Outils de démonstration
Si les diagonales d'un parallélogramme sont de la même longueur alors c'est un rectangle. Sommaire. Page 8. Comment démontrer qu'un quadrilatère est un losange
Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que
P 2 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. (C'est aussi vrai pour les losanges rectangles et carrés qui.
COMMENT DEMONTRER……………………
Pour démontrer qu'un point est le milieu d'un segment. On sait que I appartient au Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés.
Distance de deux points dans un repère orthonormal
ci-dessus ) et sur les calculs suivants. SAVOIR DEMONTRER QU'UN TRIANGLE EST RECTANGLE. Exemple : Soient dans un repère orthonormal ( O
Quadrilatères particuliers
I – CE QU'IL FAUT SAVOIR DES QUADRILATERES PARTICULIERS. 1. Trapèze. Définition : Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles.
Correction de linterrogation de MATHEMATIQUES Géométrie
Donc AC²= AB²+BC² d'apès la réciproque du théorème de Pythagore
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu'un triangle soit rectangle. FICHE 25. Le triangle CFE est rectangle en F si et seulement si les vecteurs
VECTEURS ET REPÉRAGE
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ?et ? sont de norme 1. TP info : Lectures de coordonnées : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/
CHAPITRE 6 : LES PARALLÉLOGRAMMES I.- PROPRIÉTÉS DES
5.336 [S] Connaître et utiliser les propriétés réciproques pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle/losange/carré.
TRANSLATION ET VECTEURS
Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement Méthode : Démontrer que des vecteurs sont colinéaires ... Soit un carré ABCD.
Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?
Avec cette propriété, il suffit de prouver une seule égalité pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. C'est une méthode plus puissante que celles vues en 4ème qui nécessitaient de démontrer deux propriétés (double parallélisme ou parallélisme et égalité de longueurs, etc.)
Qu'est-ce que la transformation de vecteur?
Cette transformation est appelée translation de vecteur AB. Soient A et B deux points distincts du plan. Le point D est l'image du point C par la translation de vecteur AB si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Quels sont les quadrilatères?
Exercice n°1 :En utilisant les codages et le quadrillage, préciser quels quadrilatères sont : • des carrés ; • des rectangles ; • des losanges ; • des parallélogrammes. Exercice n°2 :Construire :
Comment calculer la direction d'un vecteur?
Vecteur. La direction du vecteur u est celle de la droite (AB). Le sens du vecteur u est le sens de l'origine A vers l'extrémité B. La norme du vecteur u est la longueur AB du segment [AB]. On la note ???u??? = ???AB ??? = AB.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET REPÉRAGE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gakPartie 1 : Repère du plan
Trois points du plan non alignés O, I et J forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).Si on pose í µâƒ— = í µí µ
et í µâƒ— = í µí µ , alors ce repère se note également (O, í µâƒ— ,Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O, í µâƒ—, í µâƒ—) où O est un point et í µâƒ— et í µâƒ— sont deux vecteurs non
colinéaires.- Un repère est dit orthogonal si í µâƒ— et í µâƒ— ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si í µâƒ— et í µâƒ— sont de norme 1.
TP info : Lectures de coordonnées :
Partie 2 : Coordonnées d'un vecteur
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Pour aller de A vers B, on parcourt un chemin :
3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Ainsi í µí µ
=3í µâƒ—+2í µâƒ—.Les coordonnées de í µí µ
se notent . 3 2 / ou (3;2). On préfèrera la première notation.í µâƒ— O í µâƒ— Repère orthogonal í µâƒ— O í µâƒ— Repère orthonormé í µâƒ— O í µâƒ— Repère quelconque í µâƒ— í µâƒ— I J O
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphiqueVidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
a) Dans le repère (O, í µâƒ—, í µâƒ—), placer les points í µ. -1 -2 -2 3 1 -4 4 -2 b) Déterminer les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ par lecture graphique.Correction
On a :
=-í µâƒ—+5í µâƒ— donc í µí µ a pour coordonnées . -1 5 =3í µâƒ—+2í µâƒ— donc í µí µ a pour coordonnées . 3 2Propriété :
Soit deux points í µ.
/ et í µ.Le vecteur í µí µ
a pour coordonnées . Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par calculVidéo https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Calculer les coordonnées des vecteurs í µí µ et í µí µ , tels que : 2 1 5 3 -1 -2 -2 3 1 -4 / et í µ. 4 -2Correction
5-2 3-1 3 2 -2- -1 3- -2 A = . -1 5 4-1 -2- -4 A = . 3 23 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriétés :
Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ—.
/ et í µâƒ—í±¦A, et un réel í µ.
On a :
A í µí µí°¼âƒ— í±¦
A -í µí°¼âƒ—.
í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont égaux lorsque í µ=í µâ€² et í µ=í µâ€². Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteursVidéo https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
En prenant les données de la méthode précédente, calculer les coordonnées des vecteurs 3í µí µ
4í µí µ
et 3í µí µ -4í µí µCorrection
On a : í µí µ
3 2 / et í µí µ -1 53í µí µ
3×3
3×2
9 6 /, 4í µí µ 4× -14×5
-4 203í µí µ
-4í µí µ 9- -4 6-20 13 -14 Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielleVidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Soit les points í µ.
