[PDF] Calculs dans le triangle rectangle

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117
Vous connaissez quelques propriétés géomé- triques des triangles.

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus

spécialement au triangle rectangle.

Vous allez consolider vos connaissances des

classes antérieures en utilisant le théorème de

Pythagore et sa réciproqueou les rapports

trigonométriques d'un angle aigu: cosinus, sinus, tangente. Pour cela, il vous faudra savoir reconnaître dans un triangle rectangle : l'hypoténuse, le côté adjacent à un angle aigu,le côté opposé à un angle aigu.Mots-clés du chapitre De nombreuses situations de la vie professionnelle nŽcessitent le calcul de longueurs ou dÕangles.

Citons par exemple :

- pour une charpente, le calcul de la longueur des chevrons ou de l'angle d'inclinaison de la toiture ; - pour une machine à commande numérique, le calcul des données à fournir de manière à obtenir le déplacement désiré de l'outil ; - pour l'usinage d'une pièce, le calcul de l'angle d'attaque de l'outil." Ce chapitre va vous fournir les moyens mathŽmatiques de rŽsoudre

Calculs

dans le triangle rectangle

Comment utiliser le théorème de Pythagore ?

La figure ci-contre représente schématique-

ment une partie de charpente (cotes en mètre).

Comment calculer la longueur du chevron

PM ?

Première partie

Construire un triangle ABC rectangle

en A tel queAB = 8 cm, AC = 6 cm. Vérifier à l'aide du double décimètre que

BC = 10 cm.

Calculer BC

2 , puis AB 2 + AC 2 . Comparer les résultats obtenus. L'égalité obtenue ne vous rappelle-t-elle pas un théorème connu ?

Deuxième partie

On se propose de calculer la longueur du chevron MP (figure ci-dessus).

On sait que le triangle MNP est rectangle en N.

Quelle est l'hypoténuse du triangle MNP ?

Écrire la relation de Pythagore.

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, calculer MP 2 En utilisant la touche de la calculatrice (voir page 201), calculer MP(valeur arrondie au cm). Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ?

Pour construire des murs perpendiculaires,

les maçons égyptiens utilisaient une corde à

13 noeuds : 1 noeud à chaque extrémité et

11 noeuds à égale distance l'un de l'autre.

Avec cette corde, le maçon réalise un

triangle dont les côtés ont pour longueur

3 ; 4 et 5, en choisissant comme unité de

longueur la distance entre deux noeuds.

Les murs ainsi construits sont-ils " à

l'équerre » ?M

L "E SNTIXRCPOCSCBBB

118

Activité 14

6 MNP

Activité2

1. 1. 2. 2. 3. 4.BC A 119

10. Calculs dans le triangle rectangle

Solutions pages suivantes

Construire un triangle ABC tel queAB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.

À l'aide d'un rapporteur, mesurer l'angle .

Comparer BC

2 et AB 2 + AC 2 Comment utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle ? Un alpiniste doit, pour atteindre le sommet, gravir une dernière face plane recou- verte de glace. Son altimètre lui indique que, s'il parcourt 100 m, il gagne en altitu- de 70 m. Cette situation est illustrée par la figure de droite. • Quelle est la mesure de l'angle d'inclinaison de la face ? • L'altitude du sommet est de 8000 m ; l'altimètre indique 7875 m. Quelle distance reste-t-il à parcourir à l'alpiniste ? L'étude suivante va donner les réponses à ces questions.

Dans le tableau ci-contre, on note dla distance

parcourue par l'alpiniste et dle gain en altitude correspondant. Sachant que ce tableau est un tableau de proportionnalité, le reproduire et le compléter.

Quelle est la valeur commune des rapports ?

La valeur commune des rapports est représentée dans le triangle ABC rectangle en A par le rapport ; elle dépend de l'angle . On l'appelle sinus de l'angle et on écrit . En utilisant la calculatrice (voir page 201), calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l'angle . Quelle distance reste-t-il à parcourir à l'alpiniste ? On calculera d'abord combien l'alpiniste doit gagner en altitude. C sinC=AB BC CC AB BC d d d d C BAC

Activité3

1. 2. 1. 2. 3.

50 220100

70d (en m)

d' (en m)20 faceverticale 100 m
CB 70 m
horizontale A

Activité 1

1.

Comment utiliser le théorème de Pythagore ?

Première partie

On construit un angle droit et,

sur les demi-droites [Ax) et [Ay), on place les points B et C tels que AB = 8 cm et

AC = 6 cm.

