[PDF] Fiche de révision1 : Les nombres réels

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Première Année MI-À distance

Module : Analyse1

Fiche de révision1:

Les nombres réels

2020
-2021

Réalisé par :

Mme Belkacem .K,

Mme Touil .A,

et Mme Merzougui .L. République Algérienne Démocratique Et Populaire

Université de Mustapha Ben Boulaid -Batna 2

Faculté de Mathématiques et informatique

Département du socle commun Mathématiques et Informatique

Dans la première partie de cette fiche, nous

allons mettre le vocabulaire principal introduit dans ce chapitre et dans la 2ème partie, nous présentons un rappel sur les nombres réels avec des exemples illustratifs. La 3ème partie est Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Table des matières

I In terprétationen arab edes principaux termes Mathématiqu esin troduitdans ce c ha- pitre3 II

Rapp elsur les nom bresréels

6 1

Les ensem blesusuels de nom bres6

2

Axiomes des nom bresréels 6

3 Rapp elsur le v ocabulairede base (ma jorant,minoran t,ensem bleb orné,maxim um,minim um,b orne supérieure et borne inférieure)8 III

En trainements12

4 Exercice corrigé 1 (Application de la propriété d"Arc himèdedans R)12 5

Exercice corrigé 2 (V aleurabsolue) 12

6

Exercice corrigé 3 (P artieen tière)13

7

Exercice corrigé 4 13

8 Exercice corrigé 5 (Sous ensem bled"un ensem bleb orné) 1 4 9 Exercice corrigé 6 (Union de deux ensem blesb ornés) 15 10 Exercice corrigé 7 (In tersectiond edeux ensem blesb ornés) 1 7 11 Exercice corrigé 8 (Calcul min, max, sup et inf ) 1 8 12 Exercice corrigé 9 (Calcul min, max, inf et sup) 2 0 13 Exercice corrigé 10 (Calcul du max, min, sup, inf ) 23
14 Exercice corrigé 11 (Ensem bleminoré, ma joréet b orné) 25
15 Exercice corrigé 12 (Ensem bleb orné,calc ulde sup, inf, max, min) 27
16 Exercice corrigé 13 (L"insuffisance des nom bresirrationnels) 30
2 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Première partie

Interprétation en arabe des principaux termes

Mathématiques introduit dans ce chapitre

3 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Le cours€PYË@

TD (Travaux Dirigés)

B@RappelQ

»YKSérie d"exercices

áK

×Introduction

éÓY®ÓThéorème

éK

Q¢Axiome

éÒʂÓProposition

éJ "¯Hypothèse éJ

“Q¯Définition

K

QªKRemarque

é¢kCÓOn remarque, on constate

¡kCKExempleÈA

JÓConclusion

éj.J

KPropriété

éJ

“AgLemme

J£ñKOn note

QÓQKNotation

Q

ÓQKOn distingue

Q

éËAgDans ce cas

éËAmÌ'@ èYë ú

¯Ci-dessusèC"

@Ci-dessousèA KX @RespectivementI

KQË@ú

Î"C"est à dire (c-à-d)ú

@Exercice áK áK

QÒJË@ ‘QuestionÈ@

ñƒRéponseH

.@ñk.SolutionÉm

Ì'@Montrer que

@I.K @Démontrer que

K.Démonstration

àAëQK.Prouver que

K.Preuve

HAJ.K@

,àAëQK.Vérifier que @‡®m'Vérification

‡®m',‡J

®m'JustifierPQK

.,ÉÊ"JustificationQK

Q.K ,ÉJ

ʪKDéterminerXYg

TrouverYg

@CalculerI .‚k @Opération éJ

ÊÔ"Usuelle

AÓAddition©Ô

g.MultiplicationH .Qå•CorpsÉ

®kCommutatifú

ÎK

YJ.KTotalement ordonnéAJ

Ê¿ I.KQÓPartiellement ordonnéAJ

KQk.I.KQÓRelation

é¯C"OrdreI

KQKRéflexive

éJ

ƒA¾ªK@Antisymétrique

éK

Q£AJK Y“Transitive

éK

YªJÓPartieZ

Qk.Non videÈA

gQ "Soit, Soient

áºJ

ËOn dit que

@ Èñ®KOn considèreQ .JªKAussiA @Pour toutÉ¿ Ég @áÓDonc, alors@ X@

MajorantúÎ

B@áÓ XAgMinorantú

GX

B@áÓ XAgUniqueYJ

kðAppartenirù

ÒJK

Ensemble borné

èXðYm×é"ñÒm.×Ensemble borné inférieurementú GX Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Déduirei

.JJƒ@Déductionh .AJJƒ@répondez par vraie ou fauxB ð @ ѪK H.I.k. @Les nombres réels éJ ®J

®mÌ'@ X@Y"

B@Ensemble

é"ñÒm.×MuniXð

QÓEnsemble borné supérieurementúÎ

B@áÓèXðYm×é"ñÒm.×Maximum (max)Qå"

J"Q.»

