[PDF] Chapitre 6 Ondes lumineuses 2 jui. 2013 indépendante

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Chapitre6

Ondeslumineuses

Ledernierexemplephysiqued"ondes´etudi´edansce coursestdonn´eparlesondes l"oeilestsensible:

400nm<λ<700nm,(6.0.1)

ou un peuau-del`a(procheinfrarougeetprocheuv),cequipermetdeles"manip- uler»avecdescomposantsoptiques.Dansle cadrede cecoursnousconsid`ererons deuxcontextesserontmisesenavant.

6.1Descriptionphysiquedesondeslumineuses

Le champ´electromagn´etiqueestd´ecritpardeuxgrandeursvectorielles, le champ ´electriquenot´e?E(?x,t)etle champmagn´etique?B(?x,t).Leurdynamique estdonn´ee parles´equationsdeMaxwell,quisortentdu programmede cecours.Onpeutmontrer que ces´equationsimpliquentqueleschamps´electriquesetmagn´etiquesdanslevide ob´eissentchacun`al"´equation ded"Alembert`atroisdimensions: 1 c2∂ 1 c2∂ Nouspouvonsdoncutiliserlestechniquesd´evelopp´eesdansce courspourles´etudier. cate.On peutmontrer`al"aidedes´equationsdeMaxwelldanslevide(div?E=0 orthogonaux`aladirection depropagation,etorthogonauxentre eux. 85
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el tiquesetlesondesm´ecaniques: -lesondes´electromagn´etiquesn"ontpasbesoin desupportmat´eriel,elles se propagentenparticulierdanslevide; -les´equationsd"ondedanslevide (6.1.1)pourle champ´electromagn´etiquesont l"approximation depetitesperturbationsdumilieumat´eriel1; - alorsquelesondesm´ecaniquescorrespondent`auncomportementcollectif,au niveaumacroscopique,d"unsyst`ememicroscopique complexe(compos´ed"atomes, milieudepropagation.

´egale`a

c=2,99792458×108m·s-1(6.1.2) Nousobservonsquel"ordrede grandeurdecette c´el´erit´e estbiensup´erieur`aceux ondesacoustiques.

6.1.3Indiceoptiqued"unmilieu

Lapropagation desondes´electromagn´etiquedansunmilieumat´erielestunsujet (pourlesquelsled´eplacementmacroscopiquede charges´electriques estimpossible).2 d"ondes(6.1.1)sont toujours satisfaites,maisavecune c´el´erit´edifferente.

ˆc=c

n,n>1(6.1.3)

estn´ecessaire cardesph´enom`enesnon-lin´eairespeuventapparaˆıtrepourdesamplitudes´elev´ees.

2Noussupposonsque cemilieuestisotrope,detellesortequelavitessedepropagationsoit

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el Laquantit´en,quiestun nombresansdimension,estl"indicedumilieuconsid´er´e. Lac´el´erit´edanslevide´etantlaplusgrandepossible,cettequantit´e esttoujours -pourl"airdanslesconditionsnormalesdetemp´eratureetdepression, l"indice estn=1,0002926 -pourdel"eau,n=1,3 -pourduverreordinaire,n?1,5 magn´etiquesinuso¨ıdalequi letraverse.Ceph´enom`ene,appel´edispersion,estplusou moinsprononc´eselonlesmat´eriaux.Ilsert`aexpliqueren particulierlem´ecanismede s´eparationdescouleursparun prisme.Ceteffetneserapasconsid´er´edansce cours. Unautreeffetn´eglig´eestl"absorption desondeslumineusescarlemilieun"estjamais parfaitement transparent. isation triquesetmagn´etiques´etantli´esentreeuxparles´equationsdeMaxwell, ilsuffitde consid´ererl"un d"entreeuxpouravoirunedescriptioncompl`etedusyst`eme;nous choisissonsicile champ´electrique. L"´equationd"onde(6.1.1)pourle champ´electriqueadmetdessolutionsd"ondes detellesortequeladirection depropagationestdonn´eeparlevecteurd"onde?k.Une Larelation dedispersionqui lielapulsationetlevecteurd"ondeestsans surprise 2 ||?k||2=c2(6.2.2) L"amplitude complexedel"ondeestmaintenantunvecteur˜?E0dontles3com- posantessontdesnombrescomplexesconstants.Lacondition detransversalit´edes

3Entermesduchampmagn´etiquenousavons aussi?k·?B=0.

