Intersection dune parabole et dune droite.
On se propose de déterminer les coordonnées de leurs points d'intersection. a) Méthode graphique. Tracer la parabole P et la droite D1. On appelle A1 et B1
01-equations-et-paraboles-enonces-des-exercices.pdf
Trouver pour chaque cas ci-dessous le sommet de la parabole p calculer les coordonnées des éventuels points d'intersection de la parabole p et de la droite.
RMLQA - EXERCICES du 16/11/2018 et du 19/11/2018
19 nov. 2018 INTERSECTIONS EN GEOMETRIE EUCLIDIENNE : DROITES CERCLES
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
parabole représentant la fonction f. a) Pour déterminer l'intersection de la courbe de f avec l'axe des abscisses il suffit.
Chapitre 7 - Fonctions Quadratiques
Exercice 1.1 Les paraboles suivantes sont-elle convexes ou concaves ? (droite verticale passant ... Intersection entre une droite et une parabole.
ESD2017_19. Prise dinitiative
Existe-t-il des valeurs de p pour lesquelles la parabole P et la droite D admettent des points d'intersection à coordonnées entières ?
Parabole en 1S
2 mai 2008 la droite (AT) est la tangente à la parabole P au point A. ... du point d'intersection des tangentes à la parabole C aux points M et M' ...
Devoir commun de Mathématiques Correction - Premières S
Dans un repère (d) et (d ') sont les droites d'équations cartésiennes respectives : Intersection entre une parabole et une droite.
Diverses méthodes pour calculer des aires paraboliques Jean
équidistants d'un point F et d'une droite (D) est une parabole (P) segment [FH]
Untitled
#6 La droite d'équation x = 4 est la directrice de la parabole de sommet Points d'intersection entre une droite et une conique ou entre une parabole et ...
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
les droites (SM) et l’axe du cône les droites (Mµ) et l’axe du cône étant parallèles car toutes les deux orthogonales au plan ? Il vient : Mµ=Mmcos? • Dans le plan ? le point M se projette orthogonalement sur la droite ? (intersection des plans ? et ?) en un point H
RMLQA - EXERCICES du 16/11/2018 et du 19/11/2018
EXERCICE N°6 (Intersection entre une parabole et un cercle) Soient un cercle et une parabole ayant pour équations : et Déterminer leurs intersections EXERCICE N°7 (Intersection entre une ellipse et une droite) Soient une ellipse et une droite ayant pour équations : et Déterminer leurs intersections
INTERSECTION D’UNE PARABOLE ET D’UNE DROITE VARIABLE
INTERSECTION D’UNE PARABOLE ET D’UNE DROITE VARIABLE Second degré Travaux pratiques Soit f la fonction définie sur R par f x x x()= ? +2 4 1 1) Tracer sa représentation graphique que l’on notera ( P) à l’aide du logiciel GeoGebra 3) Pour tout nombre m réel on considère la droite (Dm) d’équation y x m=? +2
Quelle est la droite d'une parabole?
La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x=?. Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2
Comment trouver la droite d’intersection d’un plan non parallèle ?
On sait que l’intersection de deux plans non parallèles est une droite, il suffit donc de trouver deux points appartenant aux deux plans pour en déterminer la droite d’intersection. On considère le tétraèdre , les points et tels que et et enfin le point d’intersection des droites et .
Quelle est la différence entre une droite et une intersection?
Si deux droites sont confondues, tous leurs points sont communs, l'intersection est une droite. Dans l'espace, deux droites sont non coplanaires n'ont aucun point commun ; leur intersection est vide : .
Comment calculer le point d’intersection des droites?
Cette figure n’est pas en vraie grandeur et n’est pas à reproduire. M est le point d’intersection des droites (AO) et (IU). L’unité de mesure est le millimètre. On donne MO = 21, MA = 27, MU = 28, MI = 36 et AI = 45. 1. Prouver que les droites (OU) et (AI) sont parallèles. 2. Calculer la distance OU. Réponse : 1.
