[PDF] 1 Méthode de Gauss et factorisation LU





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1 Méthode de Gauss et factorisation LU

l'algorithme de Gauss avec pivot partiel) puis résoudre le système (1) en utilisant cette Étape 1 : identification de la première ligne de LU “ A :.



FACTORISATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FACTORISATIONS. I. Factorisations avec facteur commun. Vient du latin « Factor » = celui qui 



1.3 Les méthodes directes

Etape de factorisation et descente Pour passer de la matrice A. (i) à la matrice A. (i+1) on va effectuer des combinaisons linéaires entre lignes qui 



Factorisation de polynômes de degré 3

NB : ces méthodes fonctionnent avec des polynômes de degré supérieur à 3. Exercice 1 : factorisez au maximum les polynômes suivants : 1. P(x) = 6x3 +11x2 ?3x 



Nouveaux records de factorisation et de calcul de logarithme discret

d'une matrice définie sur Z/2Z avec 282 millions de lignes et de colonnes. La factorisation d'entier avec l'algorithme NFS comprend les étapes ...



3. Factorisation LU - Sections 2.6 et 2.7

Ceci est une factorisation (ou décomposition) LU de la matrice A. MTH1007: alg`ebre linéaire Lorsqu'une ligne de A débute avec des zéros il en est de.



Nouveaux records de factorisation et de calcul de logarithme discret

d'une matrice définie sur Z/2Z avec 282 millions de lignes et de colonnes. La factorisation d'entier avec l'algorithme NFS comprend les étapes ...



TP parallélisme Factorisation LU et descente-remontée

16 déc. 2008 par l'élément situé `a l'intersection de la ligne que l'on traite et de la colonne factorisé. Les étapes 1 et 3 sont réalisées enti`erement ...



Exercices de 3ème – Chapitre 2 – Calcul littéral Énoncés Exercice 1

Développer réduire et ordonner les expressions suivantes sans étape de calcul : H= (x 5)² En déduire une factorisation de 4 x2?12 x+5 . Exercice 20.



FACTORISATIONS

I. Factoriser avec un facteur commun Trouver le facteur commun de ces expressions puis factoriser et réduire si possible: A = 3x – 4x + 2x.



FACTORISATIONS - maths et tiques

1) Factoriser avec un facteur commun Méthode : Factoriser une expression (1) Vidéo https://youtu be/r3AzqvgLcI8 Pour factoriser il faut trouver dans l’expression un facteur commun Trouver le facteur commun de ces expressions puis factoriser et réduire si possible: A = 35x – 42x + 21x C = 4x – 4y + 8 E = 3t + 9u + 3



1 FACTORISATIONS - maths et tiques

Factoriser une expression c’est transformer une somme ou une différence en produit Dans la pratique factoriser c’est mettre en facteur en gagnant des parenthèses dans une expression Méthode : Appliquer la distributivité pour le calcul mental Vidéo https://youtu be/sr_vOR2ALhw Vidéo https://youtu be/BaUpx07H0NM

  • Factorisation en Ligne en recherchant Les Facteurs Communs

    La fonction factoriser est en mesure de reconnaitre les facteurs communs d'une expression algébrique : 1. Ces facteurs communs peuvent être des nombres, ainsi la factorisation de l'expression 3x+3, factoriser(3x+3), renverra 3(1+x) 2. Ces facteurs communs peuvent être des lettres, ainsi la factorisation de l'expression ax+bx, factoriser(ax+bx), ret...

  • Factorisation en utilisant Les Identités Remarquables

    La fonction factoriser est en mesure de reconnaitre les identités remarquables usuelles et de les utiliser pour factoriser des expressions algébriques 1. l'identité remarquable suivante a2+b2+2ab=(a+b)2 est par exemple utilisée pour factoriser l'expression 1+2x+x2, le résultat renvoyé par la fonction est (1+x)2 2. l'identité remarquable suivante a2...

  • Factorisation en Ligne Des Polynômes Du Second degré.

