OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS
Règle d'addition et soustraction de fractions . Le dénominateur commun (le plus petit commun multiple) des nombres 8 et 24 est 24. La fraction ne ...
Fractions et nombres décimaux au cycle 3
est donc également une fraction décimale. Page 2. Exemples de fractions simples. AVEC DES MOTS. AVEC DES SCHÉMAS.
Addition et soustraction de fraction 4eme exercices en ligne
6 août 2021 Plusieurs vidéos qui expliquent le cours avec des exemples. ... ou soustraire des fractions dont un dénominateur est multiple de l'autre.
Cours darithmétique
b est un multiple de a. On le note a
LATEX pour le prof de maths !
11 janv. 2021 Création d'exercices avec des nombres aléatoires . ... Donc le texte Cours sera ignoré. ... il s'agit d'un dénominateur d'une fraction.
TAGE MAGE FICHE DE COURS N° 1 MÉMO MATHÉMATIQUE
enfin les additions et les soustractions. Les fractions. Dans a b. a est le numérateur et b le dénominateur. Le dénominateur doit être différent de 0.
CahierCM2-2020.pdf
Ce fichier PDF est issu des fichiers des cahiers iParcours 2020 : http://www.iparcours.fr avec la fraction de dénominateur 100 qui lui est égale.
ficall.pdf
avec exactement deux couleurs de manière à ce que deux régions séparées par un arc de cercle soient toujours de couleur différente. [007044]. Exercice 111.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 10 Intégrales de Wallis Indication pour l'exercice 2 ? ... fraction avec une racine carrée au dénominateur et sous la racine un polynôme de ...
Terminale S - Probabilités Exercices corrigés
Combinatoire avec démonstration. 2. Rangements. 3. Calcul d'événements 1. 4. Calcul d'événements 2. 5. Calcul d'événements 3. 6. Dés pipés. 7. Pièces d'or.
Calculs d"intégrales
Fiche d"Arnaud Bodin, soigneusement relue par Chafiq Benhida1 Utilisation de la définition
Exercice 1Soitfla fonction définie sur[0;4]par
f(x) =8 >>>>>:1 six=01 si 0 3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3. Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4. R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5. R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5 Indication pourl"exer cice8 N1.
R p2 0xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R1 01(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R1 03x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x 2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2 011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
R p2 0sinx1+sinxdx=p2
1 (utiliser la précédente).Indication pourl"exer cice10 N1.F aireune intégration par parties afin d"e xprimerIn+2en fonction deIn. Pour le calcul explicite on
distinguera le cas desnpairs et impairs. 2. Rappel : unvnest équivalent àunv
n!1. Utiliser la décroissance deInpour encadrerIn+1I n.Indication pourl"exer cice11 N1.Majorer par xn. 2. 3. On pourra calculer (I0+I1)(I1+I2)+(I2+I3)Indication pourl"exer cice12 NUn dessin ne fait pas de mal ! Il faut ensuite résoudre l"équation
x22 =1x 2+1puis calculer deux intégrales.Indication pourl"exer cice13 NIl faut se ramener au calcul de
Z a 0br1x2a
2dx.Indication pourl"exer cice14 NOn pourra essayer de reconnaître des sommes de Riemann, puis calculer des intégrales. Pour le produit
composer par la fonction ln, afin de transformer le produit en une somme.6 Correction del"exer cice1 N1.On trouv e
R4 0f(t)dt= +7. Il faut tout d"abord tracer le graphe de cette fonction. Ensuite la valeur d"une
intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c"est-à-dire ici les valeurs enx=0,x=1,
x=2 n"ont aucune influence sur l"intégrale. Ensuite on revient à la définition deR4 0f(t)dt: pour la
subdivision de[0;4]définie parfx0=0;x1=1;x2=2;x3=3;x4=4g, on trouve la valeur de l"intégrale (ici le sup et l"inf sont atteints et égaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine). Une autre
façon de faire est considérer quefest une fonction en escalier (en "oubliant» les accidents enx=0,
x=1,x=2) dont on sait calculer l"intégrale. 2. C"est la même chose pour
Rx 0f(t)dt, mais au lieu d"aller jusqu"à 4 on s"arrête àx, on trouve
F(x) =8
:xsi 06x61 32xsi 1 4x9 si 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 (les
dérivées à droite et à gauche sont distinctes),Fn"est pas non plus dérivable enx=2.Correction del"exer cice2 NLes fonctions sont continues donc intégrables !
