[PDF] UNIVERSITE DANTANANARIVO Etude du mouvement d'un

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UNIVERSITE D'ANTANANARIVOECOLE NORMALE SUPERIEURE

Département de formation initiale scientifiqueC.E.R PHYSIQUE - CHIMIEN° d'ordre: 279 /PC

Mémoire de fin d'étude pour l'obtention du Certificat d'Aptitude Pédagogique de l'Ecole Normale Supérieure(C.A.P.E.N)RESSOURCES NUMERIQUES POUR L'ETUDE DU PENDULE DE TORSION :

CLASSES TERMINALES C ET DPrésenté par :

RASOLOARIMANANA Clément JuriasAnnée : 2008-2009

UNIVERSITE D'ANTANANARIVOECOLE NORMALE SUPERIEURE

DÉPARTEMENT DE FORMATION INITIALE SCIENTIFIQUECENTRE D'ETUDE ET DE RECHERCHE EN PHYSIQUE - CHIMIEN° d'ordre: 279 /PC

MEMOIRE DE FIN D'ETUDE POUR L'OBTENTION DU CERTIFICAT D'APTITUDE

PEDAGOGIQUE DE L'ECOLE NORMALE SUPERIEURE (C.A.P.E.N)RESSOURCES NUMERIQUES POUR L'ETUDE DU PENDULE DE

TORSION : CLASSES TERMINALES C ET DSoutenu le 18 Décembre 2009Présenté par : RASOLOARIMANANA Clément JuriasPrésident : Mr RASOANAIVO René Yves Ph.D et Maître de conférencesJuges : Mr ANDRIANARIMANANA Jean Claude Omer Professeur

Mme RAHARIJAONA Lala Parsonnette AssistantRapporteur : Mr RASOLONDRAMANITRA Henri Ph.D et Maître de conférences

REMERCIEMENTSD'abord, nous remercions Dieu qui nous a donné ce temps afin que nous puissions

soutenir ce mémoire de fin d'étude.Nous nous devons, en premier lieu, d'exprimer notre très haute considération à

Monsieur RASOANAIVO René Yves qui a voulu accepter de présider l'évaluation de ce travail. Nous sommes reconnaissants envers Madame RAHARIJAONA Parsonnette et Monsieur ANDRIANARIMANANA Jean Claude Omer pour avoir accepté d'être membres du Jury.Nous adressons notre sincère gratitude à Monsieur RASOLONDRAMANITRA Henri

qui a mis à notre disposition sa grande expérience et qui n'a pas ménagé son temps pour nous

diriger et nous encourager dans nos travaux.C'est un grand honneur aussi de remercier, surtout mes parents et mes frères d'avoir

apporté leur aide pour la réalisation de ce travail. Sans oublier les membres de la famille.Enfin, c'est un grand honneur de remercier ma coéquipière RAJAONARISOA

Bakoly Clémence qui nous a prêté mains fortes durant notre travail.

TABLE DES MATIERESTABLE DES MATIERES .......................................................................................................... 5

Première partie : I. REPERE THEORIQUE...........................................................................2

I.1. Description du système étudié.....................................................................................................2

I.2. Moment d'inertie du système......................................................................................................3

I.3. Etude du mouvement d'un pendule de torsion............................................................................4

HEquation différentielle du mouvement.....................7HEquation horaire du mouvement..............................8HPériode du mouvement.............................................8HFréquence.................................................................8

I.4. Détermination de la constante de torsion................................................................13

I.5. Etude énergétique..................................................................................................16a)Définition.....................................................................................................16

c)Cas du système sans frottement...................................................................16d)Cas du système avec frottement...................................................................19i

Deuxième partie : II. PROPOSITION DE MODULES D'APPRENTISSAGE....... .........21

1.Rappels théoriques.......................................................................................................232.Modules à traiter...........................................................................................................23

3.Agencement des modules 1 et 2....................................................................................244.Capacité développée.....................................................................................................24

5.Les activités proposées..................................................................................................25Module 1 : Etude de la période en absence de frottement.....................................351.Présentation du module....................................................................................352.Etapes à suivre.................................................................................................363.Choix du module.............................................................................................37Module 2 : Etude de la période en présence de frottement......................................611.Présentation du

module.....................................................................................612.Etapes à suivre..................................................................................................61

