Chapitre n°6 : « Le parallélogramme »
On veut construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. On considère un parallélogramme ABCD de centre O . Il semble que les longueurs OB et ...
COMMENT DEMONTRER……………………
On sait que ABCD est un parallélogramme de centre O. Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Chapitre n°6 : « Le parallélogramme »
On veut construire le point D tel que ABCD Définition. Le centre d'un parallélogramme est à l'intersection des diagonales ... O. 35°. (échelle 1/2) ...
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
parallélogramme alors ses diagonales se rapport à un point O alors O est le milieu du segment [AA']. ... cercle circonscrit a pour centre le milieu de.
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perpendiculaires en O. b. Construire un parallelogramme EFGH de centre O dont les diagonales [EG] et [FH] ont la même longueur.
Chapitre n°8 : « Parallélogrammes particuliers »
Et la propriété qu'on a seulement pour les rectangles : • les diagonales sont de même longueur. Exemple. JHYU est un rectangle de centre G . Fais une figure à
Chapitre XII : Parallélogrammes : construction
5ème : savoir construire un parallélogramme en utilisant ses propriétés. STUV est un parallélogramme de centre O. ... Contrôle du savoir faire :.
Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si
6 nov. 2017 O. ABDC est un parallélogramme aplati. II VECTEURS ... La méthode pour construire un point M défini par une égalité vectorielle est ...
2nde Correction des exercices sur les vecteurs (1)
est le milieu de la diagonale [SU] donc ces deux vecteurs caractérisent la même translation. IV. ABCD est un parallélogramme de centre O. 1. Faire une figure à
4 triangles et droites paralèlles exercices corrections
Remarque : le fait que DEF soit un triangle équilatéral ne joue aucun rôle. EXERCICE 4 EFGH est un parallélogramme de centre O. La droite. (d) est la parallèle
Parall logramme - Cours - académie de Caen
Ce parallélogramme particulier ( les quatre points A B C et D sont alignés ) s’appelle un parallélogramme aplati Construction 1 : Soient A B et O trois points non alignés Construire les points C et D afin que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme de centre O
Parall logramme - Cours - académie de Caen
Exercice 2 : Sur ton grand cahier place 3 points AB et C non alignés et trace le parallélogramme ABCD en suivant cette méthode Méthode 3 : Construire un parallélogramme à partir de ses côtés opposés parallèles avec l’équerre et la règle Avec seulement un tuto : Construire un parallélogramme à partir de ses côtés parallèles
Fiche d’exercices n°25 : PARALLELOGRAMMES - ac-montpellierfr
a) Construire deux cercles de même centre O mais de rayon 4cm et 5cm b) Tracer un diamètre [AB] du grand cercle c) Soit la droite (d) perpendiculaire à ( AB ) passant par O Elle coupe le petit cercle en M et N d) Démontrer que le quadrilatère AMBN est un losange
5ème - Chapitre 14 : Les parallélogrammes
Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est donc le centre de symétrie du parallélogramme Dans un parallélogramme les diagonales n’ont pas toujours la même longueur et ne sont pas toujours perpendiculaires Exercice : On considère le parallélogramme dont les diagonales se
PARALLÉLOGRAMMES - maths et tiques
Méthode : Construire un parallélogramme à partir de ses côtés Vidéo https://youtu be/IhBapOhb7m4 On donne trois points A B et C Construire le parallélogramme ABCD Correction 1 On trace les côtés [AB] et [BC] 2 On construit la parallèle à la droite (AB) passant par C 3 On construit la parallèle à la droite (BC) passant par A
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5ème SOUTIEN : CONSTRUCTION DE PARALLELOGRAMME EXERCICE 1 : 1 Construire sur la figure ci-dessous les points C et D tel que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme de centre O 2 Construire le point E tel que le quadrilatère ABEC est un parallélogramme 3 Construire le point F tel que le quadrilatère ABDF est un parallélogramme
Quel est le centre d’un parallélogramme ?
Remarque importante : Le parallélogramme a donc un centre de symétrie, le point de rencontre de ses diagonales. Ce point ( O sur le dessin ci-dessus ) , milieu des deux diagonales, s’appellele centre du parallélogramme. Remarque : Considérons les points A, B , C et D ( cf. dessin ) tels que O soit milieu de [AC] et milieu de [BD] .
Comment calculer le centre d'un paralllogramme ?
Post par sanantonio312re : Centre d'un parall logramme. Si ton parall logramme a comme sommets A, B, C et D. Le centre est la milieu de [AC] (et de [BD]) Comme tu connais les coordonn es des point, celles du centre O sont: x O=(x A+x C)/2=(x B+x D)/2. y O=(y A+y C)/2=(y B+y D)/2.
