Nouveaux records de factorisation et de calcul de logarithme discret
Cet article décrit deux nouveaux records établis fin 2019 : un record de factorisation d'entier avec la factorisa- tion du nombre RSA-240 et un record de
Nouveaux records de factorisation et de calcul de logarithme discret
8 déc. 2020 — La factorisation d'entier avec l'algorithme NFS comprend les étapes suivantes : sélection poly- nomiale collecte de relations
Exercices de 3ème – Chapitre 2 – Calcul littéral Énoncés Exercice 1
Factoriser (2 x?3)2?4 . 3. En déduire une factorisation de 4 x2?12 x+5 . Exercice 20. On a A = (
Calcul mathématique avec Sage
9 juil. 2014 et parfois factoriser des expressions contenant des variables. ... La première étape pour mener un calcul dans une structure algébrique R ...
GEOGEBRA ET LE CALCUL FORMEL.
Mais la factorisation n'est pas possible avec le logiciel. Seule la résolution de l'équation est possible. *Pour la dernière question les élèves peuvent
Utiliser le calcul littéral
tâtonnements en ayant recours à des étapes intermédiaires avec ou sans l'aide Le travail technique de développement ou de factorisation est accompagné ...
A B C D E F 1 2 3 4 5 6
EXERCICE no XIXGENFRASV — Un programme de calcul et une conjecture. France 2019 — Série générale Étape 4 : Multiplier les résultats des étapes 2 et 3;.
1 Méthode de Gauss et factorisation LU
l'algorithme de Gauss avec pivot partiel) puis résoudre le système (1) en utilisant (b) Pour trouver la factorisation LU de A on reprend les étapes de ...
Algorithmes pour la factorisation dentiers et le calcul de logarithme
26 févr. 2016 4.5 Calcul de logarithme discret dans F2809 avec FFS . ... une étape commune à l'algorithme NFS pour la factorisation et aux algorithmes ...
1.3 Les méthodes directes
l'étape de “descente" et le calcul de x l'étape de “remontée". Donnons les détails de ces trois étapes. Etape de factorisation et descente Pour passer de
1 FACTORISATIONS - maths et tiques
Factorisation : Lecture « droite gauche » de la formule de distributivité ! Définition : Factoriser une expression c’est transformer une somme ou une différence en produit Dans la pratique factoriser c’est mettre en facteur en gagnant des parenthèses dans une expression Méthode : Appliquer la distributivité pour le calcul mental
FACTORISATIONS - maths et tiques
1) Factoriser avec un facteur commun Méthode : Factoriser une expression (1) Vidéo https://youtu be/r3AzqvgLcI8 Pour factoriser il faut trouver dans l’expression un facteur commun Trouver le facteur commun de ces expressions puis factoriser et réduire si possible: A = 35x – 42x + 21x C = 4x – 4y + 8 E = 3t + 9u + 3
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Les trois méthodes de factorisation qu’il faut connaître sont : la mise en évidence les produits (identités) remarquables et le groupement de termes A La mise en évidence Rappelons la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction : a b c ab ac? + = ? + ?( )
Factorisation en Ligne en recherchant Les Facteurs Communs
La fonction factoriser est en mesure de reconnaitre les facteurs communs d'une expression algébrique : 1. Ces facteurs communs peuvent être des nombres, ainsi la factorisation de l'expression 3x+3, factoriser(3x+3), renverra 3(1+x) 2. Ces facteurs communs peuvent être des lettres, ainsi la factorisation de l'expression ax+bx, factoriser(ax+bx), ret...
Factorisation en utilisant Les Identités Remarquables
La fonction factoriser est en mesure de reconnaitre les identités remarquables usuelles et de les utiliser pour factoriser des expressions algébriques 1. l'identité remarquable suivante a2+b2+2ab=(a+b)2 est par exemple utilisée pour factoriser l'expression 1+2x+x2, le résultat renvoyé par la fonction est (1+x)2 2. l'identité remarquable suivante a2...
Factorisation en Ligne Des Polynômes Du Second degré.
La fonction factoriser est en mesure de reconnaitre les polynomes du second degré et de les factoriser quand cela est possible 1. Ainsi, la fonction permet de factoriser en ligne le polynôme du second degré suivant -6-x+x2, le résultat renvoyé par la fonction est l'expression factorisée (2+x)?(-3+x) 2. Par exemple en saisissant factoriser(-12+x2+x2...