3.Choix du module.............................................................................................62

Module 3 : Applications ..........................................................................................691.Présentation du module....................................................................................69

2.Etape à suivre.............................................................................................693.Choix du module.......................................................................................70CONCLUSION........................................................................................................................76

ii

LISTE DES FIGURESTABLE DES MATIERES .......................................................................................................... 5

iii

LISTE DES TABLEAUXTABLE DES MATIERES .......................................................................................................... 5

iv

INTRODUCTIONDe nos jours, la technologie ne cesse d'évoluer dans les pays développés. On peut citer

comme par exemple les outils informatiques qui sont actuellement très utilisés surtout dans le

domaine de l'information et de la télécommunication.A Madagascar, l'Etat fait tous ses efforts pour améliorer l'enseignement/apprentissage

en général en intégrant l'informatique dans le système éducatif comme outil d'aide à la

construction et l'acquisition des connaissances et de savoir faire et en équipant les établissements scolaires de matériels didactiques. En ce qui concerne les sciences physiques,

qui sont des sciences expérimentales, la réalisation des travaux pratiques est primordiale dans

ce processus de construction et d'acquisition des connaissances et de savoir faire. En effet les expériences permettent de concrétiser l'enseignement des sciences physiques, de développer

chez l'élève le sens d'observation, l'esprit d'analyse et l'esprit critique. Elles peuvent aussi

susciter son intérêt pour cette matière.Aujourd'hui, l'évolution de la technologie, en particulier le développement des TICEs

a fait émerger une nouvelle tendance dans l'enseignement/apprentissage de la physique à

savoir les recours à l'utilisation de logiciels d'animation, de simulation et de modélisation des

phénomènes physiques, à l'utilisation des travaux pratiques virtuels.Ce mémoire de fin d'études, intitulé " Ressources numériques pour l'étude d'un

pendule de torsion : classes de Terminales C et D » fait partie de cette nouvelle tendance. Il s'agit d'un didacticiel qui simule le mouvement d'un pendule de torsion et les activités proposées sont menées sous forme de travaux pratiques virtuels. Notre travail comporte essentiellement deux parties. La première partie présente des repères théoriques sur le pendule de torsion. La deuxième propose des modules

d'apprentissages qui mettent à profit les éléments développés dans la première partie. Ces

modèles s'appuient sur des animations. L'étude porte sur la période d'oscillation du pendule.

Les effets des différents paramètres sont analysés, paramètres tels que l'amplitude angulaire

initiale, le moment d'inertie du système, la constante de torsion, la longueur et le diamètre du

fil de torsion. Les cas d'un pendule non amorti et d'un pendule amorti sont abordés.

L'influence du coefficient de frottement est étudiée dans le cas d'un système avec frottement

(pendule amorti). Des séances de résolutions d'exercices sont programmées au troisième module pour tester et renforcer les acquis de l'apprenant. Première partie :

I.REPERE THÉORIQUEI.1.Description du systèmeTout solide attaché à l'extrémité d'un fil de torsion et qui oscille sous la seule

influence de l'élasticité de torsion du fil est un pendule de torsion. La figure 1 ci-dessous

montre quelques exemples d'un tel pendule. ( Commission pédagogique du Lycée Gallieni, 1975 ).

(a) (b) (c) (d)

Barre attachée à un Boule attachée à un Barre sur laquelle sont fixées fil de torsion fil de torsion deux masses

Figure 1: Différents types de pendule de torsionPour faire l'étude expérimentale, il est commode d'utiliser un montage de type décrit par la

figure ci-après : 1

D (M)

(m) (m) A B

Figure 2: Montage pour l'étude expérimentale d'un pendule de torsionLe fil de torsion en acier OD passe à l'intérieur d'un mandrin (M) creux qui permet de

faire varier la longueur l du fil. Une barre cylindrique AB, de longueur L et de masse M,

centrée sur l'extrémité O du fil porte deux masses sphériques m de rayon R et placées à la

même distance d de l'axe de rotation (Δ) défini par le fil OD. La distance d peut varier. I.2.Moment d'inertie du systèmeReprenons la figure 2.