    La fonction factoriser est en mesure de reconnaitre les polynomes du second degré et de les factoriser quand cela est possible 1. Ainsi, la fonction permet de factoriser en ligne le polynôme du second degré suivant -6-x+x2, le résultat renvoyé par la fonction est l'expression factorisée (2+x)?(-3+x) 2. Par exemple en saisissant factoriser(-12+x2+x2...

  • Factorisation de Fraction

    La fonction factoriser est en mesure de factoriser des fractions algébriques: 1. Ainsi, la fonction permet de factoriser la fraction suivante x+2?a?xb, le résultat renvoyé par la fonction est l'expression factorisée x?(1+2?a)b 2. Par exemple en saisissant factoriser(-12+x2+x2b), la fonction retournera la factorisation en ligne de la fraction, c'est...

Quelle est la méthode pour factoriser?

Pour factoriser, il faut trouver dans l’expression un facteur commun. Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire si possible: A = 3,5x– 4,2x+ 2,1xC = 4x– 4y+ 8 E = 3t+ 9u+ 3 B = 4t– 5tx+ 3tD = x2+ 3x– 5x2F = 3x– x

Comment factoriser une expression ?

En d’autres termes, Factoriser une expression signifie la réécrire comme le produit de facteurs. Par exemple, vous pouvez factoriser l’expression 4x2+6xy en l’écrivant sous la forme 2x (2x+3y). L’expression factorisée montre la multiplication de deux facteurs : 2x et 2x+3y.

Pourquoi utiliser une calculatrice pour factoriser en ligne ?

En effet, la factorisation nous permet de réécrire les polynômes d’une manière plus simple, et en appliquant les principes de factorisation aux équations, nous pouvons trouver la solution d’une manière plus simple. C’est pourquoi nous mettons entre vos mains cette calculatrice pour factoriser en ligne.

Qu'est-ce que la fonction factoriser ?

La fonction retourne alors la forme factorisée de l'expression algébrique placée en paramètre. La fonction factoriser est en mesure de reconnaitre les facteurs communs d'une expression algébrique : Ces facteurs communs peuvent être des nombres, ainsi la factorisation de l'expression 3 x + 3, factoriser ( 3 x + 3), renverra 3 ( 1 + x)

Sup"GaliléeAnnée 2020/2021

MACS1

Analyse numérique - TD6 & TD 7 - Corrigé

Méthodes directes pour la résolution des systèmes linéaires1Méthode de Gauss et factorisationLU

Exercice 1 : un exemple

Soient;;

PR. On considère le système linéaire suivant d"inconnuesx1;x2;x3: %x

12x23x3

2x16x25x3

x

12x27x3

(1) 1. Écrire le système (1)sous la formeAxxxbbb, avecAPM3pRq,xxxPR3;etbbbPR3, que l"on explicitera. 2. Est-ce que le système (1)admet une unique solution pour tout;; PR? 3.

Montrer que Aadmet une unique factorisationLU.

Dans la suite on choisit1, 1et

2et on va résoudre le systèmeAxxxbbbde plusieurs façons :

(a) Résoudre le système (1)par l"algorithme de Gauss sans pivot. (b) Calculer l afacto risationLUdeApuis résoudre le système(1)en utilisant cette factorisationLU. (c) Résoudre le système (1)par l"algorithme de Gauss avec pivot partiel. (d)

Calculer la facto risation

LUdePA(oùPest la matrice produit des matrices de permutations effectuées dans

l"algorithme de Gauss avec pivot partiel), puis résoudre le système(1)en utilisant cette factorisation.

Correction1. On a

A 1 23 2 65 12 7 ; xxx x 1 x 2 x 3 ; bbb Aetbbbétant les données, etxxxPR3le vecteur inconnu.

2. On calculedetpAq 240doncAest inversible. Le système admet donc une unique solution :xxxA1bbb, Pour tout

b bbPR3, c"est-à-dire pour tout;; PR.

3. On choisit1, 1et

2. Vérifions queAadmet une unique factorisationLU. D"après le cours (ou l"exercice 3

ci-dessous), une condition suffisante est que les sous matrices principales deAsont inversibles. Ceci est bien le cas car :

detp1q detp1q 10,detp2q det1 2 2 6

20, etdetp3q detpAq 0.