1. En utilisant les sommes de Riemann, on sait que
R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) de1n
ån1k=0f(kn
NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2. Même tra vail:
R2 1g(x)dxest la limite deS0n=21n
ån1k=0g(1+k21n
)=1n ån1k=0(1+kn
)2=1n ån1k=0(1+2kn
k 2n 2). En séparant la somme en trois nous obtenons :S0n=1n
(n+2n ån1k=0k+1n
2ån1k=0k2) =1+2n
2n(n1)2
1n 3(n1)n(2n1)6
. Donc à la limite on trouveS0n!1+1+13 =73 . DoncR2 1g(x)dx=7=3. Remarque : on a
utilisé que la somme des carrés des entiers de 0 àn1 est(n1)n(2n1)6 3. Même chose pour
Rx 0h(t)dtqui est la limite deS00n=xn
ån1k=0g(kxn
) =xn ån1k=0ekxn
=xn ån1k=0(exn
)k. Cette dernière somme est la somme d"une suite géométrique (six6=0), doncS00n=xn 1(exn )n1exn =xn 1ex1exn
= (1 e x)xn 1exn qui tend versex1. Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu"en posantu=xn on a xn 1exn =1=eu1u qui tend vers1 lorsqueu!0 (ce qui est équivalent àn!+¥).Correction del"exer cice3 N1.Écri vonsla continuité de fenx0avece=f(x0)2
>0 : il existed>0 tel que pour toutx2[x0d;x0+d] on aitjf(x)f(x0)j6e. Avec notre choix deecela donne pourx2[x0d;x0+d]quef(x)>f(x0)2 Pour évaluerRb
af(x)dxnous la coupons en trois morceaux par linéarité de l"intégrale : Z b af(x)dx=Z x0d af(x)dx+Z x0+d x 0df(x)dx+Z
b x 0+df(x)dx:
Commefest positive alors par positivité de l"intégraleRx0d af(x)dx>0 etRb x 0+df(x)dx>0. Pour
le terme du milieu on af(x)>f(x0)2 doncRx0+d x 0df(x)dx>Rx0+d
x 0df(x0)2
dx=2df(x0)2 (pour la dernière 7 équation on calcule juste l"intégrale d"une fonction constante !). Le bilan de tout cela est que
Rb af(x)dx> 2df(x0)2
>0. Doncpourunefonctioncontinueetpositivef, sielleeststrictementpositiveenunpointalorsRb af(x)dx> 0. Par contraposition pour une fonction continue et positive siRb
af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2. Soit fest tout le temps positive, soit elle tout le temps négative, soit elle change (au moins un fois)
de signe. Dans le premier casfest identiquement nulle par la première question, dans le second cas
c"est pareil (en appliquant la première question àf). Pour le troisième cas le théorème des valeurs
intermédiaires affirme qu"il existectel quef(c) =0. 3. Posons g(x) =f(x)x. AlorsR1
0g(x)dx=R1
0f(x)xdx=R1
0f(x)dx12
=0. Donc par la question précédente,gétant continue, il existed2[0;1]tel queg(d) =0, ce qui est équivalent àf(d) =d.Correction del"exer cice4 N1.Vrai.
2. Vrai. 3. F aux! Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =xalorsFest décroissante sur]¥;0]
et croissante sur[0;+¥[. 4. F aux.Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =x2alorsFest négative sur]¥;0]et
quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3. Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4. R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5. R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5 Indication pourl"exer cice8 N1.
R p2 0xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R1 01(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R1 03x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x 2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2 011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
R p2 0sinx1+sinxdx=p2
1 (utiliser la précédente).Indication pourl"exer cice10 N1.F aireune intégration par parties afin d"e xprimerIn+2en fonction deIn. Pour le calcul explicite on
distinguera le cas desnpairs et impairs. 2. Rappel : unvnest équivalent àunv
n!1. Utiliser la décroissance deInpour encadrerIn+1I n.Indication pourl"exer cice11 N1.Majorer par xn. 2. 3. On pourra calculer (I0+I1)(I1+I2)+(I2+I3)Indication pourl"exer cice12 NUn dessin ne fait pas de mal ! Il faut ensuite résoudre l"équation
x22 =1x 2+1puis calculer deux intégrales.Indication pourl"exer cice13 NIl faut se ramener au calcul de
Z a 0br1x2a
2dx.Indication pourl"exer cice14 NOn pourra essayer de reconnaître des sommes de Riemann, puis calculer des intégrales. Pour le produit
composer par la fonction ln, afin de transformer le produit en une somme.6 Correction del"exer cice1 N1.On trouv e
R4 0f(t)dt= +7. Il faut tout d"abord tracer le graphe de cette fonction. Ensuite la valeur d"une
intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c"est-à-dire ici les valeurs enx=0,x=1,
x=2 n"ont aucune influence sur l"intégrale. Ensuite on revient à la définition deR4 0f(t)dt: pour la
subdivision de[0;4]définie parfx0=0;x1=1;x2=2;x3=3;x4=4g, on trouve la valeur de l"intégrale (ici le sup et l"inf sont atteints et égaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine). Une autre
façon de faire est considérer quefest une fonction en escalier (en "oubliant» les accidents enx=0,
x=1,x=2) dont on sait calculer l"intégrale. 2. C"est la même chose pour
Rx 0f(t)dt, mais au lieu d"aller jusqu"à 4 on s"arrête àx, on trouve
F(x) =8
:xsi 06x61 32xsi 1 4x9 si 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 (les
dérivées à droite et à gauche sont distinctes),Fn"est pas non plus dérivable enx=2.Correction del"exer cice2 NLes fonctions sont continues donc intégrables !
