[PDF] Rapport de stage scientifique Modélisation de lanisotropie dun

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Ecole des Ponts Paristech

2010-2011

Rapport de stage scientifique

Bensalah Antoine

´el`eves ing´enieurs, premi`ere ann´ee

Mod´elisation de l"anisotropie d"un r´eseau

de discontinuit´es 3D par m´elanges de loisde probabilit´es

Stage r´ealis´e au sein du LEESU

LEESU, Ecole des Ponts ParisTech, 6-8 avenue Blaise Pascal, Cit´e Descartes, Champs-sur-Marne, 77455 Marne-la-Vall´ee Cedex2 (France) mai-juillet

Maˆıtre de stage : Olivier Fouch´e

1

Fiche de synth`ese

•Type de stage : stage scientifique

•Ann´ee acad´emique : 2010-2011

•Auteur : Bensalah Antoine

•Formation : ´el`eve ing´enieur, premi`ere ann´ee Ecole desPonts ParisTech •Titre du rapport : Mod´elisation de l"anisotropie d"un r´eseau de dis- continuit´es 3D par m´elanges de lois de probabilit´es

•Organisme d"accueil : LEESU

•Pays d"accueil : France

•Maˆıtre de stage : Olivier Fouch´e

•Tuteur de stage : Olivier Fouch´e

•Mots-clefs : Algorithmes EM-SEM, r´eseaux de discontinuit´es, tests statistiques, distance de Hausdorff, classification automatique •Th`eme Ecole : Math´ematiques appliqu´ees, G´eologie-G´eophysique, Recherche 1

Remerciements

Je tiens `a remercier dans un premier temps l"´equipe p´edagogique de l"Ecole des Ponts ParisTech, ainsi que les intervenants du laboratoire LEESU de m"avoir permis d"effectuer un stage scientifique tr`es enrichissant dans les meilleurs conditions. Ce stage a ´et´e financ´e par le projetANCRES du programme GESSOL (Ademe et MEDDTL) coordonn´e par Olivier Fouch´e. Ainsi je souhaite remercier l"Ademe et MEDDTL pour leur soutient fi- nanci´e et tout particuli`erement Olivier Fouch´e pour sa patience et pour sa p´edagogie, ainsi que Jean Diebolt, pour sa patience ´egalement, et pour ses explications pr´ecieuses qui ont su me guider et me faired´ecouvrir un do- maine fascinant. J"ai beaucoup appr´eci´e travailler avecces deux chercheurs, comme au sein d"une ´equipe, je les en remercie. 2

R´esum´e

Ce rapport pr´esente une approche probabiliste de la mod´elisation de l"anisotropie d"un r´eseau de discontinuit´es (RD) et conclue un stage financ´e par le projet ANCRES du programme GESSOL (Ademe et MEDDTL). Seule la premi`ere ´etape de la mod´elisation est abord´ee,nous avons d´ecrit et discut´e seulement ici des m´ethodes de classification automatique de donn´ees d"orientation planaire ou vectorielle 3D dont les applications ne se canton- nent pas aux RD. Ces m´ethodes de classification en familles des orientations des discontinuit´es utilisent des estimations de param`etres de m´elanges de lois de probabilit´es ; sur la sph`ere dans le cas vectoriel 3D. Ces estimations peuvent alors servir pour mod´eliser le r´eseau de discontinuit´es. Nous nous sommes dans un premier temps attach´es `a fixer les conventions et les nota- tions qui sont prises tout au long du rapport. Ensuite, nous avons utilis´e

diff´erentes lois de probabilit´es sur la sph`ere unit´e pouvant ˆetre utilis´ees dans