Factorisation de Fraction
La fonction factoriser est en mesure de factoriser des fractions algébriques: 1. Ainsi, la fonction permet de factoriser la fraction suivante x+2?a?xb, le résultat renvoyé par la fonction est l'expression factorisée x?(1+2?a)b 2. Par exemple en saisissant factoriser(-12+x2+x2b), la fonction retournera la factorisation en ligne de la fraction, c'est...
Quels sont les trois méthodes de factorisation?
Les trois méthodes de factorisation qu’il faut connaître sont : la mise en évidence, les produits (identités) remarquables et le groupement de termes. A. La mise en évidence Rappelons la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction :
Qu'est-ce que la fonction factoriser ?
La fonction retourne alors la forme factorisée de l'expression algébrique placée en paramètre. La fonction factoriser est en mesure de reconnaitre les facteurs communs d'une expression algébrique : Ces facteurs communs peuvent être des nombres, ainsi la factorisation de l'expression 3 x + 3, factoriser ( 3 x + 3), renverra 3 ( 1 + x)
Comment calculer la forme factorisée ?
Pour obtenir la forme factorisée de la fraction suivante - 21 + 4 ? x + x 2 1 + 2 ? x + x 2, il suffit de saisir factoriser ( - 21 + 4 ? x + x 2 1 + 2 ? x + x 2), la fonction retournera alors la factorisation de la fraction des polynômes du 2nd degré ( 7 + x) ? ( - 3 + x) ( 1 + x) 2
Comment calculer la forme factorisée d'un polynôme ?
Pour obtenir la forme factorisée du polynôme suivant - 21 + 4 ? x + x 2, il suffit de saisir factoriser ( - 21 + 4 ? x + x 2), la fonction retournera alors la factorisation du polynôme du 2nd degré ( 7 + x) ? ( - 3 + x) La fonction factoriser est en mesure de factoriser des fractions algébriques :
![1 Méthode de Gauss et factorisation LU 1 Méthode de Gauss et factorisation LU](https://pdfprof.com/Listes/18/3517-18TD6_corrige.pdf.pdf.jpg)
Sup"GaliléeAnnée 2020/2021
MACS1Analyse numérique - TD6 & TD 7 - Corrigé
Méthodes directes pour la résolution des systèmes linéaires1Méthode de Gauss et factorisationLU
Exercice 1 : un exemple
Soient;;
PR. On considère le système linéaire suivant d"inconnuesx1;x2;x3: %x12x23x3
2x16x25x3
x12x27x3
(1) 1. Écrire le système (1)sous la formeAxxxbbb, avecAPM3pRq,xxxPR3;etbbbPR3, que l"on explicitera. 2. Est-ce que le système (1)admet une unique solution pour tout;; PR? 3.Montrer que Aadmet une unique factorisationLU.
Dans la suite on choisit1, 1et
2et on va résoudre le systèmeAxxxbbbde plusieurs façons :
(a) Résoudre le système (1)par l"algorithme de Gauss sans pivot. (b) Calculer l afacto risationLUdeApuis résoudre le système(1)en utilisant cette factorisationLU. (c) Résoudre le système (1)par l"algorithme de Gauss avec pivot partiel. (d)Calculer la facto risation
LUdePA(oùPest la matrice produit des matrices de permutations effectuées dansl"algorithme de Gauss avec pivot partiel), puis résoudre le système(1)en utilisant cette factorisation.
Correction1. On a
A 1 23 2 65 12 7 ; xxx x 1 x 2 x 3 ; bbb Aetbbbétant les données, etxxxPR3le vecteur inconnu.2. On calculedetpAq 240doncAest inversible. Le système admet donc une unique solution :xxxA1bbb, Pour tout
b bbPR3, c"est-à-dire pour tout;; PR.3. On choisit1, 1et
2. Vérifions queAadmet une unique factorisationLU. D"après le cours (ou l"exercice 3
ci-dessous), une condition suffisante est que les sous matrices principales deAsont inversibles. Ceci est bien le cas car :
detp1q detp1q 10,detp2q det1 2 2 620, etdetp3q detpAq 0.