1. En utilisant les sommes de Riemann, on sait que
R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) de1n
ån1k=0f(kn
NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2. Même tra vail:
R2 1g(x)dxest la limite deS0n=21n
ån1k=0g(1+k21n
)=1n ån1k=0(1+kn
)2=1n ån1k=0(1+2kn
k 2n 2). En séparant la somme en trois nous obtenons :S0n=1n
(n+2n ån1k=0k+1n
2ån1k=0k2) =1+2n
2n(n1)2
1n 3(n1)n(2n1)6
. Donc à la limite on trouveS0n!1+1+13 =73 . DoncR2 1g(x)dx=7=3. Remarque : on a
utilisé que la somme des carrés des entiers de 0 àn1 est(n1)n(2n1)6 3. Même chose pour
Rx 0h(t)dtqui est la limite deS00n=xn
ån1k=0g(kxn
) =xn ån1k=0ekxn
=xn ån1k=0(exn
)k. Cette dernière somme est la somme d"une suite géométrique (six6=0), doncS00n=xn 1(exn )n1exn =xn 1ex1exn
= (1 e x)xn 1exn qui tend versex1. Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu"en posantu=xn on a xn 1exn =1=eu1u qui tend vers1 lorsqueu!0 (ce qui est équivalent àn!+¥).Correction del"exer cice3 N1.Écri vonsla continuité de fenx0avece=f(x0)2
>0 : il existed>0 tel que pour toutx2[x0d;x0+d] on aitjf(x)f(x0)j6e. Avec notre choix deecela donne pourx2[x0d;x0+d]quef(x)>f(x0)2 Pour évaluerRb
af(x)dxnous la coupons en trois morceaux par linéarité de l"intégrale : Z b af(x)dx=Z x0d af(x)dx+Z x0+d x 0df(x)dx+Z
b x 0+df(x)dx:
Commefest positive alors par positivité de l"intégraleRx0d af(x)dx>0 etRb x 0+df(x)dx>0. Pour
le terme du milieu on af(x)>f(x0)2 doncRx0+d x 0df(x)dx>Rx0+d
x 0df(x0)2
dx=2df(x0)2 (pour la dernière 7 équation on calcule juste l"intégrale d"une fonction constante !). Le bilan de tout cela est que
Rb af(x)dx> 2df(x0)2
>0. Doncpourunefonctioncontinueetpositivef, sielleeststrictementpositiveenunpointalorsRb af(x)dx> 0. Par contraposition pour une fonction continue et positive siRb
af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2. Soit fest tout le temps positive, soit elle tout le temps négative, soit elle change (au moins un fois)
de signe. Dans le premier casfest identiquement nulle par la première question, dans le second cas
c"est pareil (en appliquant la première question àf). Pour le troisième cas le théorème des valeurs
intermédiaires affirme qu"il existectel quef(c) =0. 3. Posons g(x) =f(x)x. AlorsR1
0g(x)dx=R1
0f(x)xdx=R1
0f(x)dx12
=0. Donc par la question précédente,gétant continue, il existed2[0;1]tel queg(d) =0, ce qui est équivalent àf(d) =d.Correction del"exer cice4 N1.Vrai.
2. Vrai. 3. F aux! Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =xalorsFest décroissante sur]¥;0]
et croissante sur[0;+¥[. 4. F aux.Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =x2alorsFest négative sur]¥;0]et
quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3. Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4. R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5. R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5 Indication pourl"exer cice8 N1.
R p2 0xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R1 01(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R1 03x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x 2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2 011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
R p2 0sinx1+sinxdx=p2
1 (utiliser la précédente).Indication pourl"exer cice10 N1.F aireune intégration par parties afin d"e xprimerIn+2en fonction deIn. Pour le calcul explicite on
distinguera le cas desnpairs et impairs. 2. Rappel : unvnest équivalent àunv
n!1. Utiliser la décroissance deInpour encadrerIn+1I n.Indication pourl"exer cice11 N1.Majorer par xn. 2. 3. On pourra calculer (I0+I1)(I1+I2)+(I2+I3)Indication pourl"exer cice12 NUn dessin ne fait pas de mal ! Il faut ensuite résoudre l"équation
x22 =1x 2+1puis calculer deux intégrales.Indication pourl"exer cice13 NIl faut se ramener au calcul de
Z a 0br1x2a
2dx.Indication pourl"exer cice14 NOn pourra essayer de reconnaître des sommes de Riemann, puis calculer des intégrales. Pour le produit
composer par la fonction ln, afin de transformer le produit en une somme.6 Correction del"exer cice1 N1.On trouv e
R4 0f(t)dt= +7. Il faut tout d"abord tracer le graphe de cette fonction. Ensuite la valeur d"une
intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c"est-à-dire ici les valeurs enx=0,x=1,
x=2 n"ont aucune influence sur l"intégrale. Ensuite on revient à la définition deR4 0f(t)dt: pour la
subdivision de[0;4]définie parfx0=0;x1=1;x2=2;x3=3;x4=4g, on trouve la valeur de l"intégrale (ici le sup et l"inf sont atteints et égaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine). Une autre
façon de faire est considérer quefest une fonction en escalier (en "oubliant» les accidents enx=0,
x=1,x=2) dont on sait calculer l"intégrale. 2. C"est la même chose pour
Rx 0f(t)dt, mais au lieu d"aller jusqu"à 4 on s"arrête àx, on trouve
F(x) =8
:xsi 06x61 32xsi 1 4x9 si 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 (les
dérivées à droite et à gauche sont distinctes),Fn"est pas non plus dérivable enx=2.Correction del"exer cice2 NLes fonctions sont continues donc intégrables !