@Minimum (min)Qå"

J" Qª“

@Borne supérieure (sup)úÎ @ YgBorne inférieure (inf)ú GX @ Yg.Propriété de la borne supérieureúÎ

B@ YmÌ'@éJ

“AgCaractérisation de la borne supérieureúÎ

B@ YjÊËèQ

“AmÌ'@5

Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Deuxième partie

Rappel sur les nombres réels

1

Les ensem blesusuels de n ombres

On rappelle les notations usuelles pour les ensembles de nombres : -Nest l"ensemble desentiers naturels positifsf0;1;2;:::::g. -Zest l"ensemble desentiers relatifsf::::;2;1;0;1;2;:::::g. -Qest l"ensemble desrationnelles, i.eQ=fab ;a2Z;b2Nf0gg. -Rreprésente l"ensemble desnombres réelset l"on a les inclusions suivantes :NZ Q R. L"ensem bleRn Qest appelé l"ensemble desirrationnelles. P ourc hacunde ces ensem bles,l"a joutdu signe signifie que l"on exclut0de l"ensemble :N;Z;QetR. 2

Axiomes des nom bresréels

On sait que :

i) L"ensem bledes réels Rest muni des opérations usuelles et internes : l"addition+: (x;y)2R27!x+y2Ret la multiplication: (x;y)2R27!xy2R constitueun corps commutatif, c"-à-d : 1) L"addition et la m ultiplicationson tcomm utatives:

8x; y2R:x+y=y+x et xy=yx:

2) L"addition et la m ultiplicationson tasso ciatives:

8x; y z2R:x+ (y+z) = (x+y) +z et x(yz) = (xy)z:

3) L"addition admet un élémen tneutre 0tel que : x+ 0 =x;8x2R: et la multiplication admet un élément neutre1tel que : x1 =x;8x2R: 4)

P ourtout x2R, il existex0=x2Rtel que :

x+x0= 0: et six6= 0, il existex=1x tel que : x:x = 1: 5) La m ultiplicationest distributiv epar rapp ortà l"addition :

8x; y; z2R:x(y+z) =xy+xz:

ii)

Il y a une relation d"ordre total sur R:Rmuni de la relation usuelle "inférieur ou égal" est totalement

ordonné. C"est à dire la relationvérifie les propriétés suivantes :

1.est réflexive :

En effet; pour toutx2R; xx.

2.est antisymétrique :

En effet; pour toutx;y2R, sixyetyx, alors,x=y.

3.est transitive :En effet; pour toutx;yetzdansR, sixyetyz, alorsxz.

4. De plus, p ourtout x;y2R, on a ou bienxy, ou bienyx(les éléments deRsont tous comparables). iii) 6 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. Théorème 2.1.(Propriété d"Archimède) RestArchimédien: pour toutx;y2Ravecx >0; il existen2Ntel que :nx > y. iv)

Définition 2.2.(Valeur absolue d"un réel)

Soitx2R. On définit la valeur absolue dex, notéejxj, par : jxj=xsix0; xsix0: Proposition 2.3.(Propriétés de la valeur absolue d"un réel) (a)

Pour tout x2R, on a :

jxj 0,jxj=j xj,jxj x,jxj x,jxj= max(x;x)etjxj= 0,x= 0. (b)

Pour tout x;y2R, on a :

jxyj=jxjjyj,jxj () x+;(0),jxj jyj jx+yj jxj+jyjetjxj jyj jxyj jxj+jyj. v) Définition 2.4.(Partie entière d"un réel)

Soitx2R,le plus grand entier inférieur ou égal àxs"appellela partie entière dex. Nous le noteronsE(x)

ou bien[x].

Exemple 2.5.E() = 3,E() =4,E(0) = 0,E(12

) = 0,E(1;5) = 1,E(0;5) =1etE(32 ) =2.

Définition 2.6.(Fonction partie entière)

La fonction partie entière notéeE, est définie parE:R!R x7!E(x)Théorème 2.7.(Propriétés de la fonction partie entière) 1)

Par défini tionmême, on a :

8x2R;E(x)2Z;

E(x)x < E(x) + 1:

2) L ap artieentièr ed"un nombr er éelest unique. 3) Si x2R,E(x) + 1est le plus petit entier vérifiant : x < E(x)+1:

4)La fonction partie entièreestcroissantesurR, i.e

8x; y2R:xy=)E(x)E(y):

7 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. 4)

L afonction p artieentièr evérifie :

8x2R:E(x+ 1) =E(x) + 1:

5)

Pour tout x;y2R, on a :

E(x) +E(y)E(x+y)E(x) +E(y) + 1:

vi) Théorème 2.8.(Densité des nombres rationnels et irrationnels dansR) -Qest dense dansR:Q=Rc-à-d; pour toutx; y2Rtel quex < y2R, il existeq2Qtel que :x < q < y(entre tout deux nombres réels, il existe un nombre rationnel). -RnQest dense dansR:RnQ=R(entre tout deux nombres réels, il existe un nombre irrationnel). Remarques 2.9.(a)L"ensemble des nombres entiers naturelsNn"est pas dense dansR; par exemple il n"existe pas de nombre naturel entre les deux réels2et3. (b)

A insi,l"ensemble des nombres entiers relatifsZn"est pas dense dansR; par exemple il n"existe pas de nombre

entier relatif entre les deux réels1et2. vii)

Définition 2.10.(Intervalles deR)

(a) Soit IR. On dit queIest un intervalle deRsi pour toutx;y2Ron a :8r2R; xry)r2I. (b)

Soient a;b2Rtels que :a < b:

i. L"ensemble fx2R:axbgest appeléintervalle fermédeRet il est noté par[a;b]. ii.