la classification en familles des discontinuit´es. Si la loide Fisher nous avait paru la plus simple, pour des raisons de sym´etrie, nous avons retenu pour le cas de la 3D des lois de probabilit´es form´ees par des projections de lois normales sur la sph`ere. Nous avions d´ej`a une m´ethode nonprobabiliste de classification des RD qui nous permettait ´egalement de d´ecider a posteriori du nombre de familles que nous voulions former. Les algorithmes proba- bilistes que nous avons utilis´es sont EM et SEM, ce dernier ayant ´et´e mis de cˆot´e car il ne nous satisfaisait pas vraiment. La description du fonc- tionnement de ces algorithmes est enrichie de nombreux exemples pr´esent´es dans ce rapport qui analysent ´egalement leurs faiblesses et leurs limites. A l"issue de cette description, nous avons mis en place un teststatistique de validation des param`etres estim´es bas´e sur des m´ethodes utilis´ees habituelle- ment pour la reconnaissance de formes et utilisant notamment la distance de Hausdorff. Ce crit`ere constitue donc une validation a posteriori du fonc- tionnement des algorithmes. Nous avons donc men´e une ´etude statistique de ce crit`ere afin de d´eterminer le risque de premi`ere esp`ece et de borner l"erreur faite sur les param`etres estim´es lorsque le testest positif. Nous sommes arriv´es `a limiter le risque de premi`ere esp`ece `a5%. Cependant, lors de l"´etude de sa senbilit´e, nous avons observ´e que les erreurs permises sur la matrice de covariances pour les projections de lois multi-normales du plan tangent sur la sph`ere sont de l"ordre de 100%. Si nous n"arrivons pas `a contrˆoler l"erreur sur la matrice de covariances, l"erreur sur le vecteur moyen est au maximum d"une dizaine de degr´es, ce qui est plutˆot satisfaisant. Nous avons alors mis en pratique le fonctionnement de ces algorithmes pour une application `a la g´eologie, o`u la mod´elisation des fractures dans des massifs rocheux est recherch´ee car les mesures directes n"y sont pas pr´ecises. Nous 3 avons dans cette optique commenc´e une ´etude de l"influencedes erreurs de mesures dues aux rel`evement manuels du positionnement desfractures sur les carottes. Puis nous avons fini par l"´etude d"un cas particulier de forage, o`u sont pr´esents deux principaux types de discontinuit´es, que nous avons cherch´e `a regrouper en familles. Si les r´esultats de la mod´elisation sont ex- ploitables, il reste n´eanmoins quelques probl`emes dans le fonctionnement des algorithmes, qui ne donnent pas enti`ere satisfaction quant aux param`etres estim´es. Mots-cl´es : algorithmes EM/SEM, simulation r´eseaux de discontinuit´es, distance de Hausdorff, test statistique 4

Abstract

In this report, we shall present a probabilistic model of a discontinuties network"s anisotropy (RD). This is the conclusion of a training course finan- cied by ANCRES project from the GESSOL program (Ademe & MEDDTL). We present here the first step of the modelisation, we have just described and discussed about automatic classification methods of plannar or 3D vectoriel orientation data which applications are not bounded to RD. These methods of classification in discontinuties orientation groups, are using estimations of parameters of mixes probabilities distribution, and in the 3D vectoriel case, on the unit sphere. Those estimations may later be usedto model the discontinuties network. In the first place we will detail all the conventions and notations that we used in this report. Afterwards, we will describe severalprobabilities distributions on the unit sphere that may be used to classifyin different classification groups. If the Fisher distribution appearedto be the most simple, for some symetric reasons, we would used, in the 3D case, proba- bilities distributions created by projections of normal distributions on the sphere. We will present another method, a non-probabilistic classification of the RD which allows us to decide later on the number of groups that we want to form. The probabilistics algorithms that we have used are the EM and SEM algorithms. The SEM"s one is not used because it doesn t give good results. The description of functioning algorithms is enriched by a lot of exemple presented in this report which analysed the strengths and weaknesses of those algorithms. At the term of this description, we will set up a statistic test in order to validate the estimated parameters based on methods whichordinary are used for form recognitions, like the Hausdorff distance. So this criterion is a post-validation of functioning algorithms. Thereforme, we will make a statistical study of this criterion, in order to calculatethe error of the first kind and bound up the error made on the estimated parameters, when the test is positive. We conclude that we can bound the error of the first kind up to 5%. However, during the sensitivity test, we observe that the errors on the covariance matrix for multi-normal distributions projections of the tangent plan on the sphere are around 100%. If we didn t succeded to control the error on the covariance matrix, the erreur on theaverage vector would reach its peak at 10 degrees, which is rather satisfying. Then we will study the functioning of the algorithms for an application in geology, which is the modelisation of fractures in a rock massif. At the beginning of this part, we study the influence of measure errors because of the manual determination of the orientation of the fractures of the samples taken from a bore. Finaly we will end this report with a particular case of drilling, where we can find 2 principal types of discontinuities, which we 5 will exploit. Even if the results of modelisation are exploitable, it remains some issues in the functioning of algorithms, which are not given the entire satisfaction in the estimated parameters. Key words : EM/SEM algorithms, simulation of discontinutednetworks,

