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Pavages semi-réguliers - Université du Québec à Montréal

Un pavage qui est réalisé en effectuant seule-ment des translations à partir d’un motif d’une cellule primitive est dit pavage périodique Les rotations constituent le deuxième type de transformation Les angles de rotation sont nécessairement des diviseurs de 360° supérieurs ou égaux à 60° Ce sont les angles de 60° 90°



Introduction - LeWebPédagogique

Application de la symétrie centrale aux pavages Niveau 5ème LC 2007 2- Pavage de la feuille à l'aide du gabarit Utiliser le gabarit pour reproduire une 1ère fois le dessin sur la feuille « Canson » format A4 Le gabarit ayant fait un demi-tour le positionner comme une pièce de puzzle



SÉRIE 1 : RECONNAÎTRE

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Comment calculer Les Etapes de construction du pavage autosi-milaire ?

On a repr´esent´e dans les ?guresci-contre les premi`eres ´etapes deconstruction du pavage autosi-milaire associ´e a `la racine deX3 ?X?1 : le nombre detuiles de l’´etapeqcorrespond aunombre de d´eveloppements faible-ment propres de longueurq.

Comment construire un pavage auto-similaire ?

Nous allons commencer par construire un pavage de la droite r´eelle auto-similaire (de constante d’expansion?) `a partir d’un nombre?dont la suite deretenue est p´eriodique. D´e?nissons tout d’abord pour toute?-repr´esentation, sa?-partie enti`ere: la suite ?nie d’entiers avant la virgule,

Comment affaiblir la notion de pavage d’un espace topologique ?

Nous allons a?aiblir la notion de pavage d’un espace topologique en intro-duisant celle decouverture: pour cela, on remplace la conditionint´erieurs destuiles disjointspar la conditionles tuiles forment un recouvrement localement?ni. Nous allons nous int´eresser aux pavages et couvertures autosimilaires etr´ep´etitifs.

Comment conclure à l’existence d’un pavage ?

La nullit´e deI(Y) n’est pas su?sante pour conclure `a l’existence d’unpavage. Il est facile de construire un contrexemple, mais essayons d’ex-pliquer cela g´eom´etriquement. Nous avons vu que le graphede CayleydeHest le r´eseau cubique. Dire queI(Y) est nul signi?e que le mot?Yest un chemin ferm´e dans le graphe de Cayley deH.

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Katia Hache

Professeure certifiée de mathématiques

Sébastien Hache

Professeur certifié de mathématiques

e

NOMBRES

ET

CALCULS

N1 • Opérations sur les nombres décimaux ....3 vocabulaire des opérations / calculs sans parenthèses / calculs avec parenthèses / quotients / résolution de problèmes. N2 • Fractions .................................................10 fraction quotient / proportions / fractions égales / simplification de fractions / comparaison de fractions. N3 • Nombres relatifs ....................................20 vocabulaire / repérage sur une droite / repérage dans le plan / ordre et comparaison. N4 • Opérations sur les nombres relatifs ......27 addition / soustraction / sommes algébriques / distances sur une droite graduée / activités numériques. N5 • Calcul littéral ..........................................34 simplification d'écritures / évaluer une expression littérale / tester une égalité / produire une expression littérale / activités numériques.

GRANDEURS ET MESURES

ESPACE ET GÉOMÉTRIE

G1 • Symétrie centrale ..................................41 reconnaitre des points ou figures symétriques / constructions / symétrie axiale et symétrie centrale / propriétés / centre de symétrie / une belle figure / activités numériques. G2 • Position relative de droites ..................57 parallèles et perpendiculaires / angles et parallélisme / médiatrice d'un segment / activités numériques. G3 • Triangles .................................................67 inégalité triangulaire / somme des angles d'un triangle / cas d'égalité de triangles / constructions / hauteurs et aire d'un triangle / activités numériques. G4 • Parallélogrammes ..................................83 . Parallélogrammes : propriétés / démonstrations / constructions. . Rectangles, losanges, carrés : propriétés / démonstrations / constructions. . Activités numériques. G5 • Espace......................................................98 vocabulaire / représentations de solides / sections de solides / aires et volumes / activités numériques.

ORGANISATION ET GESTION DE DONNÉES

FONCTIONS

D1 • Proportionnalité ..................................108 grandeurs proportionnelles / pourcentages / échelles. D2 • Statistiques ..........................................114 fréquence / calculs d'effectifs et de fréquences / moyenne arithmétique / médiane / activités numériques. D3 • Probabilités ..........................................122 vocabulaire / calculs de probabilités.

ALGORITHMIQUE

ET

PROGRAMMATION

Algorithmique et programmation ..............125

déplacement / chiffrement / programmes de calcul / instructions conditionnelles. iParcours MATHS 5 e

FICHE 1 : VOCABULAIRE DES OPÉRATIONS

1 Entoure en bleu les facteurs, en rouge les termes, en vert les produits, en jaune les sommes, et en

gris les différences.