1 sur 6
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
Chapitre 2/2
Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2Exemple :
La fonctiondéfinie par
=2 -2 +2 est une fonction du second degré. En effet, elle s'écrit aussi sous la forme ⟼ =2 -2 +2 =2 -4 =2 -8. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 2.Les coefficients ,
et sont des réels avec ≠0. A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction qui s'écrit sous la forme ⟼Par exemple, la fonction ⟼3
-2+1 est une fonction polynôme du second degré. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ parL'équation
=0 possède deux solutions (éventuellement égales) : = et appelées les racines de la fonction polynôme. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ par La droite d'équation = avec = est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction. Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée.Vidéo https://youtu.be/riqMPcUT_Ts
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 -2 +4Déterminer :
a) l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, b) son axe de symétrie, c) les coordonnées de son extremum.Placer au fur et à mesure ces éléments géométriques dans un repère puis tracer la parabole
représentant la fonction.2 sur 6
Correction
a) Pour déterminer l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, il suffit de résoudre l'équation =0.Soit : 2
-2 +4 =0.Il s'agit d'une équation-produit. On a donc :
-2=0 ou +4=0 soit : =2 ou =-4. La courbe detraverse l'axe des abscisses en =-4 et en =2. On peut marquer ces deux points d'intersection, A et B, dans le repère. b) Ici, =2 -2 +4 donc =2 et =-4, et donc = =-1. La droite d'équation =-1 est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction.On peut tracer cette droite dans le repère.
c) - Le sommet S de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie, donc il a pour abscisse = -1 et pour ordonnées : -1 =2 -1-2 -1+4 =2× -3×3=-18
Le sommet de la parabole S est donc le point de
coordonnées (-1 ; -18).On peut placer le point S dans le repère.
- L'expression de la fonctionest =2 -2 +4 , donc a = 2 > 0.On en déduit que la parabole
représentant la fonctionpossède des branches tournées vers le haut.Le sommet de la parabole
correspond donc au minimum de la fonction.On trace ainsi la parabole
passant par les points S, A et B.3 sur 6
Méthode : Associer une fonction du second degré à sa représentation graphiqueVidéo https://youtu.be/Yrt2Cdx1uk4
Associer chaque fonction à sa représentation graphique :Correction
- On a : ℎ =5 -1 =5La fonction ℎ est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole
correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses. La parabole bleue intercepte l'axe des abscisses en 1 uniquement, c'est donc la représentation graphique de la fonction ℎ. - Les fonctionset sont de la forme =3 -1 +3 et =-2 -1 +3 Ces fonctions possèdent donc toutes les deux les mêmes racines : =1 et =-3. On peut donc les associer à la parabole rouge et à la parabole verte qui passent toutes les deux par les points d'abscisse -3 et 1.Les branches de la parabole verte sont tournées vers le haut donc > 0 dans l'écriture de la
fonction ⟼ Ainsi, la parabole verte représente la fonctionpour qui = 3 > 0. La parabole rouge représente alors la fonction . Méthode : Factoriser une expression du second degréVidéo https://youtu.be/FoNm-dlJQLc
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 +4-6. a) Conjecturer une racine de la fonction polynômeet vérifier par calcul. b) Factoriser.4 sur 6
Correction
a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme.En effet,
1 =2×1 +4×1-6=2+4-6=0. b) D'après l'expression de la fonction , on a : =2 +4-6.On peut affirmer que =2.
Par ailleurs, 1 est une racine de. Donc, sous sa forme factorisée,s'écrit : =2 -1Il s'agit donc de déterminer
, tel que : 2 +4-6=2 -1 En prenant par exemple =0, cette égalité s'écrit : -6=2 -1 , soit -6=2 ou encore -3= Ainsi, sous sa forme factorisée, la fonction polynômes'écrit =2 -1 -3 > ou encore =2 -1 +3 Partie 2 : Signe d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degréVidéo https://youtu.be/EjR6TCc_fdg
Étudier le signe de la fonction polynômedéfinie sur ℝ par =-2 -3 +2Correction
Le signe de -2
-3 +2 dépend du signe de chaque facteur -2, - 3 et + 2. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. - 3 = 0 ou + 2 = 0 = 3 = -2 En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =-2 -3 +25 sur 6
On en déduit que ()≥0 pour ∈ -2;3 et -∞;-23;+∞
La représentation de la fonctionà l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats
établis précédemment.
Partie 3 : Équation de la forme x² = c
Propriété :
Les solutions dans ℝ de l'équation
=dépendent du signe de . Si < 0, alors l'équation n'a pas de solution. Si = 0, alors l'équation possède une unique solution qui est 0. Si > 0, alors l'équation possède deux solutions qui sont et - Méthode : Résoudre une équation du type x 2 = cVidéo https://youtu.be/ef15aeQRs6w
Résoudre dans ℝ les équations :
a) =16 b) =-8 c) 2 -8=120Correction
a) 16 est positif donc l'équation =16 admet deux solutions =16=4 et
16=-4.
6 sur 6
b) -8 est négatif donc l'équation =-8 n'a pas de solution dans ℝ. c) 2 -8=1202
=120+82
=128 =64L'équation admet donc deux solutions =
64=8 et =-
64=-8.
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