[PDF] Chapitre I: - Calcul Actuariel à Court Terme

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesChapitre I:

Calcul Actuariel à Court Terme

Université de Manouba

École Supérieure de l"Économie Numérique

2019-2020

1/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementSommaire

1L"intérêt simple

Définition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placement

2L"escompte à intérêts simples

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementDéfinition

L"intérêt peut être défini comme la rémunération d"un prêt d"argent. C"est le prix à payer par l"emprunteur au prêteur, pour rémunérer le service rendu par la mise à disposition d"une somme d"argent appelé

capital pendant une période de temps.Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l"intérêt :

1la somme prêtée notéCo.2la durée du prêt notéen.3le taux auquel cette somme est prêtée notétoui.Il y a deux types d"intérêt : l"intérêt simple et l"intérêt composé.

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementPrincipes et champs d"application

Principes

L"intérêt simple se calcule toujours sur le même capital principal. Il ne

s"ajoute pas au capital pour porter lui même intérêt.Dans le calcul des intérêts simples, le capital ne varie pas au cours du

temps. Les intérêts payés sont égaux de période en période.L"intérêt simple concerne essentiellement les opérations à court terme

(inférieures à un an).Les intérêts sont versés à la fin de chacune des périodes de prêt.

Le montant des intérêts est proportionnel au capital prêté et à la durée du prêt.

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementCalcul pratique

Considérons un capitalCoplacé au tauxtpendant une période déterminéen. Le montant des intérêtsIau bout de cette période est donné par :

I=Co×t×n(1)Sitreprésente un taux annuel alors n doit être exprimé en années.Sitreprésente un taux semestriel alors n doit être exprimé en

semestres....

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementApplications

Exemple 1

Une personne décide de placer 750 DT sur un compte qui rapporte 6 % par an. Quel est le montant des intérêts touchés au bout de deux ans de placement?1C o= 750 DT2t= 0,06 3n=2 4I=C o?t?nI= 750?0,06?2 = 90DT6/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementApplications

Exemple 2

Supposons que cette même personne décide de récupérer son argent après huit mois de placement. Quel est le montant des intérêts touchés au bout des huit mois de placement?5Dans ce cas n est donné en mois on doit l"exprimer en années : alors n=8/12 années.C o= 750DTt= 0,06n= années

D"ou I=C

o.t.n= 750?0,06?8/12= 30DT7/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementApplications

Exemple 3

Après dix jours de placement, la personne revient sur sa décision. Quel est le montant des intérêts touchés au bout de dix jours de placement?C o= 750 DTt= 0,06 n= années

On a I=Co.t.nI= 750 * 0,06 *10/360 = 1,25 DT

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementApplications

Exemple 4

Une personne place son argent du 15 mai au 20 juillet. Calculer le montant

des intérêts perçus après cette période.Dans ce cas, il faut calculer le nombre de jours écoulés entre les deux

dates données.Ici on a : (31 - 15) + 30 + 20 = 66 jours entre les deux dates. On calcule alors le montant des intérêts pour ces 66 jours, soit :

I= 750 * 0,06 *66/360 = 8,25 DT

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L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementValeur acquise

La valeur acquise A par un capitalCoest la valeur de ce capital augmenté des intérêts I qu"il a produit pendant la période de placement : A=Co+I(2)Exemple :Un capital de 750 DT placé à 6 % pendant deux ans donne une valeur acquise de : 750 + 90 = 840 DT.

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L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementApplications

Exemple 1

1. Combien dois-je prêter, au taux de 5 %, pour me faire rembourser 1000

DT dans 2 ans?Dans ce cas, l"inconnu (X) est le montant à prêter aujourd"hui pour qu"au bout de la deuxième année je reçois un remboursement de 1000

DTA=X+I=X(1+2*5%)=1000

d"où X=1000/(1+2*5%)=909 DT

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementApplications

Exemple 2

Dans le même cas précédent (j"ai prêter 909 DT), supposons que nous aurons besoin de 1100 DT dans 2 ans au lieu de 1000 DT. Quel serait le taux (annuel) d"intérêt simple qui permet un tel remboursement?909(1+2*t)=1100

2*t=1100/909 -1

t=1/2[1100/909 -1]=10,5%

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L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementTaux proportionnels

Les taux proportionnels au taux annueltasont respectivement :t a/360 = taux proportionnels quotidientjt a/12 = taux proportionnels mensueltmt a/4 = taux proportionnels trimestrielttt a/2 = taux proportionnels semestrielts13/49Chapitre I:

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L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementApplication

Exemple

Soit un taux annuel de 0.06 :

Le taux mensuel proportionnel correspondant est :0.06/12=0.005Calcul de l"intérêt rapporté par un capital de 5000 DT placé pendant 9

mois :Au taux annuel (0.06)?5000*9/12*0.06=225 DTAu taux mensuel (0.005)?5000*9*0.005=225 DT14/49Chapitre I:

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L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementTaux moyen de placement