11 24

ʝ 13

14 ŷ 5,9 19,94,5 ŷ 1,5 ŷ 1 7

5 4 203,7 ʝ 1,4 2,3

2 2,5 5 253,9 ʝ 3,9 0

225 94 ŷ 1313 15 5

0,5 0,1 5

2 Dans chaque cas ci-dessous, on considère deux nombres. Calcule leur somme A, leur différence B,

leur produit C et leur quotient D. Classe les résultats A, B, C et D dans l'ordre croissant. a.Les deux nombres sont 9 et 3. b.Les deux nombres sont 7 et 0,1.

3 Donne un ordre de grandeur...

a.du produit de 99,7 par 34,01 ; b.du quotient de 100,07 par 4,98 ; c.de la somme de 99997,7001 et 998,65 ; d.de la différence de 47 et 0,00076.

4 Choisis deux nombres parmi 15 ; 0,3 ; 13 et

123 pour obtenir...

a.la différence la plus petite ; b.le quotient le plus grand.

5 Chaque résultat d'un calcul correspond à une

lettre que tu peux trouver grâce au tableau ci- dessous.

AQEORUST IN

12345678910

Détermine chaque lettre du mot, puis remets-les dans le bon ordre pour trouver le mot mystère. le produit de quatre par deux la différence de cinq et trois la somme de deux et demi et zéro et demi le produit de deux par lui-même le quotient de soixante-douze par neuf la différence de douze et deux le quotient de six par un la somme de trois et du double de trois Le mot mystère est : ..............................................

Nombres et calculs3

OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES DÉCIMAUX • N1 F

ICHE 2 : CALCULS SANS PARENTHÈSES (1)

1 Entoure le signe opératoire de l'opération prioritaire. (Il peut y en avoir plusieurs.)

a.252 ŷ 21 41 b.6,3

ʝ 2,1 7c.3 ŷ 0,3 0,3

ʝ 3

d.2 2

ʝ 2 2 e.17

ʝ 15 3 ŷ 1

f.50 ŷ 3 ŷ 2 10g.0,204 99 ʝ 5,4 h.9 ŷ 12 11 8

2 Calcule mentalement.

a.16 2

ʝ 22 ...........

b.40

ʝ 12 6 ...........

c.17 ʝ 5 3 .............d.56 7 ŷ 5 ............ e.8 ŷ 8 7 .............. f.9 ʝ 49 7 .............g.45

ʝ 6 6 .............

h.12 6 4 ............ i.7 0 ŷ 4 ...............j.21 7 5 ............. k.50

ʝ 40 ʝ 10 ..........

l.17

ʝ 17 0 ............

3 Effectue les calculs suivants, en soulignant le calcul en cours.

A 14

ʝ 5 ŷ 3

A .......................

A .......................

B 14 ŷ 5

ʝ 3

B .......................

B .......................C 14 ŷ 5 ŷ 3

C .......................

C .......................

D 24 ŷ 19 ʝ 5

D ......................

D ......................E 24

ʝ 19 ʝ 5

E .......................

E .......................

F

3 2 11

F F .......................G 2 4 4

G ......................

G ......................

H 15 4 3

H ......................

H ......................I 45 5 8

I ........................

I ........................

J 20 5 4

J ........................

J ........................

4 Effectue les calculs suivants, en soulignant le(s) calcul(s) en cours.

K 24 ŷ 3 7

K ...............................

K ...............................

L 15 5

ʝ 2

L ...............................

L ...............................M 720 9 ŷ 4

M ..............................

M ..............................

N 20 ʝ 0,1 38

N ...............................

N ...............................P 60

ʝ 14 ŷ 5 3 ŷ 2

P ...............................

P ...............................

P ...............................

P ...............................R 8 3 ʝ 5 4 0,2

R ...............................

R ...............................

R ...............................

R ...............................

5 Complète avec les signes ŷ, ʝ, ou pour que les égalités soient vraies.

a.16 ..... 8 ..... 2 1 b.16 ..... 8 ..... 2 4c.16 ..... 8 ..... 2 12 d.16 ..... 8 ..... 2 0e.16 ..... 8 ..... 2 26 f.16 ..... 8 ..... 2 6g.16 ..... 8 ..... 2 32 h.16 ..... 8 ..... 2 130

6 Complète le tableau suivant.

abca ŷ bcbŷaccŷab 111
235

10 0 1

0,1 2 3

749
0970

7 Complète avec 1 , 4 , 6 ou 8 .

a....... ...... ...... 24 b....... ...... ŷ ...... 12 c....... ŷ ...... ...... 14 d....... ŷ ...... ...... 32 e.......

ʝ ...... ...... 4

f.......