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el dansleplan(Oy,Oz): ?E0=E0?0 ?p? ,||?p2||=1(6.2.4)

´electromagn´etiqueplane.

-Polarisationrectiligneselony:?py=?1 0? -Polarisationrectiligneselonz:?pz=?0 1?

E(?x,t)=Re?˜?E(?x,t)?

=E0?eycos(ωt-kx) (6.2.5) -Polarisationcirculairegauche:?pg=1 ⎷2? 1 i? -Polarisationcirculairedroite:?pd=1 ⎷2? 1 -i?

E(?x,t)=Re?˜?E(?x,t)?

=E0( (0 cos(ωt-kx+φ) -sin(ωt-kx+φ)) )(6.2.6) Auninstanttdonn´e,cetteconfiguration d´ecritunvecteur tournantdansleplan (Oy,Oz),danslesenstrigonom´etrique, lorsquelapositionxselonl"axeOxvarie. Onremarquequelasuperposition d"uneondedepolarisationcirculairegaucheet d"uneondedepolarisationcirculairedroites,demˆemeamplitude etdemˆemephase, donneunepolarisationrectiligneselony.

6.2.2Polarisationenoptique

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el plusprobablequelesautres, lalumi`ereestpartiellementpolaris´ee. Donnonsquelquesexemplesdeph´enom`enesli´es`alapolarisation desondeslu- mineuses: -Certainsmat´eriaux,quiposs`edentunepropri´et´edebir´efringence,sont telsque (oudemani`ereanalogue,l"indice)d´epend delapolarisation del"onde; laisserpasserquelapolarisationrectiligneparall`ele`al"axedu filtre; angleaveclapolarisationd"entr´ee4; d"influencerlapolarisation desondeslumineusesdiff´erementsuivantqu"une tensionleurestappliqu´eeounon.

6.2.3Optiquescalaire

Ilexistecependantungrand nombredesituationspourlesquelleslapolarisation ne jouepasdirectementderˆoleimportant,etconstituedoncune complicationinutile.On d"onde`atroisdimensions: 1 c2∂ Nousnousretrouvonsalorsdansunesituation analogue`acelledesondesacoustiques. introduirel"intensit´equi luiestassoci´ee.Cettequantit´e,quicommepourlesondes acoustiques estunepuissanceparunit´edesurface,ouend"autrestermesun flux d"´energie,estdelaforme

I=α?Ψ(?x,t)2?t,(6.2.8)

r´eellementd"importance carseuleslesvariationsd"intensit´enousint´eressent.

4On peutcomprendre ceph´enom`eneend´ecomposantlapolarisationrectiligneenpolarisations

circulaires,commeindiqu´eplushaut,etenconsid´erantlapropagationde cesdeuxpolarisationsavec desc´el´erit´esdiff´erentes.

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el ondelumineuse.Consid´eronsuneondedepulsationωdonn´ee.L"approximation de varientuniquementsurdesdistancesbeaucoup plusgrandesquec/ω.Uneondescalaire

g´en´eriquesepropageant,depulsation d´etermin´ee,peutˆetred´ecompos´ee comme(en no-

o`ulaquantit´ea(?x),r´eelleetpositive,estla g´en´eralisationdel"amplitude.´Ecrivonsmaintenantl"´equation d"onde(6.2.7)pouruneondede cetteforme,danslevide.

?dS dx? 2 -1=?λ2π? 21ad

2adx2-iλ2π?

d2adx2-2adadxdSdx? (6.2.10) ?∂S(?x) ∂x? 2 +?∂S(?x)∂y? 2 +?∂S(?x)∂z? 2 =1(6.2.11) g´eom´etrique.C"estellequipermetd"´etudierlapropagation desrayonslumineux.La

direction depropagationd"unrayonlumineuxestdonn´eelocalementparlevecteur?grad(S)=(∂xS,∂yS,∂zS).Lessurfacesd"ondesScorrespondent`a

S(?x)=constante,??x?S(6.2.12)

La g´en´eralisation decette´equation`aunmilieuquelconque(quipeutˆetrenonhomog`ene) au point?x.Entermesdel"indiceoptiquenintroduitplushautona ?∂S(?x) ∂x? 2 +?∂S(?x)∂y? 2 +?∂S(?x)∂z? 2 =n2(?x) (6.2.13)