1. En utilisant les sommes de Riemann, on sait que
R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) de1n
ån1k=0f(kn
NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2. Même tra vail:
R2 1g(x)dxest la limite deS0n=21n
ån1k=0g(1+k21n
)=1n ån1k=0(1+kn
)2=1n ån1k=0(1+2kn
k 2n 2). En séparant la somme en trois nous obtenons :S0n=1n
(n+2n ån1k=0k+1n
2ån1k=0k2) =1+2n
2n(n1)2
1n 3(n1)n(2n1)6
. Donc à la limite on trouveS0n!1+1+13 =73 . DoncR2 1g(x)dx=7=3. Remarque : on a
utilisé que la somme des carrés des entiers de 0 àn1 est(n1)n(2n1)6 3. Même chose pour
Rx 0h(t)dtqui est la limite deS00n=xn
ån1k=0g(kxn
) =xn ån1k=0ekxn
=xn ån1k=0(exn
)k. Cette dernière somme est la somme d"une suite géométrique (six6=0), doncS00n=xn 1(exn )n1exn =xn 1ex1exn
= (1 e x)xn 1exn qui tend versex1. Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu"en posantu=xn on a xn 1exn =1=eu1u qui tend vers1 lorsqueu!0 (ce qui est équivalent àn!+¥).Correction del"exer cice3 N1.Écri vonsla continuité de fenx0avece=f(x0)2
>0 : il existed>0 tel que pour toutx2[x0d;x0+d] on aitjf(x)f(x0)j6e. Avec notre choix deecela donne pourx2[x0d;x0+d]quef(x)>f(x0)2 Pour évaluerRb
af(x)dxnous la coupons en trois morceaux par linéarité de l"intégrale : Z b af(x)dx=Z x0d af(x)dx+Z x0+d x 0df(x)dx+Z
b x 0+df(x)dx:
Commefest positive alors par positivité de l"intégraleRx0d af(x)dx>0 etRb x 0+df(x)dx>0. Pour
le terme du milieu on af(x)>f(x0)2 doncRx0+d x 0df(x)dx>Rx0+d
x 0df(x0)2
dx=2df(x0)2 (pour la dernière 7 équation on calcule juste l"intégrale d"une fonction constante !). Le bilan de tout cela est que
Rb af(x)dx> 2df(x0)2
>0. Doncpourunefonctioncontinueetpositivef, sielleeststrictementpositiveenunpointalorsRb af(x)dx> 0. Par contraposition pour une fonction continue et positive siRb
af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2. Soit fest tout le temps positive, soit elle tout le temps négative, soit elle change (au moins un fois)
de signe. Dans le premier casfest identiquement nulle par la première question, dans le second cas
c"est pareil (en appliquant la première question àf). Pour le troisième cas le théorème des valeurs
intermédiaires affirme qu"il existectel quef(c) =0. 3. Posons g(x) =f(x)x. AlorsR1
0g(x)dx=R1
0f(x)xdx=R1
0f(x)dx12
=0. Donc par la question précédente,gétant continue, il existed2[0;1]tel queg(d) =0, ce qui est équivalent àf(d) =d.Correction del"exer cice4 N1.Vrai.
2. Vrai. 3. F aux! Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =xalorsFest décroissante sur]¥;0]
et croissante sur[0;+¥[. 4. F aux.Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =x2alorsFest négative sur]¥;0]et
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Calculer
R40f(t)dt.
2.Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]?Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex;Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR10f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4. R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x 23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x 2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3. Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4. R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5. R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5 Indication pourl"exer cice8 N1.