Le moment d'inertie du système oscillant, c'est à dire l'ensemble des solides qui se

déplacent alternativement dans un sens et dans l'autre, par rapport à l'axe(Δ) est J, donné par

la relation : J= JBarre + 2 JBoule

Avec JBarre est le moment d'inertie de la barre par rapport à l'axe (Δ) et JBoule est le moment

d'inertie d'une boule par rapport à l'axe (Δ).Théorème d'Huygens :( BRAMAND, P.1983 ) Il permet de calculer le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe (Δ) ne

passant pas par le centre de gravité de ce solide.Pour cela, on trace l'axe (Δ') parallèle à l'axe (Δ) et passant par le centre de gravité du solide

en question. 2

Figure 3: Schéma d'un pendule de torsion et représentation de l'axe (Δ')Alors le moment d'inertie d'une boule de masse m par rapport à l'axe (Δ) s'écrit :

2'.dmJJBouleBoule+=Avec

BouleJ est le moment d'inertie d'une boule de masse m par rapport à l'axe (Δ').Le moment d'inertie du système oscillant devient alors :

2'.22dmJJJBouleBarreBoule++=Le moment d'inertie de la barre de longueur L et de masse M par rapport à l'axe (Δ) est :

2

BarreML12

1J= ( la démonstration se trouve dans l'annexe3 (2) )

Le moment d'inertie d'une boule de rayon R et de masse m par rapport à l'axe (Δ') est : 2' Boule mR5

2J= ( la démonstration se trouve dans l'annexe3 (3) )

On en déduit que le moment d'inertie total du système s'écrit :

22d.m2R.m5

4²L.M12

1J++= J s'exprime en kilogramme mètre carré (kg.m²)3

I.3.Etude du mouvement d'un pendule de torsiona)Etude statique ( http : //fr.wikipedia.org/wiki/pendule de torsion)

Considérons un pendule de torsion constitué uniquement d'une barre attachée au fil de torsion. Exerçons une force constante F en un point P de l'une des extrémités de la barre.

Sous l'action de

F la barre tourne dans un plan horizontal autour de O et s'écarte d'un angle

θ par rapport à sa position d'équilibre. Comme l'indique la figure 4.En réaction, le fil de torsion impose une force de rappel

FR perpendiculaire à la barre pour la

ramener à sa position de repos.La barre se trouve alors en équilibre sous l'action de deux moments : le moment de la force

F et le moment de torsion exercé par FR.

On peut écrire :

å(moments des forces)/Δ=0

Ici la force

F est imposée par un dynamomètre gradué.Figure 4: Bilan des forces qui s'exercent sur la barreLe moment du couple de rappel (c'est-à dire le moment de la force

RF) exercé sur la

barre s'écrit : q-=G.C4

C étant la constante de torsion du fil et θ la déviation angulaire de la barre (b) par rapport à

la position au repos.Rappel : HMoment d'une force par rapport à l'axe (Δ) :)F(ML

Figure 5: Représentation de la force

Fr par rapport à un axe de rotationLe moment de la force Fr par rapport à un axe de rotation (Δ) est donné par la relation :

HRemarque :

· Si la force

F est parallèle à l'axe (Δ), le moment de cette force par rapport à l'axe (Δ) est nul.·Si la droite d'action de la force F rencontre l'axe de rotation (Δ) (ß =0 ou ß =П), le moment de cette force par rapport à cet axe est nul.b)Etude dynamique Prenons un pendule de torsion constitué d'une barre sur laquelle sont placées deux masses m. 0n écarte l'ensemble {barre +2 masses m} d'un angle θm par rapport à sa position

au repos puis on l'abandonne sans vitesse initiale.La barre se met alors en mouvement oscillatoire autour de sa position d'équilibre selon la

figure suivante : ( Commission pédagogique du Lycée Gallieni, 1975 )

D=bb=Ù=)OA,F( , sin.OA.FOAF)F(M5

Figure 6: Schéma d'un pendule de torsion (vue de dessus)Le point A1 décrit l'arc de circonférence A1A0A2.

On appelle oscillation un aller retour c'est-à dire aller de A1 à A2 puis retour de A2 en A1.

