessin, construire quatre triangles SHA, SHB, SHC et SHD , rectangles en H

avec les dimensions indiquées sur les figures ci-dessous.

B. 1. Découpe les quatre triangles et assemble leurs côtés [SH] avec du papier adhésif, comme le montre la

figure ci-dessous.

2. En appliquant le théorème de Pythagore, calcule les longueurs SA, SB, SC et SD ( arrondir à 0,1 cm ).

3. Construire sur une feuille de dessin le quadrilatère ABCD comme

le montre la figure ci-dessous.

AHD DHC CHB

Ù Ù Ù= ° = ° = °60 80 110, ,

HA = 4 cm , HD = 5 cm , HC = 4,5 cm , HB = 3,5 cm. Puis construire les triangles SAB, SBC, SCD et SDA dont les longueurs des côtés sont les valeurs calculées au 2. C. Découpe et réalise ensuite le montage comme la première figure ci-dessus : S H A 6 cm 4 cmS H B 6 cm

3,5 cmS

H C 6 cm

4,5 cmS

H D 6 cm 5 cm S C BAD 5 cm

4,5 cm

4 cm

3,5 cm

H

H80°

110°60°

5 cm

4,5 cm

4 cm

3,5 cm

B SS ASS D C

Exercice n°5 :

Dans chacun des cas suivants et " à vue d"oeil », indique le ou les "bons patrons" de la pyramide représentée en

perspective. (On fera abstraction des longueurs) a) Pyramide dont la base est un carré et la hauteur est [SB]. B CD AS (1)(2) (3) Les patrons qui semblent être bons sont le numéro 1 et le numéro 2 b) Pyramide régulière dont la base est un carré Le patron qui semble être bon est le numéro 2

Exercice n°6 : Dans les deux cas suivants et " à vue d"oeil », dire parmi les développements de la pyramide

présentée en perspective ceux qui sont faux ( on fera abstraction des longueurs) a) (1)(2)(3) (4) (5) b) (1)(2) (3) (4) (5) Pyramide a) : Les patrons qui semblent être bons sont le numéro 3 et le numéro 4

Pyramide b) : Les patrons qui semblent être bons sont le numéro 1, le numéro 3, le numéro 4 et le numéro 5

Exercice n°7 : Cette pyramide régulière cherche de bons patrons, peux-tu l"aider à faire son choix :

1 2

3 4 5 6 7 Les bons patrons sont : n°1 - n°2 - n°4 - n°5

Exercice n°8

La pyramide SABCDEF ci-contre est régulière.

Unité le centimètre: A0 = 4,5 et SO = 6

a) Dessine en vraie grandeur le triangle AOS. b) En utilisant le dessin du a), dessine un patron de la pyramide sans calcul.

A BCDE

F OS

Exercice n°9:

ABCDE est une pyramide régulière à base carrée (figure ci-contre ).

La diagonale de la base mesure 5 cm et l"arête

latérale 7 cm. Calcule la hauteur de la pyramide. Arrondis au mm.

Calcul de BH

Comme EBCD est un carré, alors les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu, donc : 5,22 55
2 1 2

1==´=´=DBBH

BH mesure 2,5 cm

Calcul de la hauteur AH :

Dans le triangle AHB rectangle en H, d"après le théorème de

Pythagore, on a :

AB ² = AH ² + HB ²

7² = AH ² + 2,5²

AH ² = 49 - 6,25

AH ² = 42,75

AH = 57,42

AH » 6,538

Conclusion : La hauteur de la pyramide mesure environ 6,5 m.

Exercice n°10 : Sujet Brevet

L"unité est le cm. Tous les calculs devront être justifiés. SABCD est une pyramide régulière à base carrée. On a commencé le patron :

AC = 32 et DS = 40

a) Calcule AB au dixième près b) Calcule SI au dixième près c) Déduis de b) l"aire latérale de la pyramide. d) Calcule la hauteur SH de la pyramide. On donnera une valeur approchée à 0,1 près. ( il est conseillé de faire une perspective cavalière sur ton brouillon... ) e) Termine le patron. a)

Calcul de AB

ABCD est un carré, donc ABC est un triangle rectangle en B.