Quels sont les différents types de parallélogrammes ?
Parmi les parallélogrammes particuliers on trouve les rectangles (parallélogrammes à angles droits), les losanges (parallélogrammes à côtés adjacents égaux) et les carrés (à la fois rectangles et losanges). Ainsi, selon cette classification, le carré est le quadrilatère le plus riche en propriétés.
Quel est le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme ?
Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est donc le centre de symétrie du parallélogramme. Dans un parallélogramme, les diagonales n’ont pas toujours la même longueur et ne sont pas toujours perpendiculaires.
![Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si](https://pdfprof.com/Listes/17/34825-172017-2018_seconde_vecteur.pdf.pdf.jpg)
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VECTEURS DU PLAN2nde10
INOTION DE VECTEUR
1PARALLÉLOGRAMME
DÉFINITION
Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu
A B CD OAB C D O parallélogramme aplatiPROPRIÉTÉS
Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si (AB)//(DC) et (AD)//(BC). Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.REMARQUE
Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour
conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme. A B DC Dans le quadrilatèreABCDnous avons (AB)//(CD) etAB=CD, pourtantABCDn"est pas un parallélogramme.2SENS ET DIRECTION
AB Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu"elles ont même direction. Une direction étant indiquée par la donnée d"une droite (AB), il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit deAversB, soit deBversA.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
3TRANSLATION
A M N PQ F1 B R S TU F2Le glissement qui permet d"obtenir la figureF2à partir de la figureF1peut être décrit de façon précise par
trois caractères : ladirectiondu glissement est donnée par la droite(AB); lesensdu glissement est celui deAversB;
ladistancedu glissement est égale à la longueur du segment[AB]. On dit que la figureF2est l"image de la figureF1par la translation de vecteur# »AB.REMARQUE
Les vecteur
# »NSet# »PTsont aussi des vecteurs de la translation de vecteur# »AB, on dit qu"ils sont égaux. On
note alors :# »AB=# »NS=# »PTDÉFINITION
SoientAetBdeux points du plan.
[AD] et [BC] aient le même milieu. Cette translation est la translation de vecteur# »AB.Cas général
A CD B O ABDCest un parallélogrammeCas particuler oùA,BetCsont alignésAB CD OABDCest un parallélogramme aplati
IIVECTEURS
On le note# »AB.
1ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS
Deux vecteurs sont égaux s"ils sont associés à la même translation.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
DÉFINITION
AB CD A,B,CetDsont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :# »AB=# »CDsi, et seulement si,Dest l"image du pointCpar la translation de vecteur# »AB.
# »AB=# »CDsi, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. # »AB=# »CDsi, et seulement si,ABDCest un parallélogramme.EXEMPLE:LES TROIS PARALLÉLOGRAMMES
ABCDetABEFsont deux parallélogrammes. Montrons queDCEFest un parallélogramme. A B C D EF ABCDest un parallélogramme alors,# »AB=# »DC. ABEFest un parallélogramme alors,# »AB=# »FE.Par conséquent,
# »DC=# »FEdonc le quadrilatèreDCEFest un parallélogramme.2REPRÉSENTATION D"UN VECTEUR
Devant des égalités du type# »AB=# »DC=# »FE= ···, on dit que les vecteurs# »AB,# »DC,# »FE, ... sont des
représentants du vecteur#»u:#»u=# »AB=# »DC=# »FE=···Le vecteur
# »AA=# »BB=···est appelé le vecteur nul, noté#»0.Soit O un point du plan. Pour tout vecteur#»u, il existe un un pointMunique tel que#»u=# »OM.
#»u # »OM OMA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
Si#»un"est pas le vecteur nul, les pointsOetMsont distincts. Le vecteur#»uest caractérisé par :
Sa direction : c"est celle de la droite
(OM). Son sens : c"est le sens deOversM.
Sa norme notée??#»u??: c"est la distanceOM.IIIADDITION VECTORIELLE
1SOMME DE DEUX VECTEURS
Soit trois pointsA,BetC.
Si on applique la translation de vecteur# »ABsuivie de la translation de vecteur# »BC, on obtient la translation
de vecteur# »AC. Le vecteur# »ACest la somme des vecteurs# »ABet# »BC # »AC=# »AB+# »BC AB CRELATION DECHASLES
Quels que soient les pointsA,BetCon a :
AB+# »BC=# »AC
RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME
La somme# »OA+# »OBest le vecteur# »OMtel queOAMBest un parallélogramme.CONSTRUCTION DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS
Relation de Chasles
#»u #»v#»u+#»v ABCRègle du parallélogramme
#»u #»v#»u+#»v OAB MPROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Quels que soient les vecteurs#»u,#»vet#»w#»u+#»v=#»v+#»u;#»u+#»0=#»0+#»u=#»u;?#»u+#»v?+#»w=#»u+?#»u+#»w?