R p2 0xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R1 01(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R1 03x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x 2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2 011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
R p2 0sinx1+sinxdx=p2
1 (utiliser la précédente).Indication pourl"exer cice10 N1.F aireune intégration par parties afin d"e xprimerIn+2en fonction deIn. Pour le calcul explicite on
distinguera le cas desnpairs et impairs. 2. Rappel : unvnest équivalent àunv
n!1. Utiliser la décroissance deInpour encadrerIn+1I n.Indication pourl"exer cice11 N1.Majorer par xn. 2. 3. On pourra calculer (I0+I1)(I1+I2)+(I2+I3)Indication pourl"exer cice12 NUn dessin ne fait pas de mal ! Il faut ensuite résoudre l"équation
x22 =1x 2+1puis calculer deux intégrales.Indication pourl"exer cice13 NIl faut se ramener au calcul de
Z a 0br1x2a
2dx.Indication pourl"exer cice14 NOn pourra essayer de reconnaître des sommes de Riemann, puis calculer des intégrales. Pour le produit
composer par la fonction ln, afin de transformer le produit en une somme.6 Correction del"exer cice1 N1.On trouv e
R4 0f(t)dt= +7. Il faut tout d"abord tracer le graphe de cette fonction. Ensuite la valeur d"une
intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c"est-à-dire ici les valeurs enx=0,x=1,
x=2 n"ont aucune influence sur l"intégrale. Ensuite on revient à la définition deR4 0f(t)dt: pour la
subdivision de[0;4]définie parfx0=0;x1=1;x2=2;x3=3;x4=4g, on trouve la valeur de l"intégrale (ici le sup et l"inf sont atteints et égaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine). Une autre
façon de faire est considérer quefest une fonction en escalier (en "oubliant» les accidents enx=0,
x=1,x=2) dont on sait calculer l"intégrale. 2. C"est la même chose pour
Rx 0f(t)dt, mais au lieu d"aller jusqu"à 4 on s"arrête àx, on trouve
F(x) =8
:xsi 06x61 32xsi 1 4x9 si 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 (les
dérivées à droite et à gauche sont distinctes),Fn"est pas non plus dérivable enx=2.Correction del"exer cice2 NLes fonctions sont continues donc intégrables !
1. En utilisant les sommes de Riemann, on sait que
R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) de1n
ån1k=0f(kn
NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2. Même tra vail:
R2 1g(x)dxest la limite deS0n=21n
ån1k=0g(1+k21n
)=1n ån1k=0(1+kn
)2=1n ån1k=0(1+2kn
k 2n 2). En séparant la somme en trois nous obtenons :S0n=1n
(n+2n ån1k=0k+1n
2ån1k=0k2) =1+2n
2n(n1)2
1n 3(n1)n(2n1)6
. Donc à la limite on trouveS0n!1+1+13 =73 . DoncR2 1g(x)dx=7=3. Remarque : on a
utilisé que la somme des carrés des entiers de 0 àn1 est(n1)n(2n1)6 3. Même chose pour
Rx 0h(t)dtqui est la limite deS00n=xn
ån1k=0g(kxn
) =xn ån1k=0ekxn
=xn ån1k=0(exn
)k. Cette dernière somme est la somme d"une suite géométrique (six6=0), doncS00n=xn 1(exn )n1exn =xn 1ex1exn
= (1 e x)xn 1exn qui tend versex1. Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu"en posantu=xn on a xn 1exn =1=eu1u qui tend vers1 lorsqueu!0 (ce qui est équivalent àn!+¥).Correction del"exer cice3 N1.Écri vonsla continuité de fenx0avece=f(x0)2
>0 : il existed>0 tel que pour toutx2[x0d;x0+d] on aitjf(x)f(x0)j6e. Avec notre choix deecela donne pourx2[x0d;x0+d]quef(x)>f(x0)2 Pour évaluerRb
af(x)dxnous la coupons en trois morceaux par linéarité de l"intégrale : Z b af(x)dx=Z x0d af(x)dx+Z x0+d x 0df(x)dx+Z
b x 0+df(x)dx:
Commefest positive alors par positivité de l"intégraleRx0d af(x)dx>0 etRb x 0+df(x)dx>0. Pour
le terme du milieu on af(x)>f(x0)2 doncRx0+d x 0df(x)dx>Rx0+d
x 0df(x0)2
dx=2df(x0)2 (pour la dernière 7 équation on calcule juste l"intégrale d"une fonction constante !). Le bilan de tout cela est que
Rb af(x)dx> 2df(x0)2
>0. Doncpourunefonctioncontinueetpositivef, sielleeststrictementpositiveenunpointalorsRb af(x)dx> 0. Par contraposition pour une fonction continue et positive siRb
af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2. Soit fest tout le temps positive, soit elle tout le temps négative, soit elle change (au moins un fois)
de signe. Dans le premier casfest identiquement nulle par la première question, dans le second cas
c"est pareil (en appliquant la première question àf). Pour le troisième cas le théorème des valeurs
intermédiaires affirme qu"il existectel quef(c) =0. 3. Posons g(x) =f(x)x. AlorsR1
0g(x)dx=R1
0f(x)xdx=R1
0f(x)dx12
=0. Donc par la question précédente,gétant continue, il existed2[0;1]tel queg(d) =0, ce qui est équivalent àf(d) =d.Correction del"exer cice4 N1.Vrai.