3. (a) Le fait queAadmet une (unique) factorisationLUrevient à dire que l"on peut effectuer l"algorithme de Gauss sans
pivot. On regroupeAetbbb(en ajoutantbbbà droite deA) : 1 231 2 651 12 72 L2ÐL22L1
L3ÐL3L1
1 2310 2 13
04 101
L3ÐL32L2
1 2310 2 13
0 0 125
A p0qAbbbp0qbbbAp1qbbbp1qAp2qbbbp2qEn posantUAp2qetcccbbbp2qon est ramené à résoudre le système triangulaire supérieurUxxxccc, que l"on résout par
remontée : %12x3 5ñpermet de calculerx3:x3 5122x2x3 3ñpermet de calculerx2connaissantx3:x2 3124
x12x23x31ñpermet de calculerx1connaissantx2;x3:x173
1 (b) Pour trouver la factorisationLUdeAon reprend les étapes de l"algorithme de Gauss : 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooonAAp0qÝÑ
L2ÐL2222L1
L3ÐL3111L1
1 23 0 2 1 04 10 loooooooooomoooooooooon A p1q 1 0 0 2 1 0 1 0 1 loooooooomoooooooon E p1q 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon A p0q L3ÐL3p222qL2
1 23 0 2 10 0 12
loooooooomoooooooon A p2q 1 0 0 0 1 0 0 2 1 looooooomooooooon E p2q 1 23 0 2 1 04 10 loooooooooomoooooooooon A p1qNotons queEp1qest inversible, etpEp1qq1
1 0 0 2 1 0 1 0 1 . De même,Ep2qest inversible, etpEp2qq1 1 0 0 0 1 0 02 1 Ainsi, à la fin de la 1ère étape de la méthode de Gauss on a : A p1qEp1qA; et à la fin de la 2ème étape on obtient : U defAp2qEp2qAp1qEp2qEp1qA:De l"égalité ci-dessus, on a
E p2qEp1qAUðñA pEp2qEp1qq1UðñA
pEp1qq1pEp2qq1 UðñALU
avecLdef pEp1qq1pEp2qq1 1 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 02 1 1 0 0 2 1 0 12 1Notons que pour obtenirLil suffit de partir de la matrice identitéIpuis de recopier dans cette matrice, en les changeant de
signe, les coefficients utilisés à chaque opération élémentaire 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 221 01
112221
I L pEp1qq1pEp2qq1
Si l"on souhaite directement trouver la factorisationLUdeAsans passer par les étapes de l"algorithme de Gauss, alors on
chercheL 1 0 0 211 031`321
etU u11u12u13
0u22u23
0 0u33
telles queLUA. Identifions les coefficients ligne par ligne : Étape 1 : identification de la première ligne deLUA: u11a111; u12a122; u13a13 3:
Étape 2 : identification de la deuxième ligne deLUA:21u11a212ñ`212;
21u12u22a226ñu222;
21u13u23a23 5ñu231:
Étape 2 : identification de la troisième ligne deLUA:31u11a311ñ`311;
31u12`32u22a32 2ñ`32 2;
31u13`32u23u33a337ñu3312:
2C"est cette méthode que l"on généralisera ci-dessous, dans l"exercice 2, pour écrire l"algorithme de calcul de la factorisationLU
d"une matriceAde dimension quelconque. Utilisons maintenant cette factorisationLUpour résoudre le systèmeAxxxbbb. On aAxxxbbbðñLUxxxbbb
ðñLyyybbbpuisUxxxyyy
On résout par descenteLyyybbbet on trouveyyy p1;3;5qt(notons queyyycccde la question (a)). Puis on résoutUxxxyyy
par remontée, et on trouvexxx p73 ;3124 ;512 qt.(c) Effectuons maintenant l"algorithme de Gauss avec pivot partiel. On commence par chercher dans la colonne 1 le plus grand
nombre en valeur absolue : ici 2 (à la 2ème ligne) et on permute la 2ème ligne avec la 1ère :
1 231 2 651 12 72 L2ØL1
2 651 1 231 12 72 Ensuite on effectue la 1ère étape de la méthode de Gauss : 2 651 1 231 12 72 L2ÐL212
12 12 L1 L3ÐL312
12 12 L1 2 651 011232
051925
2On cherche maintenant dans la colonne 2 à partir de la ligne 2 le plus grand nombre en valeur absolue : ici -5 (à la 3ème
ligne) et on permute la 3ème ligne avec la 2ème : 2 651 011232
051925
2 L3ØL2
2 651051925
2 011232 Puis on effectue la 2ème (et dernière) étape de la méthode de Gauss : 2 651
051925
2 011232 L
3ÐL315
15 15 L2 2 651051925
20 01251
En posant
U 2 65 051920 0125