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VECTEURS DU PLAN2nde10
2DIFFÉRENCE DE DEUX VECTEURS
OPPOSÉ D"UN VECTEUR
L"opposé d"un vecteur#»uest le vecteur noté?-#»u?tel que#»u+?-#»u?=#»0. #»u -#»uCONSÉQUENCE
L"opposé du vecteur# »ABest le vecteur# »BA:-# »AB=# »BA ?PREUVED"après la relation de Chasles :
# »AB+# »BA=# »AA=#»0DÉFINITION
Étant donné deux vecteurs#»uet#»vla différence#»u-#»vest le vecteur#»u+?-#»v?.
#»u #»v -#»v #»u-#»v #»u-#»v ACB MN Quels que soient les pointsA,BetC,# »BC=# »AC-# »ABIVMULTIPLICATION D"UN VECTEUR PAR UN RÉEL
1PRODUIT D"UN VECTEUR PAR UN RÉELk
#»u -23 #»u 5 4 #»uA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
DÉFINITION
Soit#»uun vecteur non nul (#»u?=#»0) etkun réel non nul (k?=0). Le produit du vecteur#»upar le réelk, noték#»uest le vecteur caractérisé par : sa direction :k#»ua la même direction que le vecteur#»u;Cas oùk>0Cas oùk<0
# »OM=k #»u # »OA= #»u OA M # »OM=k #»u # »OA=#»u OA M son sens : le vecteurk#»uale même sens que le vecteur#»u; sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale
au produit de la norme du vecteur#»upar le réelk??k#»u??=k×??#»u?? son sens : le vecteurk#»uest de sens opposé au sens du vecteur#»u; sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale
au produit de la norme du vecteur#»upar l"opposé du réelk k#»u??=-k×??#»u??Ce qui s"écrit de façon générale
?k#»u??=|k|×??#»u??et se lit :"la norme du vecteurk#»uest égale au produit de la norme du vecteur#»upar la valeur absolue du réelk»
Lorsque#»u=#»0 ouk=0, on convient quek#»u=#»0 : ainsi, l"égaliték#»u=#»0 ne peut se produire que
lorsque#»u=#»0 ouk=0.REMARQUE
SoitAetBdeux points distincts, etkun réel donné. Il existe un unique pointMdéfini par la relation# »AM=k# »AB:
Mest un point de la droite (AB)
Ma pour abscissekdans le repère (A;B) d"origineAM?[Ax)
k?0M?[AB]0?k?1M?[By)
k?1 xA By2PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Pour tous vecteurs#»uet#»vet pour tous réelsketk?: k?#»u+#»v?=k#»u+k#»v; (k+k?)#»u=k#»u+k?#»u;k#»u=#»0??k=0 ou#»u=#»03VECTEURS COLINÉAIRES
DÉFINITION
Deux vecteurs#»uet#»vsont dits colinéaires s"il existe un réelktel que#»u=k#»vou#»v=k#»u
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VECTEURS DU PLAN2nde10
REMARQUES
Comme
#»0=0#»u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.4APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
AVEC LES MILIEUX
MILIEU D"UN SEGMENT
Étant donné un segment [AB]. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieuIdu segment
[AB] :1)# »AI=# »IBou 2)# »I A+# »IB=#»0 ou 3)# »AB=2# »AI.
4) Pour tout pointMdu plan# »MA+# »MB=2# »MI.
?DÉMONSTRATION1. L"égalité
# »AI=# »IBcaractérise le milieuIdu segment [AB] (conséquence de la définition de l"égalité de
deux vecteurs).2.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??# »I A=-# »IB??# »I A+# »IB=#»0
3.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??2# »AI=# »AI+# »IB??2# »AI=# »AB
4. SiIest le milieu du segment [AB], alors pour tout pointM
MA+# »MB=?# »MI+# »I A?
+?# »MI+# »IB? =2# »MI+# »I A+# »IB? =#»0=2# »MIRéciproquement, la propriété
# »MA+# »MB=2# »MIétant vraie pour tout pointMon peut l"appliquer au pointI. Soit :# »I A+# »IB=2#»II=#»0Ce qui prouve queIest le milieu du segment [AB]
THÉORÈME
SoitABCun triangle,IetJles milieux respectifs de [AB] et [AC] alors# »BC=2#»IJ ?DÉMONSTRATION BC=# »BA+# »AC=2# »I A+2# »AJ=2?# »I A+# »AJ? =2#»IJPARALLÉLISME ET ALIGNEMENT
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires.