2. Vrai. 3. F aux! Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =xalorsFest décroissante sur]¥;0]
et croissante sur[0;+¥[. 4. F aux.Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =x2alorsFest négative sur]¥;0]et
quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR10f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d.Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 11.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3.Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4.Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5.Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7.Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1.Rx2lnxdx
2.Rxarctanxdx
3.RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4.Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1.R(cosx)1234sinxdx
2.R1xlnxdx
3.R13+exp(x)dx
4.R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x23x4dx
2. Rx1x2+x+1dx
3.Rsin8xcos3xdx
4.R1sinxdx
5.R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p20xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R101(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R103x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2011+sinxdxetZ
p20sinx1+sinxdx:
p20(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR111x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3.Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
pSoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2.Calculer In+In+1.
3.Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1:Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale.Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n22.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ?Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban:Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2.Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3.On remarquera que
R10f(x)dx12
=R10(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. PourRxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1.Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2.R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3.R13+exp(x)dx=13
ln(3expx+1)+c(changement de variableu=expx) 4.R1p4xx2dx=arcsin12
x1+c(changement de variableu=12 x1)Indication pourl"exer cice7 N1. Rx+2x23x4dx=15
lnjx+1j+65 lnjx4j+c(décomposition en éléments simples) 2. Rx1x2+x+1dx=12
lnjx2+x+1jp3arctan 2p3 x+12 +c 3.Rsin8xcos3xdx=19
sin9x111 sin11x+c 4.R1sinxdx=12
ln1cosx1+cosx+c=lntanx2 +c(changement de variableu=cosxouu=tanx2 5.R3sinx2cosx+3tanxdx=15
lnj2sinxj+75 lnj1+2sinxj+c(changement de variableu=sinx) 5Indication pourl"exer cice8 N1.
R p20xsinxdx=1 (intégration par partiesv0=sinx,u=x)
2. R1 0expe x+1dx=2pe+12p2 (à l"aide du changement de variableu=ex) 3. R101(1+x2)2dx=p8
+14 (changement de variablex=tant,dx= (1+tan2t)dtet 1+tan2t=1cos 2t) 4. R103x+1(x+1)2dx=3ln21 (décomposition en éléments simples de la forme3x+1(x+1)2=ax+1+b(x+1)2)
5. R212 1+1x2arctanxdx=3p4
(changement de variablesu=1x et arctanx+arctan1x =p2 )Indication pourl"exer cice9 NR p2011+sinxdx=1 (changement de variablest=tanx2
R p20sinx1+sinxdx=p2
1 (utiliser la précédente).Indication pourl"exer cice10 N1.F aireune intégration par parties afin d"e xprimerIn+2en fonction deIn. Pour le calcul explicite on
distinguera le cas desnpairs et impairs. 2.Rappel : unvnest équivalent àunv
n!1. Utiliser la décroissance deInpour encadrerIn+1I n.Indication pourl"exer cice11 N1.Majorer par xn. 2. 3.On pourra calculer (I0+I1)(I1+I2)+(I2+I3)Indication pourl"exer cice12 NUn dessin ne fait pas de mal ! Il faut ensuite résoudre l"équation
x22 =1x2+1puis calculer deux intégrales.Indication pourl"exer cice13 NIl faut se ramener au calcul de
Z a0br1x2a
2dx.Indication pourl"exer cice14 NOn pourra essayer de reconnaître des sommes de Riemann, puis calculer des intégrales. Pour le produit
composer par la fonction ln, afin de transformer le produit en une somme.6Correction del"exer cice1 N1.On trouv e
R40f(t)dt= +7. Il faut tout d"abord tracer le graphe de cette fonction. Ensuite la valeur d"une
intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c"est-à-dire ici les valeurs enx=0,x=1,
x=2 n"ont aucune influence sur l"intégrale. Ensuite on revient à la définition deR40f(t)dt: pour la
subdivision de[0;4]définie parfx0=0;x1=1;x2=2;x3=3;x4=4g, on trouve la valeur de l"intégrale(ici le sup et l"inf sont atteints et égaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine). Une autre
façon de faire est considérer quefest une fonction en escalier (en "oubliant» les accidents enx=0,
x=1,x=2) dont on sait calculer l"intégrale. 2.C"est la même chose pour
Rx0f(t)dt, mais au lieu d"aller jusqu"à 4 on s"arrête àx, on trouve
F(x) =8
:xsi 06x6132xsi 1 4x9 si 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 (les
dérivées à droite et à gauche sont distinctes),Fn"est pas non plus dérivable enx=2.Correction del"exer cice2 NLes fonctions sont continues donc intégrables !