Hausdorff distance. Statistical test.

6

Contents1 Introduction12

1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Langages de programmation utilis´es . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Conventions et notations13

2.1 Repr´esentation de l"orientation des discontinuit´es. . . . . . . 13

2.2 Rep`ere et coordonn´ees choisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Visualisation des familles de discontinuit´es, diagramme de Wulff 14

2.4 Se passer de la convention normale montante dans le cadre

des algorithmes pr´esent´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Diff´erentes lois de probabilit´es sur la sph`ere unit´e 17

3.1 Introduction aux m´elanges de lois de probabilit´es . . .. . . . 17

3.2 Loi de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Projection st´er´eographique de lois multi-normales dans le plan

tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Premier algorithme de regroupement en familles 23

5 L"algorithme EM (Expectation Maximization) 24

5.1 Pr´esentation de l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2 Essai de l"algorithme pour diff´erents m´elanges . . . . . .. . . 26

5.3 M´elange de lois multi-normales dans le plan . . . . . . . . . .26

5.3.1 m´elanges de lois de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.3.2 M´elanges de lois multi-normales dans le plan tangent. 34

6 L"algorithme SEM (Stochastic Expectation Maximization) 41

6.1 Pr´esentation de l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Comparaison avec l"algorithme EM . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Test de validation des param`etres `a l"issue de EM (ou de

SEM)46

7.1 Pr´esentation de la distance de Hausdorff et distance de Haus-

dorff modifi´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2´Elaboration du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3 Statistiques du test de validation des param`etres `a l"issue de

EM et SEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8

´Etude de l"influence des erreurs de mesures 618.1 Protocole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.2 Pr´esentation des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7

9 Application `a des donn´ees r´eelles, ´etude d"un forage 65

9.1 Pr´esentation des objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.2 Regroupement par l"algorithme EM des discontinuit´es de type

fractures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.3 Regroupement par l"algorithme EM des discontinuit´es de type

veines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.4 Regroupement des fractures tout type de discontinuit´es con-

fondus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Appendices77

A Liste des fonctions Scilab ´ecrites 77

A.1 M´elange de lois multi-normales dans le plan . . . . . . . . . .77 A.2 Loi de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 A.3 M´elange de projections normales du plan tangent sur la sph`ere unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B Fonctions ´ecrites en C++79

List of Figures

1 Conventions pour les coordonn´ees sph´eriques . . . . . . . . .14

2 Projection st´er´eographique convention normale descendante . 15

3 Diagramme de Wulff convention normale descendante . . . . 16

4 Histogramme de la densit´e de Fisher en fonction deθpour

K= 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Histogramme de la densit´e de Fisher en fonction deθpour

K= 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Repr´esentation d"un ´echantillon tir´e selon la loi de Fisher,

K= 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Repr´esentation d"un ´echantillon tir´e selon la loi de Fisher,

K= 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8 R´esultats EM m´elange de lois multi-normales avec 6 com-

posantes nettement s´epar´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9 R´esultats EM m´elange de lois multi-normales avec 6 com-

posantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10 R´esultats EM m´elange de lois multi-normales avec 6 com-

posantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

11 essai EM (Loi de Fisher) : Vecteurs normaux des plans de

fracture de l"´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

12 essai EM (Loi de Fisher) : Diagramme de Wulff de l"´echantillon 30

13 essai EM (Loi de Fisher) : Visualisation du partage en familles

des vecteurs normaux des plans de fracture . . . . . . . . . . 31 8

14 essai EM bis (Loi de Fisher) : Visualisation des vecteurs nor-

maux des plans de fracture de l"´echantillon . . . . . . . . . . 32

15 essai EM bis (Loi de Fisher) : Visualisation du diagramme

de Wulff de l"´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

16 essai EM bis (Loi de Fisher) : Visualisation du partage en

familles des vecteurs normaux des plans de fracture . . . . . . 33

17 essai EM 1 : Projection Gaussienne : visualisation de l"´echantillon

de d´epart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

18 essai EM 1 : Projection Gaussienne : Diagramme de Wulff

de l"´echantillon de d´epart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