D"après le théorème de Pythagore, on a :

AC² = AB² + BC²

Comme AB = BC, alors AC = 2

´ AB² soit 32² = 2 ´AB²

2

1024²=AB

512=AB

6,22»AB

Conclusion : AB » 22,6 cm

D CBEA

H b) Calcul de SI ISC est un triangle rectangle en I. D"après le théorème de Pythagore, on a :

CS² = IC² + IS² avec

3,112

6,22»»IC soit 40² » 11,3² + IS²

IS²

» 1600 - 127,69

31,1472»IS

IS

» 38,37

Conclusion : IS » 38,4 cm

c)

Aire latérale

Conclusion : Aire » 1 735,68 cm²

d) Calcul de la hauteur

Comme SABCD est une pyramide régulière, la hauteur passe par le milieu des diagonales et donc SHC est un

triangle rectangle en H

D"après le théorème de Pythagore, on a :

CS² = SH² + HC² avec

16322
1 2

1=´=´=ACHC

40² = SH² + 16²

SH² = 1 600 - 256

SH = 1344
SH

» 36,66

Conclusion : SH »36,7 cm

A B CDH 32
I 40
S

Exercice n°11: Sujet Brevet

On considère une pyramide ABCDS dont la base est un rectangle. La figure 1 représente la pyramide en perspective et la figure 2 le début du développement.

1°) On donne CB = 12 et DS = 13. Calcule la hauteur de la

pyramide.

2°) Termine sur la figure 2 le patron de la pyramide (les dimensions ne sont pas à l"échelle ).

Calcul de SA

Dans le triangle ADS rectangle en

A, d"après le théorème de

Pythagore, on a :

SD² = AD² + AS²

13² = 12² + AS²

169 = 144 + AS²

AS² = 169 - 144

AS² = 25

AS = 25

AS = 5

Conclusion : La hauteur de la pyramide est 5

Figure 1

AS C DB

Figure 2

AS D C B

Exercice n°12:

a)

Calcule la hauteur du cône.

b) Un cône de révolution a une hauteur de 15 cm et un rayon de

3 cm. Calcule la longueur de la génératrice.

a) Calcul de la hauteur du cône Dans le triangle SAH rectangle en H, d"après le théorème de Pythagore, on a :

SA ² = SH ² + HA ²

18 ² = SH + 6 ²

324 = SH² + 36

SH² = 324 - 36

SH = 288

SH » 17

Conclusion : La hauteur du cône mesure environ 17 cm b) Calcul de la longueur de la génératrice du cône Dans le triangle SAH rectangle en H, d"après le théorème de Pythagore, on a :

SA ² = SH ² + HA ²

SA ² = 15 + 3 ²

SA ² = 225 + 9

SA = 234

SH » 15,29

Conclusion : La génératrice mesure environ 15,3 cm

AH B18S

12 S H A

Exercice n°13 : Construis un patron du cône de révolution dont le rayon de la base mesure 3 cm et la

longueur de la génératrice 5 cm. 1. On calcule le périmètre du disque de base : P = )(6322cmrppp=´=´.

2. On calcule l"angle AOB ,

On utilise un tableau de proportionnalité :

Mesure de l"angle

(en°) 360° x

Longueur de l"arc de cercle

(en cm) 52´´p p6

°=´=´´=´=21636610

36106
10 6360
p p p px

Ainsi AOB = 216 °

Exercice n°14 : Construis un patron du cône de révolution dont le diamètre de la base mesure 5 cm et la

longueur de la génératrice 6 cm. 1. On calcule le périmètre du disque de base : P = )(52

522cmrppp=´=´.

2. On calcule l"angle AOB ,

On utilise un tableau de proportionnalité :

Mesure de l"angle

(en°) 360° x

Longueur de l"arc de cercle

(en cm) 62´´p p5 15012
5360
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