1. En utilisant les sommes de Riemann, on sait que
R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) de1n
ån1k=0f(kn
NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2. Même tra vail:
R2 1g(x)dxest la limite deS0n=21n
ån1k=0g(1+k21n
)=1n ån1k=0(1+kn
)2=1n ån1k=0(1+2kn
k 2n 2). En séparant la somme en trois nous obtenons :S0n=1n
(n+2n ån1k=0k+1n
2ån1k=0k2) =1+2n
2n(n1)2
1n 3(n1)n(2n1)6
. Donc à la limite on trouveS0n!1+1+13 =73 . DoncR2 1g(x)dx=7=3. Remarque : on a
utilisé que la somme des carrés des entiers de 0 àn1 est(n1)n(2n1)6 3. Même chose pour
Rx 0h(t)dtqui est la limite deS00n=xn
ån1k=0g(kxn
) =xn ån1k=0ekxn
=xn ån1k=0(exn
)k. Cette dernière somme est la somme d"une suite géométrique (six6=0), doncS00n=xn 1(exn )n1exn =xn 1ex1exn
= (1 e x)xn 1exn qui tend versex1. Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu"en posantu=xn on a xn 1exn =1=eu1u qui tend vers1 lorsqueu!0 (ce qui est équivalent àn!+¥).Correction del"exer cice3 N1.Écri vonsla continuité de fenx0avece=f(x0)2
>0 : il existed>0 tel que pour toutx2[x0d;x0+d] on aitjf(x)f(x0)j6e. Avec notre choix deecela donne pourx2[x0d;x0+d]quef(x)>f(x0)2 Pour évaluerRb
af(x)dxnous la coupons en trois morceaux par linéarité de l"intégrale : Z b af(x)dx=Z x0d af(x)dx+Z x0+d x 0df(x)dx+Z
b x 0+df(x)dx:
Commefest positive alors par positivité de l"intégraleRx0d af(x)dx>0 etRb x 0+df(x)dx>0. Pour
le terme du milieu on af(x)>f(x0)2 doncRx0+d x 0df(x)dx>Rx0+d
x 0df(x0)2
dx=2df(x0)2 (pour la dernière 7 équation on calcule juste l"intégrale d"une fonction constante !). Le bilan de tout cela est que
Rb af(x)dx> 2df(x0)2
>0. Doncpourunefonctioncontinueetpositivef, sielleeststrictementpositiveenunpointalorsRb af(x)dx> 0. Par contraposition pour une fonction continue et positive siRb
af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2. Soit fest tout le temps positive, soit elle tout le temps négative, soit elle change (au moins un fois)
de signe. Dans le premier casfest identiquement nulle par la première question, dans le second cas
c"est pareil (en appliquant la première question àf). Pour le troisième cas le théorème des valeurs
intermédiaires affirme qu"il existectel quef(c) =0. 3. Posons g(x) =f(x)x. AlorsR1
0g(x)dx=R1
0f(x)xdx=R1
0f(x)dx12
=0. Donc par la question précédente,gétant continue, il existed2[0;1]tel queg(d) =0, ce qui est équivalent àf(d) =d.Correction del"exer cice4 N1.Vrai.
2. Vrai. 3. F aux! Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =xalorsFest décroissante sur]¥;0]
et croissante sur[0;+¥[. 4. F aux.Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =x2alorsFest négative sur]¥;0]et
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4x9 si 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 (les
dérivées à droite et à gauche sont distinctes),Fn"est pas non plus dérivable enx=2.Correction del"exer cice2 NLes fonctions sont continues donc intégrables !
1. En utilisant les sommes de Riemann, on sait que
R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) de1n
ån1k=0f(kn
NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2. Même tra vail:
R2 1g(x)dxest la limite deS0n=21n
ån1k=0g(1+k21n
)=1n ån1k=0(1+kn
)2=1n ån1k=0(1+2kn
k 2n 2). En séparant la somme en trois nous obtenons :S0n=1n
(n+2n ån1k=0k+1n
2ån1k=0k2) =1+2n
2n(n1)2
1n 3(n1)n(2n1)6
. Donc à la limite on trouveS0n!1+1+13 =73 . DoncR2 1g(x)dx=7=3. Remarque : on a
utilisé que la somme des carrés des entiers de 0 àn1 est(n1)n(2n1)6 3. Même chose pour
Rx 0h(t)dtqui est la limite deS00n=xn
ån1k=0g(kxn
) =xn ån1k=0ekxn
=xn ån1k=0(exn
)k. Cette dernière somme est la somme d"une suite géométrique (six6=0), doncS00n=xn 1(exn )n1exn =xn 1ex1exn
= (1 e x)xn 1exn qui tend versex1. Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu"en posantu=xn on a xn 1exn =1=eu1u qui tend vers1 lorsqueu!0 (ce qui est équivalent àn!+¥).Correction del"exer cice3 N1.Écri vonsla continuité de fenx0avece=f(x0)2
>0 : il existed>0 tel que pour toutx2[x0d;x0+d] on aitjf(x)f(x0)j6e. Avec notre choix deecela donne pourx2[x0d;x0+d]quef(x)>f(x0)2 Pour évaluerRb
af(x)dxnous la coupons en trois morceaux par linéarité de l"intégrale : Z b af(x)dx=Z x0d af(x)dx+Z x0+d x 0df(x)dx+Z
b x 0+df(x)dx:
Commefest positive alors par positivité de l"intégraleRx0d af(x)dx>0 etRb x 0+df(x)dx>0. Pour
le terme du milieu on af(x)>f(x0)2 doncRx0+d x 0df(x)dx>Rx0+d
x 0df(x0)2
dx=2df(x0)2 (pour la dernière 7 équation on calcule juste l"intégrale d"une fonction constante !). Le bilan de tout cela est que
Rb af(x)dx> 2df(x0)2
>0. Doncpourunefonctioncontinueetpositivef, sielleeststrictementpositiveenunpointalorsRb af(x)dx> 0. Par contraposition pour une fonction continue et positive siRb
af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2. Soit fest tout le temps positive, soit elle tout le temps négative, soit elle change (au moins un fois)
de signe. Dans le premier casfest identiquement nulle par la première question, dans le second cas
c"est pareil (en appliquant la première question àf). Pour le troisième cas le théorème des valeurs
intermédiaires affirme qu"il existectel quef(c) =0. 3. Posons g(x) =f(x)x. AlorsR1
0g(x)dx=R1
0f(x)xdx=R1
0f(x)dx12
=0. Donc par la question précédente,gétant continue, il existed2[0;1]tel queg(d) =0, ce qui est équivalent àf(d) =d.Correction del"exer cice4 N1.Vrai.