19 essai EM 1 : Projection Gaussienne : Visualisation des familles

trouv´ees par l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

20 essai EM 1 : Projection Gaussienne : Comparaison de l"´echantillon

de d´epart avec un ´echantillon simul´e . . . . . . . . . . . . . . 36

21 essai EM 1 : Projection Gaussienne : trac´e de la log-vraisemblance

37

22 essai EM 2 : Visualisation des points de l"´echantillon . .. . . 38

23 essai EM 2 : Diagramme de Wulff de l"´echantillon . . . . . . . 39

24 essai EM 2 : Visualisation manuelle des familles pr´esentes sur

le diagramme de Wulff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

25 essai EM 2 : Visualisation des familles trouv´ees par l"algorithme 41

26 essai EM 2 : Simulation `a partir des param`etres trouv´es. . . 42

27 essai EM 2 : Simulation `a partir des param`etres trouv´es:

diagramme de Wulff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

28 essai EM 3 : Visualisation de l"´echantillon de d´epart . .. . . 44

29 essai EM 3 : Visualisation de l"´echantillon de d´epart : dia-

gramme de Wulff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

30 essai EM 3 : Visualisation des familles donn´ees par l"algorithme

: pas de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

31 Deux ensembles ayant la mˆeme distance de Hausdorff, mais

pas la mˆeme distance de Hausdorff modifi´ee . . . . . . . . . . 47

32 Histogramme des distances de Hausdorff modifi´ees : matrice

de covariances diag(0.01,0.01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

33 Histogramme des distances de Hausdorff modifi´ees : matrice

de covariances diag(0.03,0.03) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

34 Histogramme des distances de Hausdorff modifi´ees : matrice

de covariances diag(0.08,0.08) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