Trois pointsA,BetCsont alignés si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »ACsont colinéaires.
?DÉMONSTRATION Si (AB)//(CD) alors, les vecteurs# »ABet# »CDont la même direction donc ils sont colinéaires.
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VECTEURS DU PLAN2nde10
AB D CRéciproquement si les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires alors, ils ont la même direction donc
(AB)//(CD)# »ABet# »ACsont colinéaires signifie donc (AB)//(AC). Deux droites parallèles ayant un point commun
sont confondues.EXEMPLES
EXEMPLE1 :CONSTRUCTION DE POINTS
Laméthode pourconstruireunpointMdéfiniparuneégalité vectorielle estd"obtenir unerelationdu type:
OM=#»u?
origineconnue???? vecteurconnuSoit trois points non alignés A, B etC. Construirele point M défini par# »MA-3# »MB=# »AC
Choisissons par exempleAcomme "origine connue» # »MA-3# »MB=# »AC??# »MA-3?# »MA+# »AB? =# »AC # »MA-3# »MA-3# »AB=# »AC ?? -2# »MA=3# »AB+# »AC # »MA=-32# »AB-12# »AC
# »AM=32# »AB+12# »AC
Nous pouvons construire le pointM:
3 2 # »AB 12 # »AC 12 # »AC# »AM ABC MEXEMPLE2 :PARALLÉLISME,ALIGNEMENT
Montrer que des points sont aligné, ou sont sur des droites parallèles, revient à montrer que des vecteurs
sont colinéaires.Soit ABC un triangle, I le milieu de[AC], M est le symétrique de B par rapport à C et le point N est tel que# »AN=1
3# »AB . Les points M, I et N sont-ilsalignés?
1 3 # »AB ABC I NMA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 8 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
Iest le milieu du segment [AC] donc# »AI=1
2# »AC
Mest le symétrique deBpar rapport àCdoncCest le milieu du segment [BM] d"où# »MC=# »CB.
Exprimons les vecteurs
# »MIet# »INen fonction des vecteurs# »ABet# »AC: # »MI=# »MC+# »CI=# »CB-12# »AC=# »CA+# »AB-12# »AC=# »AB-32# »AC
# »IN=# »I A+# »AN=-12# »AC+13# »AB
Ainsi,
# »MI=# »AB-32# »ACet# »IN=13# »AB-12# »ACd"où# »MI=3# »IN.
Par conséquent, les vecteurs
# »MIet# »INsont colinéaires donc les pointsM,IetNsont alignés.VCOORDONNÉES
1REPÈRE DU PLAN
On appelle base tout couple??ı,???de vecteurs non colinéaires.Un repère du plan est un triplet?O;?ı,???où O est un point du plan (appelé origine du repère) et??ı,???une
base.Oxy?ı?
Repère quelconque
Oxy?ı?
IJ (OI)?(OJ)Repère orthogonalOxy?ı?
IJRepère orthonormé
(OI)?(OJ) etOI=OJ2COORDONNÉES D"UN VECTEUR
Le plan est muni d"un repère?O;?ı,???. Soit?uun vecteur.On appelle coordonnées du vecteur
ules coordonnées du pointM?x;y?dans le repère?O;?ı,???tel que# »OM=?u.On note indifféremment
u?x;y?ou?u?x y? ıO M x?ı y x ?ıy uA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 9 sur19
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VECTEURS DU PLAN2nde10
?x;y?sont les coordonnées du pointMdans le repère?O;?ı,???signifie que# »OM=x?ı+y??.
?x
y? sont les coordonnées du vecteur ?udans le repère?O;?ı,???signifie que?u=x?ı+y??.REMARQUE
Les coordonnées d"un vecteur dépendent du choix du repère.EXEMPLE
ABCDest un parallélogramme de centreO.
Dans le repère
A;# »AB,# »AC?
A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1),# »AC?11?
et# »BD?-11? ABC D O Dans le repère?
O;# »OA,# »OB?
A(1;0),B(0;1),C(-1;0),D(0;-1),# »AC?-2
0? et# »BD?0 -1? ABC D OPROPRIÉTÉS DES COORDONNÉES
Soit?O;?ı,???un repère du plan,?u?x
y? et ?v?x? y deux vecteurs : ?u=?0 équivaut àx=0 ety=0. ?u=?véquivaut àx=x?ety=y?. Le vecteur
u+?va pour coordonnées?x+x? y+y?? pour tout réelk, le vecteurk?ua pour coordonnées?kxky?3COORDONNÉES DU VECTEUR# »AB
Soit?O;?ı,???un repère du plan et deux pointsA?xA;yA?etB?xB;yB?.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] pavage symétrie centrale 5ème
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