1 2 -4 3 1 -2Déterminer les coordonnées du point í µ tel que í µí µí µí µ soit un parallélogramme.
Correction
í µí µí µí µ est un parallélogramme si et seulement si í µí µOn pose .
/ les coordonnées du point í µ.On a alors : í µí µ
-4-1 3-2 -5 1 / et í µí µ1-í µ
-2-í µ ADonc : 1-í µ
=-5 et -2-í µ =1 =-5-1 et -í µ =1+2 =6 et í µ =-3.Les coordonnées du point í µ sont donc .
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Colinéarité de deux vecteurs
1. Critère de colinéarité
Propriété : Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ— . / et í µâƒ— í±¦ A.Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que : í µí µ'-í µí µ'=0.
Remarque : Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit : í µí µ'=í µí µ'.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/VKMrzaiPtw4
• Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. • Supposons maintenant que les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— soient non nuls.Dire que les vecteurs í µí°¼âƒ—.
/ et í µâƒ—í±¦ A sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel í µ tel que í µí°¼âƒ— =í µí µâƒ—.Les coordonnées des vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité : Donc : í µí µ'=í µí µ' soit encore í µí µ'-í µí µ'=0. Réciproquement, si í µí µ'-í µí µ'=0. Le vecteur í µâƒ— étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que í µ'≠0. Posons alors í µ= . L'égalité í µí µ'-í µí µ'=0 s'écrit : í µí µ'=í µí µ'.Soit : í µ =
Comme on a déjÃ í µ = í µí µâ€², on en déduit que í µí°¼âƒ— =í µí µâƒ—.
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéairesVidéo https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. a) í µí°¼âƒ—. 4 -7 / et í µâƒ—. -12 21/ b) í µí°¼âƒ—. 5 -2 / et í µâƒ—. 15 -7
Correction
a) í µí µ'-í µí µ'=4×21- -7 -12 =84-84=0.Le critère de colinéarité est vérifié donc les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que í µâƒ—=-3í µí°¼âƒ—.5 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) í µí µ'-í µí µ'=5× -7 -2 15 =-35+30=-5≠0.Le critère de colinéarité n'est pas vérifié donc les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— ne sont donc pas colinéaires.
2. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit deux vecteurs í µí°¼âƒ— . / et í µâƒ— í±¦ A.Le nombre í µí µ'-í µí µ' est appelé déterminant des vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ—.
On note : í µí µí µ
Propriété : Dire que í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires revient à dire que í µí µí µ
=0. Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminantVidéo https://youtu.be/MeHOuwy81-8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont colinéaires. a) í µí°¼âƒ—. -6 10 / et í µâƒ—. 9 -15 / b) í µí°¼âƒ—. 4 9 / et í µâƒ—. 11 23Correction
a) í µí µí µ =R -69 10-15 R= -6 -15 -10×9=90-90=0 Les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— sont donc colinéaires. b) í µí µí µ =R 411923
R=4×23-9×11=92-99=-7≠0
Les vecteurs í µí°¼âƒ— et í µâƒ— ne sont donc pas colinéaires.3. Applications
Propriétés :
1) Dire que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles revient à dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires.2) Dire que les points í µ, í µ et í µ sont alignés revient à dire que les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires.Méthode : Appliquer la colinéarité
Vidéo https://youtu.be/hp8v6YAQQRI
Vidéo https://youtu.be/dZ81uKVDGpE
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frOn considère les points í µ.
-1 1 3 2 -2 -3 6 -1 / et í µ. 5 0 a) Démontrer que les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles. b) Démontrer que les points í µ, í µ et í µ sont alignés.Correction
a) í µí µ 3- -1 2-1 4 1 / et í µí µ 6- -2 -1- -3 A = . 8 2 í µí µí µSí µí µ T=R 4812
R=4×2-8×1=8-8=0
Les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires. Donc les droites (í µí µ) et (í µí µ) sont parallèles.Remarque :
On aurait pu également remarquer que les coordonnées de í µí µ et í µí µ sont proportionnelles pour en déduire que les vecteurs í µí µ et í µí µ sont colinéaires. b) í µí µ 3-5 2-0 -2 2 / et í µí µ 6-5 -1-0 1 -1 í µí µí µSí µí µ T=R -21 2-1R=-2×
-1 -2×1=0Les vecteurs í µí µ
et í µí µ sont colinéaires. Donc les points í µ, í µ et í µ sont alignés.Partie 4 : Coordonnées du milieu d'un segment
Propriété : Soit deux points í µ.
/ et í µ. Le milieu í µdu segment [í µí µ] a pour coordonnées : X YDémonstration :
Considérons le parallélogramme construit à partir de í µ, í µ et í µ.Soit í µ son centre.
Alors í µí µ
(ou í µ) a donc les mêmes coordonnées que celles du vecteur ) soit : Z [=X Y.B O M A
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Calculer les coordonnées d'un milieuVidéo https://youtu.be/YTQCtSvxAmM
quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] démontrer que abcd est un carré dans un repère orthonormé
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