35 Histogramme des distances de Hausdorff modifi´ees : influence

vecteur moyen : (0,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

36 Histogramme des distances de Hausdorff modifi´ees : influence

vecteur moyen : (

2,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

37 Histogramme des distances de Hausdorff modifi´ees : influence

vecteur moyen : (

2,π3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9

38 Histogramme des valeurs des ´ecarts des quantiles :q1,0.97-

q

2,0.88, ´evaluation du risque de premi`ere esp`ece . . . . . . . . 58

39 Visualisation de la d´eformation d"une famille peu ´etendue

suivant?1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

40 Visualisation de la d´eformation d"une famille peu ´etendue

suivant?2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

41 Visualisation de la d´eformation d"une famille tr`es concentr´ee

autour d"un pˆole : diagramme de Wulff . . . . . . . . . . . . 63

42 Visualisation de la d´eformation d"une famille centr´eesur un

pˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

43 Visualisation de la d´eformation de familles `a l"´equateur : di-

agramme de Wulff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

44 Diagramme de Wulf des donn´ees r´eelles pour les disconti-

nuit´es de type fractures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

45 Diagramme de Wulf d"une simulation `a partir des param`etres

´evalu´es par EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

46 Repr´esentation du regroupement en famille par l"algorithme

EM : cas de fractures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

47 Diagramme de Wulf des donn´ees r´eelles pour les disconti-

nuit´es de type veines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

48 Diagramme de Wulf d"une simulation `a partir des param`etres

´evalu´es par EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

49 Repr´esentation du regroupement en famille par l"algorithme

EM : cas des veines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

50 Diagramme de Wulff des donn´ees r´eelles . . . . . . . . . . . . 71

51 Diagramme de Wulff d"une simulation `a partir des param`etres

´evalu´es par EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

52 Repr´esentation du regroupement en famille par l"algorithme

EM : tout type de discontinuit´es confondu . . . . . . . . . . . 72 10 Pr´esentation de l"organisme d"accueil etdu maˆıtre de stage J"ai ´et´e accueilli dans le cadre de mon stage scientifique de premi`ere ann´ee `a l"Ecole des Ponts ParisTech au laboratoire LEESU (Laboratoire Eau, Environnement et Syst`emes Urbains). C"est un laboratoire commun `a l"Universit´e Paris-Est Cr´eteil, l"Universit´e Paris-Est Marne-la-Vall´ee, Agro ParisTech et `a l"Ecole des Ponts ParisTech. Ses recherchess"organisent au- tour de trois principaux th`emes que sont le cycle de l"eau etdes contami- nants, les extrˆemes hydrologiques ainsi que les techniques multi-´echelles de mod´elisation des milieux complexes et de leur climat instationnaire, comme c"est le cas pour le milieu urbain. Ce stage a pour vis´ee la d´ecouverte du monde de la recherche par l"ex´ecution d"un travail de recherche au sein d"une ´equipe d"un laboratoire. Pour ma part, j"ai travaill´e en liaison avec mon maˆıtre de stage Olivier Fouch´e, chercheur au sein du LEESU, ´egalement maˆıtre de conf´erence de la Chaire de G´eotechnique du Conservatoire national des arts et m´etiers (CNAM), dont un des principaux sujet de recherche actuel est la mod´elisation multi-´echelles de la g´eom´etrie desmilieux discontinus et des´ecoulements dans les aquif`eres fissur´es. J"ai ´egalement beaucoup travaill´e avec Jean Diebolt, directeur de recherches au CNRS en math´ematiques ap- pliqu´ees attach´e au Laboratoire d"Analyse et de math´ematiques appliqu´ees de l"Universit´e de Marne-la-Vall´ee. J"ai donc eu acc`es `a un bureau au sein du laboratoire `a l"Ecole des Ponts ParisTech, avec un ordinateur `a ma dispo- sition. J"ai souvent travaill´e directement en contact avec Jean Diebolt, qui `a supervis´e l"avancement des travaux, essentiellement en math´ematiques, tan- dis que je m"accordais avec Olivier Fouch´e pour la partie g´eologie et sont rapport avec les math´ematiques. 11

1 Introduction1.1 ContexteCe stage a ´et´e financ´e par le projet ANCRES du programme GESSOL

(Ademe et MEDDTL). Dans le cadre du projet ANCRES, nous nous int´eressons

`a l"´etude des h´et´erog´en´eit´es et discontinuit´es duterrain naturel dans les

premiers m`etres, du sol `a la roche m`ere, voire jusqu"`a lanappe. Macro- pores dus `a l"activit´e biologique dans le sol, fissures dues `a la s´echeresse ou au gel, fractures d"origine tectonique, itin´eraires decontournement des

lentilles argileuses, toutes ces h´et´erog´en´eit´es sont des chemins pr´ef´erentiels

d"´ecoulement depuis la surface vers la nappe. En facilitant le transfert vers la profondeur, ces chemins empˆechent le mat´eriau naturelen place d"exercer sa fonction de filtration et d"´epuration. Il en r´esulte un transfert de pollu- ants vers la nappe. En terme de mesure physique des propri´et´es du terrain, leur pr´esence modifie grandement les r´esultats des essaisd"infiltration, dont les difficult´es d"interpr´etation sont alors accrues. Dansce stage, on a pris `a titre d"illustration une population de fractures tectoniques d"un massif rocheux, mesur´ees sur le terrain. Mais le sujet th´eoriqueest beaucoup plus g´en´eral. En effet, il s"agit d"´etudier un moyen de classification automatique des orientations de r´eseaux de discontinuit´e (RD) en familles, pour ensuite proc´eder `a leur simulation. Nous pouvons remarquer que puisque les ori- entations des RD sont des donn´ees vectorielles, l"´etude peut s"appliquer `a toute classification de d"orientations vectorielles en 3D.