etccc 1 521 on est ramené à résoudre le système triangulaire supérieurUxxxccc, que l"on résout par remontée. On retrouve alorsxxx p73 ;3124 ;512 qt. (d) Pour trouver la factorisation LUdePAon reprend les étapes de l"algorithme de Gauss avec pivot partiel : 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon
AAp0qÝÑ
L2ØL1
2 65 1 23 12 7 loooooooooomoooooooooon P 1A 0 1 0 1 0 0 0 0 1 looooooomooooooon P 1 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon A p0q L2ÐL212
12 12 L1 L3ÐL312
12 12 L1 2 65 011205192
loooooooooomoooooooooon A p1q 1 0 0 12 1 0 12 0 1 looooooooomooooooooon Ep1q 2 65 1 23 12 7 loooooooooomoooooooooon P 1Ap0q L
3ØL2
2 65 051920112
loooooooooomoooooooooon P 2Ap1q 1 0 0 0 0 1 0 1 0 looooooomooooooon P 2 2 65 0112
05192
loooooooooomoooooooooon A p1q L
3ÐL3p15
15 15 q L2 2 65 051920 0125
looooooooooomooooooooooon A p2q 1 0 0 0 1 0 015 1 looooooooomooooooooon Ep2q 2 65 051920112
loooooooooomoooooooooon P 2Ap1q 3
Notons que
Ep1qest inversible, etpEp1qq1
1 0 0 12 1 0 12 0 1 . De même,Ep2qest inversible, etpEp2qq1 1 0 0 0 1 0 0 15 1 Ainsi, à la fin de la 1ère étape de la méthode de Gauss on a : A p1qEp1qP1A; et à la fin de la 2ème étape on obtient :UdefAp2qEp2qP2Ap1qEp2qP2Ep1qP1A
U pEp2qEp1qqpP2P1qA(carP2etEp1qcommutent)
De l"égalité ci-dessus, on a
pEp2qEp1qqpP2P1qAUðñ pP2P1qA pEp2qEp1qq1U
ðñ pP2P1qA
pEp1qq1pEp2qq1UðñPALU
avecPP2P1etLdef pEp1qq1pEp2qq1 1 0 0 12 1 0 12 0 1 1 0 0 0 1 0 0 15 1 1 0 0 12 1 0 12 15 1 Notons que pour obtenirLetPil suffit de partir de la matrice identitéIpuis : p ourobteni rL: de recopier dansI, en les changeant de signe, les coefficients utilisés à chaque opération élémentaire :
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 12 12 12 1 0 12 12 12 15 15 15 1 I L p ourobtenir P: de faire, à partir deI, chaque permutation élémentaire : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L2ØL1
0 1 0 1 0 0 0 0 1 L3ØL2
0 1 0 0 0 1 1 0 0 I P1PP2P1
on a alorsPALU.Utilisons maintenant cette factorisationPALUpour résoudre le systèmeAxxxbbb. On a, puisquePest inversible
LyyyPbbbpuisUxxxyyy
On résout par descente
LyyyPbbbet on trouveyyy p1;52
;1qt(notons queyyycccde la question (c)). Puis on résoutUxxxyyy par remontée, et on trouvexxx p73 ;3124 ;512 qt.Exercice 2 : généralités
SoitAPMnpRqune matrice inversible admettant une factorisationLUoùLest une matrice triangulaire inférieure à diagonale
unité etUest une matrice triangulaire supérieure. 1. Montrer que si la facto risationLUexiste alors elle est unique. 2. Décrire une métho dep ermettantde ca lculerexplicitement les co efficientsdes m atricesLetU. 3.( algo) Ecrire une fonctionFactLUpermettant de calculer les matricesLetU. Quel est le coût de cette méthode?
(on évaluera le nombre d"opérations élémentaires) 4.Soit APMnpRqune matrice inversible. Est-il toujours possible de décomposerAsous la formeALUoùLest une
matrice triangulaire inférieure à diagonale unité etUest une matrice triangulaire supérieure?
45.(algo)SoitAPMnpRqune matrice inversible admettant une factorisationLU. Expliquer comment résoudre le système
Axben utilisant cette factorisation et écrire l"algorithme (fonctionResFactLU) correspondant. Calculer le coût de
cet algorithme.Correction1. Supposons que la matriceAPMnpRqvérifie
AL1U1L2U2;(2)
où -U1PMnpRqetU2PMnpRqsont des matrices triangulaires supérieures,-L1PMnpRqetL2PMnpRqsont des matrices triangulaires inférieures à diagonale unité (leurs coefficients diagonaux
sont tous égaux à1). Nous allons montrer queL1L2etU1U2. CommeAest inversible, alors detpAq detpL1U1q detpL1qdetpU1q 0:Cela signifie donc que detpL1q 0et detpU1q 0, autrement dit que les matricesL1etU1sont inversibles (on savait déjà
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