[PDF] 1 Méthode de Gauss et factorisation LU





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1 Méthode de Gauss et factorisation LU

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Quels sont les trois méthodes de factorisation?

Les trois méthodes de factorisation qu’il faut connaître sont : la mise en évidence, les produits (identités) remarquables et le groupement de termes. A. La mise en évidence Rappelons la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction :

Qu'est-ce que la fonction factoriser ?

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Comment calculer la forme factorisée ?

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Comment calculer la forme factorisée d'un polynôme ?

Pour obtenir la forme factorisée du polynôme suivant - 21 + 4 ? x + x 2, il suffit de saisir factoriser ( - 21 + 4 ? x + x 2), la fonction retournera alors la factorisation du polynôme du 2nd degré ( 7 + x) ? ( - 3 + x) La fonction factoriser est en mesure de factoriser des fractions algébriques :

1 Méthode de Gauss et factorisation LU

Sup"GaliléeAnnée 2020/2021

MACS1

Analyse numérique - TD6 & TD 7 - Corrigé

Méthodes directes pour la résolution des systèmes linéaires1Méthode de Gauss et factorisationLU

Exercice 1 : un exemple

Soient;;

PR. On considère le système linéaire suivant d"inconnuesx1;x2;x3: %x

12x23x3

2x16x25x3

x

12x27x3

(1) 1. Écrire le système (1)sous la formeAxxxbbb, avecAPM3pRq,xxxPR3;etbbbPR3, que l"on explicitera. 2. Est-ce que le système (1)admet une unique solution pour tout;; PR? 3.

Montrer que Aadmet une unique factorisationLU.

Dans la suite on choisit1, 1et

2et on va résoudre le systèmeAxxxbbbde plusieurs façons :

(a) Résoudre le système (1)par l"algorithme de Gauss sans pivot. (b) Calculer l afacto risationLUdeApuis résoudre le système(1)en utilisant cette factorisationLU. (c) Résoudre le système (1)par l"algorithme de Gauss avec pivot partiel. (d)

Calculer la facto risation

LUdePA(oùPest la matrice produit des matrices de permutations effectuées dans

l"algorithme de Gauss avec pivot partiel), puis résoudre le système(1)en utilisant cette factorisation.

Correction1. On a

A 1 23 2 65 12 7 ; xxx x 1 x 2 x 3 ; bbb Aetbbbétant les données, etxxxPR3le vecteur inconnu.

2. On calculedetpAq 240doncAest inversible. Le système admet donc une unique solution :xxxA1bbb, Pour tout

b bbPR3, c"est-à-dire pour tout;; PR.

3. On choisit1, 1et

2. Vérifions queAadmet une unique factorisationLU. D"après le cours (ou l"exercice 3

ci-dessous), une condition suffisante est que les sous matrices principales deAsont inversibles. Ceci est bien le cas car :

detp1q detp1q 10,detp2q det1 2 2 6

20, etdetp3q detpAq 0.

3. (a) Le fait queAadmet une (unique) factorisationLUrevient à dire que l"on peut effectuer l"algorithme de Gauss sans

pivot. On regroupeAetbbb(en ajoutantbbbà droite deA) : 1 231 2 651 12 72 L

2ÐL22L1

L

3ÐL3L1

1 231

0 2 13

04 101

L

3ÐL32L2

1 231

0 2 13

0 0 125

A p0qAbbbp0qbbbAp1qbbbp1qAp2qbbbp2q

En posantUAp2qetcccbbbp2qon est ramené à résoudre le système triangulaire supérieurUxxxccc, que l"on résout par

remontée : %12x3 5ñpermet de calculerx3:x3 512

2x2x3 3ñpermet de calculerx2connaissantx3:x2 3124

x

12x23x31ñpermet de calculerx1connaissantx2;x3:x173

1 (b) Pour trouver la factorisationLUdeAon reprend les étapes de l"algorithme de Gauss : 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon

AAp0qÝÑ

L

2ÐL2222L1

L

3ÐL3111L1

1 23 0 2 1 04 10 loooooooooomoooooooooon A p1q 1 0 0 2 1 0 1 0 1 loooooooomoooooooon E p1q 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon A p0q L