L"ensemble fx2R:a < xbgest appeléintervalle ouvert à gauche et fermé à droitedeRet il est

noté par]a;b]. iii.

L"ensemble fx2R:ax < bgest appeléintervalle ouvert à droite et fermé à gauchedeRet il est

noté par[a;b[. iv. L"ensemble fx2R:a < x < bgest appeléintervalle ouvertdeRet il est noté par]a;b[. v.

L"ensemble fx2R:x < agest appeléintervalle ouvert à droite et non borné à gauchedeRet il est

noté par] 1;a[. vi.

L"ensemble fx2R:a < xgest appeléintervalle ouvert à gauche et non borné à droitedeRet il est

noté par]a;+1[. 3 Rapp elsur le v ocabulairede b ase(ma jorant,minoran t,ensem bleb orné, maximum, minimum, borne supérieure et borne inférieure) Définition 3.1.(Majorant, minorant)SoientAune partie non vide deR(?6=AR)etm;M2R: 1.

On dit que mest un minorant deA, si8x2A:xm:

2.

On dit que Mest un majorant deA, si8x2A:xM:

Exemple 3.2.Dans(R;), on considère l"ensembleA=f2;52 ;7g.

Remarquons que :

a.22,252 et27, alors2est un minorant de A.

Aussi12,152

et17, donc1est un autre minorant de A.Alors, on constate que, pour toutm2] 1;2];mest un minorant de A.

b.27,52

7et77, donc7est un majorant deA.

Aussi28,52

8et78, alors8est un autre majorant deA:

8 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Donc, pour toutM2[7;+1[,Mest un majorant deA.

Exemple 3.3.Soit IN=f0;1;2;gl"ensemble des entiers naturels. Remarquons que :

Pour toutx2IN; x0, c-à-d0est un minorant de IN, mais comme :8n2IN;nn + 1nous déduisons que l"ensemble IN

n"admet pas de majorants.

Exemple 3.4.SoitA=]0;1[=fx2Rtel que: 0< x <1g.

Remarquons que :

a.8x2A:x >0, alors0est un minorant deA. De plus,8m2] 1;0];mest un minorant deA:b.8x2A:x <1;alors1est un majorant deA:De plus,8M2[1;+1[,Mest un majorant deA:Remarque 3.5.

1.

En génér al,le major antet le minor antne sont p asuniques. (V oirles exemples (3.2),(3.3)et(3.4)).

2.

L emajor antet le minor antd"un ensemble p euventapp artenirou non à A. (Voir les exemples(3.2),(3.3)et(3.4)).

Définition 3.6.(Ensemble borné)

Soit6=AR.

1.

On dit que l"ensemble Aestminoré (ou borné inférieurement)dansR;siAadmet au moins un minorant

dansR;c"est à dire :

9m2R;8x2A:xm:

2.

On dit que l"ensemble Aestmajoré (ou borné supérieurement)dansR;siAadmet au moins un majorant

dansR;c"est à dire :

9M2R;8x2A:xM:

3. On dit que l"ensemble AestbornédansR;s"il estmajoré et minorédansR, c"est à dire :

9m;M2R;8x2A:mxM:

Exemple 3.7.1.L"ensemble A=f2;52

;7gest borné dansRcar :8x2A: 1x8: 2.

L"ensemble I Nest minor é(b ornéinférieur ement)p ar0mais n"est pas majoré (n"est pas borné supérieurement).

3.

L"ensemble B=fcosx; x2Rgest borné. En effet,

Tout d"abord, remarquons que :B=f1;;0;;1g= [1;1].

-Best majoré par1(puisque pour toutx2B;cosx1). -Best minoré par1(puisque pour toutx2B;cosx 1). Définition 3.8.(Le minimum et le maximum d"un ensemble)

Soit?6=AR:

1. On dit que mestle plus petit élément (minimum)deA, simestun minorant deAetm2A:On le note par minA: m= minA()1:8x2A:xm;

2: m2A:

9 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. 2. On dit que Mestle plus grand élément (maximum)deA, siMestun majorant deAetM2A:On le note parmaxA:

M= maxA()1:8x2A:xM;

2: M2A:

Exemple 3.9.1.On c onsidèrel"ensemble A=f2;52

;7g, on a : a.minA= 2, car2est minorant deAet22A: b.maxA= 7, car7est un majorant deAet72A. 2.

Soit I N=f0;1;2;g.

a.minIN= 0car0est un minorant de IN et02IN: b.maxIN n"existe pas, car IN n"est pas majoré. 3.

Soit C=]0;1[.

a.minCn"existe pas, car il n"existe pas de minorant deAqui appartient àC:quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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