2. Vrai. 3. F aux! Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =xalorsFest décroissante sur]¥;0]
et croissante sur[0;+¥[. 4. F aux.Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =x2alorsFest négative sur]¥;0]et
quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 (les
dérivées à droite et à gauche sont distinctes),Fn"est pas non plus dérivable enx=2.Correction del"exer cice2 NLes fonctions sont continues donc intégrables !
1.En utilisant les sommes de Riemann, on sait que
R10f(x)dxest la limite (quandn!+¥) de1n
ån1k=0f(kn
NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1nån1k=0kn
=1n2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR10f(x)dx=12
2.Même tra vail:
R21g(x)dxest la limite deS0n=21n
ån1k=0g(1+k21n
)=1nån1k=0(1+kn
)2=1nån1k=0(1+2kn
k 2n2). En séparant la somme en trois nous obtenons :S0n=1n
(n+2nån1k=0k+1n
2ån1k=0k2) =1+2n
2n(n1)2
1n3(n1)n(2n1)6
. Donc à la limite on trouveS0n!1+1+13 =73 . DoncR21g(x)dx=7=3. Remarque : on a
utilisé que la somme des carrés des entiers de 0 àn1 est(n1)n(2n1)6 3.Même chose pour
Rx0h(t)dtqui est la limite deS00n=xn
ån1k=0g(kxn
) =xnån1k=0ekxn
=xnån1k=0(exn
)k. Cette dernière somme est la somme d"une suite géométrique (six6=0), doncS00n=xn 1(exn )n1exn =xn1ex1exn
= (1 e x)xn 1exn qui tend versex1. Pour obtenir cette dernière limite on remarque qu"en posantu=xn on a xn 1exn =1=eu1uqui tend vers1 lorsqueu!0 (ce qui est équivalent àn!+¥).Correction del"exer cice3 N1.Écri vonsla continuité de fenx0avece=f(x0)2
>0 : il existed>0 tel que pour toutx2[x0d;x0+d] on aitjf(x)f(x0)j6e. Avec notre choix deecela donne pourx2[x0d;x0+d]quef(x)>f(x0)2Pour évaluerRb
af(x)dxnous la coupons en trois morceaux par linéarité de l"intégrale : Z b af(x)dx=Z x0d af(x)dx+Z x0+d x0df(x)dx+Z
b x0+df(x)dx:
Commefest positive alors par positivité de l"intégraleRx0d af(x)dx>0 etRb x0+df(x)dx>0. Pour
le terme du milieu on af(x)>f(x0)2 doncRx0+d x0df(x)dx>Rx0+d
x0df(x0)2
dx=2df(x0)2 (pour la dernière 7équation on calcule juste l"intégrale d"une fonction constante !). Le bilan de tout cela est que
Rb af(x)dx>2df(x0)2
>0. Doncpourunefonctioncontinueetpositivef, sielleeststrictementpositiveenunpointalorsRb af(x)dx>0. Par contraposition pour une fonction continue et positive siRb
af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2.Soit fest tout le temps positive, soit elle tout le temps négative, soit elle change (au moins un fois)
de signe. Dans le premier casfest identiquement nulle par la première question, dans le second cas
c"est pareil (en appliquant la première question àf). Pour le troisième cas le théorème des valeurs
intermédiaires affirme qu"il existectel quef(c) =0. 3.Posons g(x) =f(x)x. AlorsR1
0g(x)dx=R1
0f(x)xdx=R1
0f(x)dx12
=0. Donc par la questionprécédente,gétant continue, il existed2[0;1]tel queg(d) =0, ce qui est équivalent àf(d) =d.Correction del"exer cice4 N1.Vrai.
2. Vrai. 3.F aux! Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =xalorsFest décroissante sur]¥;0]
et croissante sur[0;+¥[. 4.F aux.Attention aux v aleursnég ativespar e xemplepour f(x) =x2alorsFest négative sur]¥;0]et
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