ʝ ...... ŷ ...... 13

g....... ...... ...... 2

Nombres et calculs4

OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES DÉCIMAUX • N1 F

ICHE 3 : CALCULS SANS PARENTHÈSES (2)

1 Observe, puis calcule astucieusement les

expressions suivantes. a.1 ŷ 4 10 25 0,7 b.97 ŷ 9 5 ŷ 73 ŷ18 6 ŷ 3 9 ŷ 55 c.0,43 0,93

ʝ 0,43 0,93

d.115

ʝ 15 0,5 20 0,2

2 Complète le diagramme ci-dessous avec des

nombres et symboles qui conviennent.

Écris ci-dessous le calcul correspondant.

3 Complète le diagramme correspondant au

calcul : 25 4

ʝ 20 0,01.

4 On considère l'égalité : ... ŷ ... ... 39.

Indique toutes les possibilités, en remplissant les pointillés avec des nombres entiers de 2 à 9.

5 Donne un ordre de grandeur du résultat de

chacun des calculs ci-dessous. a.0,97 ŷ 4,07 69,9 b.10 000

ʝ 9 977 50

c.1,03 17,99

ʝ 503 51

d.98 ŷ 49,01 50,212

ʝ 997

6 Complète la grille ci-dessous.

1. 2. 3. 4. 5.

a. b. c. d. e.

Verticalement :

1. Le quotient de deux-cent-soixante-dix-sept-

mille-six-cent-vingt-sept par dix-sept.

2. Le produit de 12 par lui-même.

3. 3 ŷ 12 3 ŷ 3 5

4. Le double du double de 11. La moitié de la

moitié de 232.

5. 177 29 8 2

Horizontalement :

a. Le produit de huit-cent-cinquante-quatre par vingt-trois. d. 573 362 6

ʝ 3 6

Nombres et calculs5

8888
8888
8888
97
8888
63...
38
OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES DÉCIMAUX • N1 F

ICHE 4 : CALCULS AVEC PARENTHÈSES (1)

1 Entoure le signe opératoire de l'opération prioritaire. (Il peut y en avoir plusieurs.)

a.(6,2

ʝ 0,1) 10

b.238

ʝ 4 (13 ŷ 27)c.5 ŷ (2,8 ŷ 6 1,2)

d.34 ʝ (104 52 6)e.90

ʝ (2 7 ʝ 7) 6

f.9 3 ŷ (15

ʝ 6 3)g.(84

ʝ 1) (5 ŷ 0,4)

h.3 [(1 ŷ 2) 4

ʝ 2]

2 Effectue les calculs suivants, en soulignant le calcul en cours.

S 25

ʝ (8 ʝ 3) ŷ 1

S .............................................

S .............................................

S .............................................

T 25

ʝ 8 ʝ (3 ŷ 1)

T .............................................

T .............................................

T .............................................U 25

ʝ (8 ʝ 3 ŷ 1)

U .............................................

U .............................................

U .............................................

V 18

ʝ [4 (5 ʝ 3) ŷ 2]

V .............................................

V .............................................

V .............................................

V .............................................W 24 [8

ʝ (3 ŷ 1)]

W ............................................

W ............................................

W ............................................

X [2 ŷ 0,1 (5 ŷ 3)] 4

X .............................................

X .............................................

X .............................................

X .............................................

3 Observe, puis calcule astucieusement les

expressions suivantes. a.(52 321

ʝ 18 25) (2 31 ʝ 62)

b.(78 ŷ 7 27) (78 ŷ 7 27) c.0,4 0,27 250

4 Dans chacun des cadres ci-dessous, il y a un

intrus. Retrouve-le ! a.

3 (3 ŷ 4)

3 3 ŷ 4 3

7 ŷ 2 7

(3 ŷ 6

ʝ 5) 6

3 (5 ŷ 3)

ʝ 3

b.

2,5 ŷ 1 2

(8,5 ŷ 0,5) 3 12 3

ʝ 1

9 (2,5 ŷ 0,5)

5

ʝ 8 2

5 Avec la calculatrice, calcule les expressions

suivantes, sans noter les résultats intermédiaires. a.43,21 ʝ 17,03 ŷ 132,11 ʝ 61,45 ..................... b.3,15 5,2 2,5 ............................................ c.6,21 3 ŷ 4,01 1,5 .................................... d.54,2 ʝ (8,72 ʝ 5,21) ........................................ e.7,2 (15,7 ŷ 0,51) 3,5 ............................... f.[(19,01 ʝ 7,5) 2 ʝ 13,02] 2,3 .....................

6 Complète le tableau suivant.

abc(a ŷ b)caŷbca (b ŷ c) 2016

12 8 5

3,6 2,9 10

4,8 9 0

7 Complète avec 2 , 3 , 5 ou 9 .

a.......

ʝ ...... ...... 3

b....... ŷ ...... ...... 5 c....... ŷ ...... ...... 13 d.(...... ŷ ......) ...... 7 e.(...... ŷ ......) (......

ʝ ......) 22

Nombres et calculs6

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