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Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)Les sujets d"examens sont de :
Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC)
Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)Table des mati`eres2Table des mati`eres
I Topologie4
1 Notions de topologie I4
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Notions de topologie II8
2.1 Topologie s´epar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Fonctions continues surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Suites, limites et valeurs d"adh´erence, points d"accumulation et points isol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Notions de topologie III15
3.1 Hom´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Connexit´e18
4.1 Connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Compacit´e21
5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Analyse r´eelle 27
6 Applications lin´eaires born´ees27
6.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Espaces m´etriques complets, Banach29
7.1 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Th´eor`eme du point fixe32
9 Applications uniform´ement continues34
9.1 Applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2´Equicontinuit´e, th´eor`eme d"Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10 Applications diff´erentiables37
10.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Th´eor`eme d"inversion locale et des fonctions implicites 41
11.1 Th´eor`emes d"inversion; diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.3 Sous-vari´et´es deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums 46
12.1 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13 Equations diff´erentielles48
13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.2 Solutions maximales d"´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.5 R´esolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III Alg`ebre et g´eom´etrie 57
Table des mati`eres314 G´en´eralit´es sur les groupes5715 Groupes et actions59
16 Isom´etries euclidiennes60
17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire deRn62
18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique62
19 Le groupe orthogonal et les quaternions63
20 G´eom´etrie projective I64
21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP164
21.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
21.2 Propri´et´es des homographies deCP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique66
IV Analyse complexe 67
23 S´eries enti`eres67
24 Fonctions holomorphes69
25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances71
26 Formule de Cauchy73
27 Cons´equences de la formule de Cauchy76
28 Singularit´es80
29 Int´egrales curvilignes82
30 Th´eor`eme des r´esidus84
31 Fonctions Zeta et autres...86
31.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
31.2 Transformations deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
V Alg`ebre et th´eorie des nombres 89
32 Groupes89
33 Sous-groupes, morphismes91
34 Groupes finis93
35 Anneaux, corps95
36 Polynˆomes97
37 Extension de corps99
38 Extension d"anneau100
VI Sujets d"examens 101
39 Examen AR janvier 1994101
40 Examen AR juin 1994102
41 Examen AR septembre 1994103
42 Examen AR janvier 1995104
43 Examen AR juin 1995105
44 Examen AR septembre 1995106
45 Examen AR juin 1996107
46 Examen ARC d´ecembre 1998108
1 Notions de topologie I447 Examen ARC janvier 1999110
48 Examen ARC septembre 1999111
49 Examen ARC novembre 1999112
50 Examen ARC janvier 2000114
51 Examen ARC septembre 2000115
52 Examen ARC d´ecembre 2000116
53 Examen ARC janvier 2001117
54 Examen ARC septembre 2001118
55 Examen VC janvier 96119
56 Examen VC avril 96120
57 Examen VC juin 96121
58 Examen VC septembre 96123
59 Examen VC janvier 98125
VII Corrections 127
Premi`ere partie
Topologie
1 Notions de topologie I
1.1 Rappels
Exercice 11. Rappeler les d´efinitions d"une borne sup´erieure (inf´erieure) d"un ensemble de nombres r´eels.
SiAetBsont deux ensembles born´es deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A?B), (iii) sup(A∩B), (iv) inf(A?B), (v) inf(A∩B).2. Pourx?RnetA?Rnon d´efinitd(x,A) = infa?A||x-a||. Trouverd(0,R-Q),d(⎷2,Q),d(M,D) o`u
M= (x,y,z)?R3etDest la droite de vecteur unitaire (a,b,c).3. PourA,B?Rnon d´efinitd(A,B) = infa?A,b?B||a-b||. Trouverd(A,B) lorsqueAest une branche de
l"hyperbole{(x,y)?R2;xy= 1}etBune asymptote.4. On d´efinit diamA= supa,b?A||a-b||. Quel est diam([0,1]∩Q)? diam([0,1]∩R-Q)?
Exercice 2Montrer que tout ouvert deRest union d´enombrable d"intervalles ouverts deux `a deux disjoints.
(Indication :six?Oouvert, consid´ererJx=?des intervalles ouverts,?Oet?x). D´ecrire de mˆeme les
ouverts deRn.Exercice 3On va montrer que l"ensembleDdes r´eels de la formep+q⎷2 o`upetqd´ecriventZ, est dense
dansR.1. Remarquer queDest stable par addition et multiplication.
2. Posonsu=⎷2-1; montrer que pour tousa < b, on peut trouvern?1 tel que 0< un< b-a, puism
v´erifianta < mun< b.En d´eduire le r´esultat.
1.2 Topologie g´en´erale
Exercice 41. SoitX={0,1}muni de la famille d"ouverts{∅,{0},X}. Cette topologie est-elle s´epar´ee?
2. SoitXun ensemble non vide. D´ecrire la topologie dont les singletons forment une base d"ouverts.
1 Notions de topologie I53. D´ecrire la topologie surRdont la famille des intervalles ferm´es forme une base d"ouverts; mˆeme question
avec les intervalles ouverts sym´etriques.4. SoitXun ensemble infini. Montrer que la famille d"ensembles constitu´ee de l"ensemble vide et des parties
deXde compl´ementaire fini d´efinit une topologie surX. Exercice 5SoitXun espace topologique, etfune application quelconque deXdans un ensembleY. On ditqu"une partieAdeYest ouverte, sif-1(A) est un ouvert deX. V´erifier qu"on a d´efini ainsi une topologie sur
Y.Exercice 6Montrer qu"on peut construire surR? {∞}une topologie s´epar´ee en prenant comme ouverts, les
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