Définition

On appelle taux moyen de plusieurs placements le taux unique auquel il aurait fallu placer les mêmes capitaux pendant les mêmes périodes de temps pour obtenir le même intérêt.Exemple : On place 900 DT à 4,5% pendant 90 jours et 600 DT à 6,5% pendant 150 jours,L"intérêt I total produit par ces placements est :

[900*0.045*(90/360)]+[600*0.065*(150/360)]=26.375 DTOn cherche le taux moyentmauquel il aurait fallu placer ces capitaux

pendant les mêmes durées pour obtenir le même intérêt.On a donc à résoudre : [900*tm*(90/360)]+[600*tm*(150/360)]=26.375

DTd"oùtm= 0,055, soit un taux moyen de 5,5 %.15/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementL"intérêt total de l"ensemble de placements I=?C oi.ti.ni360 (3)Taux moyen des placements t m=?C oi.ti.ni? C oi.ni(4)

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementApplications

Exemple 1

900 DT à 6 % pendant 58 jours,

1 900 DT à 13 % pendant 75 jours,

400 DT à 8 % pendant 25 jours.

Déterminer le taux moyen de placement.(

solution=10.97%)

Exemple 2

3800 DT à 4.5 % pendant 51 jours,

6420 DT à 6.2 % pendant 67 jours,

780 DT à 5.5 % pendant 82 jours.

100 à 4.8% pendant 97 jours

Déterminer le taux moyen de placement. (

solution=5.64%)

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesDéfinition

Principes et champs d"application

Valeur acquise

Taux proportionnels

Taux moyen de placementExplication

L"intérêt I total est la somme de tous les intérêts à différents taux. (I=I1+I2+I3+....In)Exemple(1) 1I

1= (900?0.06?58/360) = 8.72I

2= (1900?0.13?75/360) = 51.463I

3= (400?0.08?25/360) = 2.224I= 8.7 + 51.46 + 2.22 = 62.38Le taux moyen des placements= ((900*0.06*58)+(1900*0.13*75)

400
*0.08* 25

900*58

1900*75

400*25

))=10.97%ou encore

Le taux moyen des placements=(360*

I

900*58

1900*75

400*25

Le taux moyen des

placements=(360* 62.38

900*58

1900*75

400*25

))=10.97%

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxSommaire

1L"intérêt simple

2L"escompte à intérêts simples

Escompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitaux

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement Équivalence de deux capitauxL"escompte à intérêts simples

L"effet de commerce

Lorsqu"un fournisseur vend à un client des marchandises et que le règlement doit intervenir après la date d"achat, le fournisseur(le créancier), doit donc attendre la date convenue (échéance), pour

encaisser son argent (créance).Si le fournisseur a besoin d"argent,avant la date d"échéance, il peut

demander à sabanque une avance garantie par la créance qu"il possède. Pour cela ildoit justifier, par un document écrit, l"existence de cette créance. Cette preuve écrite est appelée eff etde commerce : Le client (le débiteur) rédige un papier dans lequel il promet de payer à son fournisseur le montant M, à la date d"échéance : c"estle billet à ordre;Le débiteur peut uniquement apposer sa signature sur un papier rédigé par le créancier reconnaissant l"existence de la dette. c"estla lettre de change ou traite.En vendant l"effet de commerce à sa banque, le créancierremet son effet à l"escompte.

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxL"escompte simple

Ce type d"escompte est utilisé lorsque la durée qui sépare la date de présentation de l"effet à l"escompte et la date de l"échéance de l"effet est inférieure à un an. On distingue :Escompte commercial

Escompte rationnel

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement Équivalence de deux capitauxEscompte commercial

Calcul de l"escompte commercial

L"escompte commercial est l"intérêt produit par la valeur nominale de l"effet, à un taux d"intérêt simple, appelé taux d"escompte, pendant la durée qui sépare la date de remise à l"escompte et la date d"échéance. E=VN.n.t(5)E : Escompte commercial produit par l"effet de commerce;

VN : valeur nominale de l"effet de commerce;

n : durée d"escompte; t : taux d"escompte.

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement Équivalence de deux capitauxCalcul de l"escompte commercial L"opération d"escompte est une opération à court terme, la durée est exprimée en nombre de jours qui sépare la date de remise à l"escompte de l"effet de la date d"échéance, si n est le nombre de jours (il y a 360 jours dans une année commerciale) la formule de calcul de l"escompte commercial devient :

E=VN.(n/360).t(6)23/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxApplications

Exemple 1

Calculer l"escompte produit par un effet de commerce d"une valeur nominale de 40 000 DT dont l"échéance est le 30 novembre, s"il est remis à l"escompte le 5 octobre de la même année au taux d"escompte de 12%.Solution La durée d"escompte est le nombre de jours qui sépare le 5 octobre du

30 novembre soit 56 jours.L"escompte commercial produit par cet effet de commerce est