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6.3Sourcesd"ondeslumineuses

radiationdontlespropri´et´essontli´ees`alanaturephysiquedu ph´enom`ened"´emission approximation:

1. lessourcesn"´emettentpasdesondessinuso¨ıdalesdedur´eeinfinie,maisunique-

tempsfinis.Chacun de cespaquetsd"ondesposs`edeunephase constanteΦ0 al´eatoire,quin"estpascorr´el´e`aceluidesautrespaquets.Ainsi,sion noteδt ladur´eecaract´eristiqued"un paquetsd"onde,lamesure(hypoth´etique)dela phasedel"ondeenun pointdonn´e,auxinstantstett+α,donneradesr´esultats On peutmontrer(`al"aided"unetransformation deFourier),qu"uneondesi- Ainsilespectred"unesourcemonochromatique estenr´ealit´ecompos´ed"unen- lasourceestmonochromatique.5

2. lesdiff´erentspointsdel"espacecomposantlasourcepeuventˆetreconsid´er´es

d´ephasage entredeux quelconquesdecespointsestal´eatoire.Ainsilorsque Cespropri´et´essontd´eterminantesdansl"´etudedu ph´enom`ened"interf´erencesquisera l"objetdu prochainchapitre. carlesfr´equencesdesondeslumineuses(del"ordrede500THz)sont trop´elev´ees pour toutdispositif´electronique.On peutdoncseulementd´etecterl"intensit´eassoci´ee, descas.

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6.4PrincipedeHuygens-Fresnel

Pour´etudierlapropagationdesondeslumineusesnousavonsbesoin d"un principe Consid´eronsunesourceponctuelled"ondeslumineuses.Cettesourceva ´emettre surfacesd"ondessontdessph`erescentr´eessurlasource.Choisissonsunede cessurfaces grande,R2>R1.Lapropagationdesondesdelasurfaced"onde enR1verslasurface O R R1 2 Fig.6.1 -Illustration du principedeHuygens-Fresnel. Toutpointdelasph`erederayonR1,ayant re¸cul"onde´emiseparlasource,peut ˆetreconsid´er´e`asontourcommeunesourcesecondaireponctuelled"ondes sph´eriques. enphaselesunesaveclesautres.Lesamplitudesdesondessph´eriques´emises sont naturellementaussi´egales. Danscettedescription del"ondeunobservateursitu´esurlasph`erede rayonR2 recevrauneondecorrespondant`alasuperposition detoutescessources secondaires. Cessources´etantenphaseetdemˆemefr´equence,ilexisteraalorsun ph´enom`ene d"interf´erences.On peutmontrerquelesinterf´erencesentreles sourcessecondaires aussipourlesondesacoustiques) estparticuli`erementutilepourcomprendreles Notonspourfinirque ceprincipeestaussivalablepouruneondeplane.Dansce castouslepointssitu´esdansun pland"ondesontdes sourcessecondairesd"ondes sph´eriques.

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Chapitre7

Interf´erencesetdiffraction

Dansle chapitre3nousavons´etudi´elasuperposition dedeuxondesprogressives unidimensionnellesdemˆemepulsation.Nousavonsvuqueled´ephasage entredeux ondesprogressives,sepropageantdanslamˆemedirection,estconstant; ilenr´esulte uneondesinuso¨ıdaleprogressivesd"amplitude constante.Celaestduaufaitquele Pourlesondestridimensionnellescommelesondessonores, lasuperposition d"on- tenantd´ependredu pointdel"espaceo`ul"onde estobserv´ee.Ainsi,enutilisantles pointsdel"espace. sinuso¨ıdalesdemˆemepulsationsesuperposent,dumomentqueleurd´ephasage est constantaucoursdutemps.Enacoustiqueonconsid`ereradeux(ou plus)g´en´erateurs decourantalternatif,`aunepulsationω.Cela garantitquelaconditionci-dessusest elle estbeaucoup plusd´elicate`asatisfaire.