3ÐL3p222qL2

1 23 0 2 1

0 0 12

loooooooomoooooooon A p2q 1 0 0 0 1 0 0 2 1 looooooomooooooon E p2q 1 23 0 2 1 04 10 loooooooooomoooooooooon A p1q

Notons queEp1qest inversible, etpEp1qq1

1 0 0 2 1 0 1 0 1 . De même,Ep2qest inversible, etpEp2qq1 1 0 0 0 1 0 02 1 Ainsi, à la fin de la 1ère étape de la méthode de Gauss on a : A p1qEp1qA; et à la fin de la 2ème étape on obtient : U defAp2qEp2qAp1qEp2qEp1qA:

De l"égalité ci-dessus, on a

E p2qEp1qAUðñA pEp2qEp1qq1U

ðñA

pEp1qq1pEp2qq1 U

ðñALU

avecLdef pEp1qq1pEp2qq1 1 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 02 1 1 0 0 2 1 0 12 1

Notons que pour obtenirLil suffit de partir de la matrice identitéIpuis de recopier dans cette matrice, en les changeant de

signe, les coefficients utilisés à chaque opération élémentaire 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 221 0
1

112221

I L pEp1qq1pEp2qq1

Si l"on souhaite directement trouver la factorisationLUdeAsans passer par les étapes de l"algorithme de Gauss, alors on

chercheL 1 0 0 211 0

31`321

etU u

11u12u13

0u22u23

0 0u33

telles queLUA. Identifions les coefficients ligne par ligne : Étape 1 : identification de la première ligne deLUA: u

11a111; u12a122; u13a13 3:

Étape 2 : identification de la deuxième ligne deLUA:

21u11a212ñ`212;

21u12u22a226ñu222;

21u13u23a23 5ñu231:

Étape 2 : identification de la troisième ligne deLUA:

31u11a311ñ`311;

31u12`32u22a32 2ñ`32 2;

31u13`32u23u33a337ñu3312:

2

C"est cette méthode que l"on généralisera ci-dessous, dans l"exercice 2, pour écrire l"algorithme de calcul de la factorisationLU

d"une matriceAde dimension quelconque. Utilisons maintenant cette factorisationLUpour résoudre le systèmeAxxxbbb. On a

AxxxbbbðñLUxxxbbb

ðñLyyybbbpuisUxxxyyy

On résout par descenteLyyybbbet on trouveyyy p1;3;5qt(notons queyyycccde la question (a)). Puis on résoutUxxxyyy

par remontée, et on trouvexxx p73 ;3124 ;512 qt.

(c) Effectuons maintenant l"algorithme de Gauss avec pivot partiel. On commence par chercher dans la colonne 1 le plus grand

nombre en valeur absolue : ici 2 (à la 2ème ligne) et on permute la 2ème ligne avec la 1ère :

1 231 2 651 12 72 L

2ØL1

2 651 1 231 12 72 Ensuite on effectue la 1ère étape de la méthode de Gauss : 2 651 1 231 12 72 L

2ÐL212

12 12 L1 L

3ÐL312

12 12 L1 2 651 01123
2

051925

2

On cherche maintenant dans la colonne 2 à partir de la ligne 2 le plus grand nombre en valeur absolue : ici -5 (à la 3ème

ligne) et on permute la 3ème ligne avec la 2ème : 2 651 01123
2

051925

2 L

3ØL2

2 651

051925

2 01123
2 Puis on effectue la 2ème (et dernière) étape de la méthode de Gauss : 2 651

051925

2 01123
2 L

3ÐL315

15 15 L2 2 651

051925

2

0 01251

En posant

U 2 65 05192

0 0125

etccc 1 52
1 on est ramené à résoudre le système triangulaire supérieurUxxxccc, que l"on résout par remontée. On retrouve alorsxxx p73 ;3124 ;512 qt. (d) Pour trouver la factorisation LUdePAon reprend les étapes de l"algorithme de Gauss avec pivot partiel : 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon

AAp0qÝÑ

L

2ØL1

2 65 1 23 12 7 loooooooooomoooooooooon P 1A 0 1 0 1 0 0 0 0 1 looooooomooooooon P 1 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon A p0q L

2ÐL212

12 12 L1 L

3ÐL312

12 12 L1 2 65 0112
05192
loooooooooomoooooooooon A p1q 1 0 0 12 1 0 12 0 1 looooooooomooooooooon Ep1q 2 65 1 23 12 7 loooooooooomoooooooooon P 1Ap0q L