E = (40000*0.12*(56/360))=746.67DT

Le créancier doit attendre la date du 30 novembre pour disposer du montant de 40 000 DT, par contre s"il veut disposer de son argent le 5 octobre il doit payer à la banque 746,67 DT et ne recevoir que : 40

000,00 - 746,67 = 39 253,33 DT

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxApplications

Exemple 2

Calculer la valeur nominale d"un effet de commerce qui, escompté à 9%, pour une durée de 65 jours, coûte un escompte de 345,25 DT. (Solution :

VN= 21 246.15 DT)Exemple 3

: Calculer la durée d"échéance d"un effet de commerce de valeur nominale d"un montant de 5 000 DT, qui escompté à 9%, produit un escompte de 75DT.
(Solution : n=60j)Exemple 4 : Calculer le taux d"escompte d"un effet de commerce de valeur nominale 15

000 DT, qui escompté pendant une durée de 60 jours, produit un escompte

de 250 DT. (Solution t = 10%)

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement Équivalence de deux capitauxValeur escomptée La banque remet au client la différence entre la valeur nominale de l"effet et l"escompte, cette différence est appelée valeur actuelle de l"effet ou valeur escomptée (notée VE)

VE=VN-E=VN(1-((t?n)/360)) (7)26/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxApplications

Exemple 1

Calculer la valeur actuelle d"un effet de commerce de valeur nominale 15 000 DT, d"échéance le 15 juin s"il est remis à l"escompte le 13 avril de la même année au taux d"escompte de 9%.(Solution : VE= 14763.75DT) Le créancier doit attendre la date du 15 juin pour disposer des 15 000 DT, par contre s"il veut disposer de son argent le 13 avril, il ne recevra de la banque que 14 763,75 DT.Exemple 2 Calculer la valeur nominale d"un effet de commerce dont la durée d"escompte est 35 jours, le taux d"escompte 8% et la valeur à la date de la remise à l"escompte est de 25 000 DH. (Solution : VN= 25195,97 DT)

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxApplications

Exemple 3

Calculer l"échéance d"un effet de commerce dont la valeur nominale est 12

500 DT, la valeur actuelle est 12 000 DT si le taux d"escompte est de 7,5%.

(Solution : n=192j)Exemple 4 Calculer le taux d"escompte d"un effet de commerce de valeur nominale 26

000 DT, de valeur actuelle 25 650 DT et de durée d"escompte 45 jours.

(Solution t = 10.77%)

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxEscompte rationnel

Définition

L"escompte commercial est proportionnel à la valeur nominale de l"effet.

C"est le seul utilisé en pratique.

On peut cependant imaginer un escompte calculé sur la valeur actuelle

de l"effet appelé valeur actuelle rationnelle.Une telle valeur sera définie par la relation suivante :

Valeur nominale = Valeur actuelle rationnelle + l"escompte sur cette valeur

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L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxEscompte rationnel

Calcul de l"escompte rationnel

VAR = valeur actuelle rationnelle

n = nombre de jours séparant la date de la présentation de l"effet l"escompte et la date d"échéance de l"effet.t = taux annuel exprimé en pourcentage. Valeur nominale = Valeur actuelle rationnelle + l"escompte sur cette valeurVN = VAR + E" L"escompte rationnel (E") est inférieur à l"escompte commercial (E).

VAR= (360?VN)/(360 + (n?t)) (8)30/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxApplications

Exemple 1

Calculer l"escompte rationnel et la valeur actuelle rationnelle d"un effet de commerce de valeur nominale 23 250 DT, de taux d"escompte 6%, entre le 2 avril, jour de remise à l"escompte et le 17 mai, date de

l"échéance de l"effet.Comparer les résultats avec l"escompte commercial et la valeur actuelle

commerciale.Solution n= 45 jours; E" = VAR*(t*n/360)=VAR*0.0075

E" = VN-VAR; VAR=VN/1.0075=23076.92

E"=173.076

E=VN*(t*n/360)=23250*0.0075=174.375

L"escompte rationnel (E") est inférieur à l"escompte commercial(E). La banque prélève 174,375 DT pour cette opération d"escompte alors qu"elle devrait, en principe, ne retenir que 173,076 DT.

31/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxApplications

Exemple 2

Le 15/4 une entreprise remet à l"escompte un effet de valeur nominale

1800 DT, échéant le 25/5 de la même année. Le taux d"escompte

pratiqué par la banque étant de 8% l"an.Calculer le montant de l"escompte rationnel et la valeur actuelle

rationnelle.Solution :VAR=1784.14DT, E"= 15.86 DT

32/49Chapitre I:

L"intérêt simple

L"escompte à intérêts simplesEscompte commercial

Escompte rationnel

Le Coût du crédit à l"escompte

intérêt précompté et taux effectif de placement

Équivalence de deux capitauxApplications

Exemple 3

Calculer l"escompte rationnel et la valeur actuelle rationnelle d"un effet de commerce de valeur Nominale égale à 50 000 DT et d"échéance le

31 décembre, remis à l"escompte le 20 juillet de la même année au taux

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