pulsationω.`Al"int´erieurdeleurcˆoned"´emission,ou pourra assimilercessources`adessources

ponctuelles,´emettantdesondessph´eriquessortantessinuso¨ıdales.On d´esignepar naturellement ?ra=?x-?xa(7.1.1) 93
NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el y M S S 2k k1 2 1 xz D d Fig.7.1 -Exp´erienced"interf´erences`adeuxondes. n´eessph´eriquesayantpouroriginelasource consid´er´ee.Ilpeuts"´ecrire ka=κ?ra ||?ra||(7.1.2)

˜pa(M,t)=Aa

||?ra||ei(ωt-?ka·?ra+φa)(7.1.3) Onobservel"onder´esultantedelasuperposition desdeuxondes´emisesparles sourcesdansun plan parall`ele`al"axeliantlessources,`aunegrandedistanceD?d, On note?xlapositiondu pointd"observation.Enchoisissantl"originedescoordonn´ees ?x1=( (0 d/2 0) ),?x2=( (0 -d/2 0) ),?x=( (D y z) )(7.1.4) Onsouhaitetrouverlesignalobtenu parlasuperposition desondeslorsqu"onse ?xetlessourcessontdonn´eespar: ?r1=( (D y-d/2 z) ),?r2=( (D y+d/2 z) ),(7.1.5)

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el Calculonsdemani`ereg´en´eriqueled´ephasageentrelesdeuxondesau pointd"ob- servation.Ilestdonn´epar

12=Φ2-Φ1=ω

c(||?r1||-||?r2||)+φ2-φ1(7.1.6) Fig.7.2 -Frangesd"interf´erencespourdeuxondessph´eriques. Lesamplitudesdesdeuxondess"additionnent, lesondes´etantenphase; Lesamplitudesdesdeuxondes seretranchent, lesondes´etantenopposition de phase. On noteraquecessurfacesnesontpasaprioridessurfacesd"ondedel"uneoul"autre tionrectilignes,commenousallonslevoir. l"amplitudede chacunedesondesvapeuvarierlorsdu d´eplacementdansleplan. Commenousl"avonsvu pr´ec´edemment,pourdeslongueursd"ondesfaiblespetitesla distanceDlesvariationsdephaseserontbeaucoup plus significativesquecellesde l"amplitude.Onfaitdoncl"approximation A a ||?ra||?AaD,a=1,2(7.1.7)

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el

˜p(M,t)=˜p1(M,t)+˜p2(M,t)?A1

Sinoussupposonsque chaquesource´emetdansuncˆonededemi-angleausommetα, uneondede chacunedessources,soitpour y??d

2-Dtanα;d2+Dtanα?

-d2-Dtanα;-d2+Dtanα? (7.1.9) Enpratique,commed?D, ilsuffitdeseplacerdanslazone|y| D d premierordre: ||?r1||=?

D2+(y-d/2)2+z2?D+(y-d/2)2+z22D

||?r2||=?

D2+(y+d/2)2+z2?D+(y+d/2)2+z22D(7.1.10)

1(y,t)=ωt-κ?

D+(y-d/2)2+z2

2D? +φ1

2(y,t)=ωt-κ?

D+(y+d/2)2+z2

2D? +φ2(7.1.11) par:

12(y)=Φ2(y,t)-Φ1(y,t)=?

Finalement, lesdeuxondes´etantdemˆemepulsationon peut trouverl"amplitude del"onder´esultante commepourl"´equation(2.35).Notantcetteamplitudecomme

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el Fig.7.3 -Frangesrectilignesd"interf´erencespourdeuxondes.

P(y),nousavons

P(y)2=?

?A 1

DeiΦ1(y)+A2DeiΦ2(y)?

?2 cequidonne

P(y)=1

D?A2 1+A2

2+2A1A2cos[ΔΦ12(y)](7.1.14)

Soit

P(y)=1D?A2

1+A2

2+2A1A2cos?κydD-Δφ12?(7.1.15)

Minimaetmaximad"amplitude

imalelorsquelecosinusvaut+1,soitpour cosΔΦ12(ymax)=1=? ymax=λDd?,??Z(7.1.16)

L"amplitudemaximaleestalors

P max=1 D?A2 1+A2

2+2A1A2=1D(A1+A2)(7.1.17)

L"amplitude estminimalelorsquele cosinusvaut-1,soitpour cosΔΦ12(ymax)=-1=?ymax=λD d(?+1/2),??Z(7.1.18)

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨elquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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