3. (a) Le fait queAadmet une (unique) factorisationLUrevient à dire que l"on peut effectuer l"algorithme de Gauss sans

pivot. On regroupeAetbbb(en ajoutantbbbà droite deA) : 1 231 2 651 12 72 L

2ÐL22L1

L

3ÐL3L1

1 231

0 2 13

04 101

L

3ÐL32L2

1 231

0 2 13

0 0 125

A p0qAbbbp0qbbbAp1qbbbp1qAp2qbbbp2q

En posantUAp2qetcccbbbp2qon est ramené à résoudre le système triangulaire supérieurUxxxccc, que l"on résout par

remontée : %12x3 5ñpermet de calculerx3:x3 512

2x2x3 3ñpermet de calculerx2connaissantx3:x2 3124

x

12x23x31ñpermet de calculerx1connaissantx2;x3:x173

1 (b) Pour trouver la factorisationLUdeAon reprend les étapes de l"algorithme de Gauss : 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon

AAp0qÝÑ

L

2ÐL2222L1

L

3ÐL3111L1

1 23 0 2 1 04 10 loooooooooomoooooooooon A p1q 1 0 0 2 1 0 1 0 1 loooooooomoooooooon E p1q 1 23 2 65 12 7 loooooooooomoooooooooon A p0q L

3ÐL3p222qL2

1 23 0 2 1

0 0 12

loooooooomoooooooon A p2q 1 0 0 0 1 0 0 2 1 looooooomooooooon E p2q 1 23 0 2 1 04 10 loooooooooomoooooooooon A p1q

Notons queEp1qest inversible, etpEp1qq1

1 0 0 2 1 0 1 0 1 . De même,Ep2qest inversible, etpEp2qq1 1 0 0 0 1 0 02 1 Ainsi, à la fin de la 1ère étape de la méthode de Gauss on a : A p1qEp1qA; et à la fin de la 2ème étape on obtient : U defAp2qEp2qAp1qEp2qEp1qA:

De l"égalité ci-dessus, on a

E p2qEp1qAUðñA pEp2qEp1qq1U

ðñA

pEp1qq1pEp2qq1 U

ðñALU

avecLdef pEp1qq1pEp2qq1 1 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 02 1 1 0 0 2 1 0 12 1

Notons que pour obtenirLil suffit de partir de la matrice identitéIpuis de recopier dans cette matrice, en les changeant de

signe, les coefficients utilisés à chaque opération élémentaire 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 221 0
1

112221

I L pEp1qq1pEp2qq1

Si l"on souhaite directement trouver la factorisationLUdeAsans passer par les étapes de l"algorithme de Gauss, alors on

chercheL 1 0 0 211 0

31`321

etU u

11u12u13

0u22u23

0 0u33

telles queLUA. Identifions les coefficients ligne par ligne : Étape 1 : identification de la première ligne deLUA: u

11a111; u12a122; u13a13 3:

Étape 2 : identification de la deuxième ligne deLUA:

21u11a212ñ`212;

21u12u22a226ñu222;

21u13u23a23 5ñu231:

Étape 2 : identification de la troisième ligne deLUA:

31u11a311ñ`311;

31u12`32u22a32 2ñ`32 2;

31u13`32u23u33a337ñu3312:

2

C"est cette méthode que l"on généralisera ci-dessous, dans l"exercice 2, pour écrire l"algorithme de calcul de la factorisationLU

d"une matriceAde dimension quelconque. Utilisons maintenant cette factorisationLUpour résoudre le systèmeAxxxbbb. On a

AxxxbbbðñLUxxxbbb

ðñLyyybbbpuisUxxxyyy

On résout par descenteLyyybbbet on trouveyyy p1;3;5qt(notons queyyycccde la question (a)). Puis on résoutUxxxyyy

par remontée, et on trouvexxx p73 ;3124 ;512 qt.

(c) Effectuons maintenant l"algorithme de Gauss avec pivot partiel. On commence par chercher dans la colonne 1 le plus grand

nombre en valeur absolue : ici 2 (à la 2ème ligne) et on permute la 2ème ligne avec la 1ère :

1 231 2 651quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33
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