[PDF] Signal sinusoïdal I. Signal périodique quelconque

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ATSLycée Le DantecSignal sinusoïdal

I. Signal périodique quelconque

I.1. Période, fréquence

La périodeTd"un signal est la plus petite durée au bout de laquelle le signal se reproduit identique à lui-même.

s(t+T) =s(t) La fréquence correspond au nombre de périodes par unité de temps : f=1T L"unité SI defest le hertz :1Hz=1s1.I.2. Valeur moyenne d"un signal périodique a) Définition Soits(t)un signal périodique de périodeT. On note< s(t)>sa valeur moyenne. Par définition < s(t)>=1T Z t0+T t

0s(t)dt8t0l"intégration se fait sur un intervalle de temps égal à la périodeT, l"originet0pouvant être choisie arbitrairement.

En général, on choisit la valeur det0qui permet les calculs les plus simples. - exemple 1 :t0= 0, on intègre alors de0àT. - exemple 2 :t0=T2 on intègre alors deT2

àT2

, ce qui peut être utile quand la fonctions(t)est paire. b) Interprétation graphique < s(t)> T=Z t0+T t

0s(t)dt

R t0+T t

0s(t)dtreprésente l"aire sous la courbe sur une période.

< s(t)> Test l"aire du rectangle de côtés< s(t)>etT. La valeur moyenne< s(t)>est celle qui permet d"égaler les deux aires.Retenir :< s(t)>=1T aire sous la courbe sur une période.1 ATSLycée Le DantecI.3. Valeur efficace d"un signal périodique De nombreux signaux ont une valeur moyenne nulle. Cependant ils peuvent transmettre de l"énergie.

En effet, la puissance associée à un signal est en général proportionnelle à son carrés2(t)(par exemple la

puissance moyenne consommée par une résistanceRparcourue par un courant d"intensitéivaudraR < i2>.

Il est donc utile de définir la valeur quadratique moyenne< s2(t)>d"un signal,i.ela valeur moyenne de son

carré.

Sis(t)est périodique de périodeTalorss2(t)l"est aussi. La valeur quadratique moyenne du signal vaudra donc,

d"après la définition précédente de la valeur moyenne : < s

2(t)>=1T

Z t0+T t

0s2(t)dt8t0

< s

2(t)>a les mêmes dimensions ques(t)2(< s2(t)>sera en A2sis(t)est une intensité mesurée en ampère).

On souhaite que la valeur efficace du signal soit de même dimension que celui-ci. Il suffit alors de prendre la

racine carrée de la valeur quadratique moyenne. On définit ainsi la valeur efficaceseffsur signal par :

s eff=p< s

2(t)>=s1

T Z t0+T t 0s

2(t)dt8t0II. Cas particulier du signal sinusoïdal

II.1. Caractéristique du signal sinusoïdal

On considère un signal de la forme :

s(t) =smcos(! t+')ts msm0T 2

T2TT3T2T

s mcos's ms mamplitude du signal (smest de même dimension ques) ! t+'phase du signal (angle en radian) 'phase àt= 0'2];] !pulsation du signal (enrad:s1)

Tpériode du signal

ffréquence du signalf=1T (en s1=Hz)

Période

s(t) =s(t+T) s mcos(! t+') =smcos(!(t+T) +') s mcos(! t+') =smcos(! t+!T+') !T= 2

T=2!de manière équivalente!=2T

= 2f. 2 ATSLycée Le DantecII.2. Valeur moyenne d"un signal sinusoïdal t 0T

Sur une période, l"aire sous la courbe est nulle (l"aire positive compensant exactement l"aire négative).

Retenir :

= 0 = 0!la valeur moyenne d"un sinus (ou d"un cosinus) est nulle.

II.3. Valeur efficace d"un signal sinusoïdal

a) Valeur moyenne d"uncos2ou d"unsin2 cos

2(!t+') =1 + cos(2!t+ 2')2

=12 +2 or= 0car la valeur moyenne d"un cosinus est nulle. On en déduit =12 de mêmesin2(!t+') =1cos(2!t+ 2')2 permet d"écrire=12

Retenir :

=12 =12 !La valeur moyenne d"uncos2ou d"unsin2est égale à12 b) Valeur efficace s

2eff=< s2(t)>=s2m=s2m2

s eff=smp2

!La valeur efficace d"un signal sinusoïdal est égale à l"amplitude du signal divisée parp2.

3 ATSLycée Le DantecII.4. Reconnaissance de courbes simples a) Courbes simpless msm0ts(t)T 4T 2

T23T4T3T22Ts(t) =s

msm0ts(t)T 4T 2

T23T4T3T22Ts(t) =s

msm0ts(t)T 4T 2 T2

T23T4T3T22Ts(t) =s

msm0ts(t)T 4T 2

T23T4T3T22Ts(t) =

b) Autres cas

Déterminer la phase à l"origine :s

msm0ts(t)T 4 T4T 2

T23T4T3T22Ts(t) =

4

ATSLycée Le Dantecs

msm0ts(t)T 4 T4T 2

T23T4T3T22Ts(t) =

II.5. Expressions équivalentes

Un même signal sinusoïdal peut s"exprimer sous plusieurs formes. On considère le signal sinusoïdal

x(t) =xmcos(!t+')

représentant par exemple la position d"une masse oscillante accrochée à un ressort. On peut écrire :

x(t) =xmcos(!t+') =xm(cos!tcos'sin!tsin') =xmcos'cos!txmsin'sin!t=Acos!t+Bsin!t La dernière égalité devant être vérifiée quel que soitton a :(A=xmcos'

B=xmsin'

x mcos(!t+') =Acos!t+Bsin!tavec(A=xmcos'

B=xmsin'On peut, à l"inverse, connaissantx(t)sous la formex(t) =Acos!t+Bsin!t, calculer les valeurs dexmet'

en fonction deAetBtelles quex(t) =xmcos(!t+'). x(t) =Acos!t+Bsin!t pA

2+B2ApA

2+B2cos!t+BpA

2+B2sin!t

8t xmcos(!t+') =xm(cos'cos!tsin'sin!t) =pA

2+B20 B

BB@ApA

2+B2|{z}

cos'cos!t+BpA

2+B2|{z}

sin'sin!t1 C CCA

On supposexm>0et'2[;]. On a, par identification :

x m=pA 2+B2 cos'=ApA 2+B2 sin'=BpA 2+B2 pourA6= 0 tan'=BA

Acos!t+Bsin!t=xmcos(!t+')avec8

:x m=pA 2+B2 cos'=ApA 2+B2 sin'=BpA 2+B25 ATSLycée Le DantecII.6. Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinusoïdal Le mouvement sinusoïdal peut être produit par la projection d"un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre quel- conque. On a représenté sur la figure ci-contre un mouvement circu- laire uniforme de rayonA, de vitesse angulaire!=2T , avec Tpériode de rotation. La projection du mouvement sur l"axe

Oxdonnex(t) =xmcos(!t+').

'correspond à l"angle que faitOMavec l"axeOxàt= 0.

Exemple : scie sauteuse.

Dans une scie sauteuse, un dispositif transforme le mouvement circulaire uniforme en un mouvement d"oscillations harmoniques : quandAfait un tour, Bfait un aller-retour.https://www.edumedia-sciences.com/fr/media/3-mouvement-de-rotation-uniforme Remarque :la projection du mouvement sur l"axeOys"exprimerait sous la formexmsin(!t+'). 6quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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