La figure est ici faite à l'échelle .

BC 2 = 100. AB 2 + AC 2 = 8 2 + 6 2 = 64 + 36 AB 2 + AC 2 = 100.

Donc BC

2 = AB 2 + AC 2 L'égalité obtenue nous rappelle le théorème de Pythagore :

Deuxième partie

L'hypoténused'un triangle rectangle

est le côté opposé à l'angle droit ; l'hy- pothénuse du triangle MNP est MP. MP 2 = NP 2 + NM 2 MP 2 = 4 2 + 6 2 , soit MP 2 = 16 + 36, d'où MP 2 = 52.

À la calculatrice :

52
52
On lit 7,2111... d'où MP"7,21(valeur arrondie au cm). Comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ? On constate, aux incertitudes de mesure près, que = 90°. BC 2 = 5 2 = 25. AB 2 + AC 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16, soit AB 2 + AC 2 = 25. BAC L'utilisation du théorème de Pythagore va nous permettre, dans un tr iangle rectangle dont seuls deux côtés sont connus, de calculer le côt

é inconnu.EXE

M

ENTER=

M 2nd si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC 2 = AB 2 + AC 2 1 2 xAy 120
y x C 6 cm A 8 cmB P 4 N 6M 1. 2. 2. 1. 2. 3. 4.

Activité 2

121

Ainsi :BC

2 = AB 2 + AC 2

Le triangle ABC est tel que BC

2 = AB 2 + AC 2 et on constate qu'il est rectangle en A.

Plus généralement,

Ce résultat nous permet d'affirmer que les murs construits en utilisant la corde à

13 noeuds sont bien perpendiculaires.

Comment utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle ? Le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient soit 0,7.

La valeur commune des rapports est 0,7.

On utilise la calculatrice en mode degré (voir p 201).

0.7 ; 0.7

On lit : 44,42 ..., donc .

L'alpiniste doit gagner en altitude 8 000 - 7 875, c'est-à-dire 125 m. • On peut utiliser le tableau de proportionnalité où xreprésente la distance inconnue à parcourir. Ainsi d'où 125 = 0,7 x; ; x"179.

L'alpiniste devra parcourir 179 mètres.

• On peut aussi représenter la situation par le triangle ABC ci-contre. Dans ce triangle : , soit ; d'où BC = ; BC "179. Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriquespermettent de cal- culer certains éléments (angles ou côtés). 125
0,7

0,7 =125

BC sinC=AB BC x=125 0,7 125x
=70

100= 0,7

d dÕ100 70x
125
La calculatrice permet d'obtenir la mesure d'un angle aigu connaissant le cosinus, le sinus ou la tangente de cet angle. C;44

EXEAsnSECONDE

ENTER=

SIN -1 2nd d d 50
35220

154100

70d (en m)

dÕ (en m)20 14 0,7 70
100
si un triangle ABC est tel que BC 2 = AB 2 + AC 2 , alors il est rectangle en A. Cet énoncé est appelé réciproque du théorème de Pythagore.

10. Calculs dans le triangle rectangle

3. 1. 2.

Activité 3

125 m
A C? B 122
L"

ESSENTIEL

L"ESSENTIEL

Propriétés élémentaires

Théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Dans le triangle ABC rectangle en A,

- le cosinus de l'angle est : - le sinus de l'angle est : - la tangente de l'angle est : Le cosinus, le sinus, la tangente de l'angle sont les rapports trigonomé- triques de cet angle. C tanC=mesureducôtéopposé mesureducôtéadjacent=AB AC C sinC=mesure du côtéopposé mesure de l'hypoténuse=AB BC C cos C=mesure du côtéadjacent mesure de l'hypoténuse=AC BC C

Si dans un triangle ABC, BC

2 = AB 2 + AC 2 , alors le triangle est rectangle en A.

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors

BC 2 = AB 2 + AC 2 A B C0 hypoténuse C BA

Côté adjacent

Hypoténuse

B

Côté opposé

A C

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :

• et . • le cercle circonscrit au triangle est le cercle de diamètre [BC].

B+C=90°

A=90°

123

EXERCICES ET

PROBLÈMES

10. Calculs dans le triangle rectangle

Théorème

de Pythagore

Un triangle ABC est

rectangle en A ; AB = 3,5 cm et AC = 2 cm. Calculer BC. • l'hypoténuse est [BC]. • BC 2 = AB 2 + AC 2 • BC 2 = (3,5)quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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