3ØL2

2 65 05192
0112
loooooooooomoooooooooon P 2Ap1q 1 0 0 0 0 1 0 1 0 looooooomooooooon P 2 2 65 0112
05192
loooooooooomoooooooooon A p1q L

3ÐL3p15

15 15 q L2 2 65 05192

0 0125

looooooooooomooooooooooon A p2q 1 0 0 0 1 0 015 1 looooooooomooooooooon Ep2q 2 65 05192
0112
loooooooooomoooooooooon P 2Ap1q 3

Notons que

Ep1qest inversible, etpEp1qq1

1 0 0 12 1 0 12 0 1 . De même,Ep2qest inversible, etpEp2qq1 1 0 0 0 1 0 0 15 1 Ainsi, à la fin de la 1ère étape de la méthode de Gauss on a : A p1qEp1qP1A; et à la fin de la 2ème étape on obtient :

UdefAp2qEp2qP2Ap1qEp2qP2Ep1qP1A

U pEp2qEp1qqpP2P1qA(carP2etEp1qcommutent)

De l"égalité ci-dessus, on a

p

Ep2qEp1qqpP2P1qAUðñ pP2P1qA pEp2qEp1qq1U

ðñ pP2P1qA

pEp1qq1pEp2qq1U

ðñPALU

avecPP2P1etLdef pEp1qq1pEp2qq1 1 0 0 12 1 0 12 0 1 1 0 0 0 1 0 0 15 1 1 0 0 12 1 0 12 15 1 Notons que pour obtenirLetPil suffit de partir de la matrice identitéIpuis : p ourobteni r

L: de recopier dansI, en les changeant de signe, les coefficients utilisés à chaque opération élémentaire :

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 12 12 12 1 0 12 12 12 15 15 15 1 I L p ourobtenir P: de faire, à partir deI, chaque permutation élémentaire : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L

2ØL1

0 1 0 1 0 0 0 0 1 L

3ØL2

0 1 0 0 0 1 1 0 0 I P

1PP2P1

on a alorsPALU.

Utilisons maintenant cette factorisationPALUpour résoudre le systèmeAxxxbbb. On a, puisquePest inversible

LyyyPbbbpuisUxxxyyy

On résout par descente

LyyyPbbbet on trouveyyy p1;52

;1qt(notons queyyycccde la question (c)). Puis on résoutUxxxyyy par remontée, et on trouvexxx p73 ;3124 ;512 qt.

Exercice 2 : généralités

SoitAPMnpRqune matrice inversible admettant une factorisationLUoùLest une matrice triangulaire inférieure à diagonale

unité etUest une matrice triangulaire supérieure. 1. Montrer que si la facto risationLUexiste alors elle est unique. 2. Décrire une métho dep ermettantde ca lculerexplicitement les co efficientsdes m atricesLetU. 3.

( algo) Ecrire une fonctionFactLUpermettant de calculer les matricesLetU. Quel est le coût de cette méthode?

(on évaluera le nombre d"opérations élémentaires) 4.

Soit APMnpRqune matrice inversible. Est-il toujours possible de décomposerAsous la formeALUoùLest une

matrice triangulaire inférieure à diagonale unité etUest une matrice triangulaire supérieure?

4

5.(algo)SoitAPMnpRqune matrice inversible admettant une factorisationLU. Expliquer comment résoudre le système

Axben utilisant cette factorisation et écrire l"algorithme (fonctionResFactLU) correspondant. Calculer le coût de

cet algorithme.Correction

1. Supposons que la matriceAPMnpRqvérifie

AL1U1L2U2;(2)

où -U1PMnpRqetU2PMnpRqsont des matrices triangulaires supérieures,

-L1PMnpRqetL2PMnpRqsont des matrices triangulaires inférieures à diagonale unité (leurs coefficients diagonaux

sont tous égaux à1). Nous allons montrer queL1L2etU1U2. CommeAest inversible, alors detpAq detpL1U1q detpL1qdetpU1q 0:

Cela signifie donc que detpL1q 0et detpU1q 0, autrement dit que les matricesL1etU1sont inversibles (on savait déjà

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