1.2 Objectifs

En nous appuyant sur cette constatation, nous souhaitons utiliser des algo- rithmes de regroupement de points (sur une sph`ere) en familles. Le choix des points sur une sph`ere s"explique par la repr´esentation choisie pour les orientations des discontinuit´es. Nous souhaitons mettre en place un algorithme de classification des ori- entations de RD grˆace `a des algorithmes probabilistes de regroupement de points de la sph`ere unit´e repr´esentant les orientationspossibles des disconti- nuit´es. Pour cela, nous allons dans un premier temps d´efinir les conventions et les notations prises tout au long de ce rapport. Puis nous introduirons les diff´erentes lois de probabilit´es que nous avons ´etudi´espour reconnaˆıtre les familles de points. Nous pr´esenterons alors un premier algorithme de clas- sification que nous poss´edions d´ej`a et qui permet une d´ecision a posteriori du nombre de familles `a chercher dans l"´echantillon. Nouspourrons alors d´ecrire l"algorithme EM et nous illustrerons cette description de nombreux exemples afin d"en ´etudier les capacit´es et les limites. L"algorithme SEM sera d´efini et ´etudier en comparaison avec l"algorithme EM. Nous d´efinirons un crit`ere bas´e sur la distance de Hausdorff dans le but d"avoir un crit`ere de validation des param`etres estim´es par nos algorithmes. Nous souhaitons 12 alors avoir une ´etude de ce crit`ere la plus pr´ecise possible afin de contrˆoler le risque de premi`ere esp`ece et sa sensibilit´e. Nous terminerons ce rapport par une application `a la g´eologie conform´ement aux attentesdu stage. Dans ce cadre, nous ´etudierons l"influence des erreurs de mesures lors du rel`evement manuel des orientations des fractures. Enfin, nous ex´ecuterons l"algorithme EM sur un ´echantillon de donn´ees issues d"un forage. Ce sera l"occasion de mettre en pratique nos algorithmes et nos programmes sur des donn´ees r´eelles.

1.3 Langages de programmation utilis´es

Nous avons utilis´e essentiellement le logiciel Scilab, pour sa simplicit´e et la concisions de son langage de programmation. Cependant, pour certaines fonctions, le temps d"ex´ecution s"est r´ev´el´e beaucouptrop cons´equent. Nous avons donc d´ecid´es d"´ecrire quelques fonctions en C++. Le gain de temps fut alors au niveau de nos attentes.

2 Conventions et notations

2.1 Repr´esentation de l"orientation des discontinuit´es

Nous attribuons `a chaque fracture un vecteur normal unitaire. Pour qu"il y ait un unique choix possible, nous prenons la convention "normale mon- tante" (ou bien "normale descendante"). On choisit alors levecteur normal unitaire montant (ou descendant).

Dans un rep`ere orthonorm´e de r´ef´erence (O,-→ex,-→ey,-→ez), un vecteur-→uest

dit montant (resp. descendant) si-→u .-→ez>0 (resp.-→u .-→ez<0). Dans notre

´etude, le rep`ere orthonorm´e de r´ef´erence (O,-→ex,-→ey,-→ez) sera tel que l"axeOz

soit la direction de la carotte consid´er´ee.

2.2 Rep`ere et coordonn´ees choisis

Nous choisissons alors les coordonn´ees sph´eriques ainsique les coordonn´ees cart´esiennes pour repr´esenter les vecteurs normaux des discontinuit´es. Nous confondrons par la suite les vecteurs unitaires et les points sur la sph`ere unit´e, essentiellement du point de vue des coordonn´ees. Comme il y am- bigu¨ıt´e `a propos de la d´efinition des coordonn´ees sph´eriques, nous suivrons les d´efinitions habituellement utilis´ees en physique : Consid´erons un pointM?R3repr´er´e initialement dans le rep`ere cart´esien

(O,-→ex,-→ey,-→ez) par les coordonn´ees (x,y,z). Les coordonn´ees sph´eriques de

Mnot´ees (r,θ,?) associ´ees `a la base mobile (-→er,-→eθ,-→e?) sont d´efinies par :

SoientHle projet´e orthogonal deMsur le planOxy,θl"angle (-→ez,--→OM) pris moduloπet?l"angle (-→ex,--→OH) pris modulo 2π.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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