Soient J le moment d'inertie du système {barre+ 2 masses m} par rapport à l'axe (Δ), Ct la

constante de torsion du fil et θ la position angulaire de la barre par rapport à sa position au

repos. i.Etude du système sans frottement

Dans ce cas, on considère que le système ne subit pas des forces de frottement. Soit la figure suivante :

Figure 7: Schéma d'un pendule de torsion et bilan des forces qui s'exercent sur le systèmeHEquation différentielle du mouvement6

L'équation différentielle du mouvement se détermine en appliquant le théorème de l'accélération angulaire à un instant t quelconque : ()2 2 dt

dJforces des momentsq=åDLa seule action exercée sur la barre est celle du couple de torsion Г = -C. θ, car

0)T(M)P(M==DD (Les droites d'action de P et de T rencontrent l'axe (Δ))

0)'P(M=D ('P est parallèle à l'axe (Δ)) Soit :

2 2 dt dJ.Cq=q- qui s'écrit aussi : 0td d2 2 2 =qw+q ou encore 02=+qwq Avec ω2= J

C Û

J C=w

w étant la pulsation propre exprimée en radians par seconde (rad/s)HEquation horaire du mouvement ( la démonstration se trouve dans l' annexe 1 )Soit

0dt d2 2 2 =qw+q C'est l'équation d'un oscillateur harmonique non amorti dont la solution est de la forme : )tsin()t(mj+wq=q mq et j sont à déterminer en utilisant les conditions initiales.

mq et j sont exprimées en radian (rad)HPériode du mouvementC'est le temps mis pour effectuer une oscillation. Le système est en mouvement

sinusoïdal de rotation, de période : C

J22Tp=w

p=7

J s'exprime en kilogramme mètre carré (kg.m²)C s'exprime Newton mètre par radian (N.m/rad)T s'exprime en seconde (s)HFréquence :

La fréquence correspond au nombre de périodes par seconde et est donnée par : T

1N=N s'exprime en Hertz (Hz)HGraphe :

On dit qu'un oscillateur est non amorti si tous les frottements sont négligeables, alors le mouvement du système est un mouvement périodique de va-et-vient autour d'une position

d'équilibre, qui se répète identique à lui-même à des intervalles de temps successifs égaux et

avec la même amplitude. Sa représentation graphique est de la forme :

caractéristiques C1 et C2. Ces deux fils sont fixés à la barre, à son centre O et les deux autres

bouts à deux points fixes I et J. (Figure 9)8

Les fils sont horizontaux et perpendiculaires à la barre.Figure 9 : Schéma d'une barre attachée par deux fils de torsionOn tourne la barre d'un angle θ de sa position initiale et on la relâche sans vitesse initiale. Ici,

l'axe (Δ) est symbolisé par les deux fils horizontaux passant par le centre O.HEquation différentielle du mouvementD'après le théorème de l'accélération angulaire :

()q. /Jforcesdesmoments=åDLes forces qui s'exercent sur la barre sont les deux couples de torsion Г1 = - C1.θ et

Г2 = - C2. θ

0)()()(21===DDDTMTMPM Soit

qqq. ..21JCC=-- On obtient

0 )(21=++qqJ

CCC'est l'équation d'un oscillateur harmonique non amorti dont la solution est de la forme :

)tsin()t(mj+wq=q 9

Avec J

CC J CC21212 +=Û+=wwRemarque : si C1 = C2 = C, on aura l'expression suivante :

0 2=+qqJ

CHPériode du mouvementLa période du mouvement de ce système s'écrit : 21
22
CC

JT+==pw

pPour la représentation graphique, on obtient la même figure que dans le cas précédent. ii.Etude du système avec frottement ( http: //fr.wikipedia.org/wiki/Pendule de torsion )Si l'on veut tenir compte de la perturbation apportée par les frottements, par exemple

exercés par l'air, on peut utiliser le modèle visqueux à faible vitesse, tel que le couple exercé

s'oppose à la vitesse : dt

dfq-f étant le coefficient de frottement exercé par l'air.HEquation différentielle du mouvement ( la démonstration se trouve dans l' annexe 2 )En appliquant le théorème de l'accélération angulaire, on obtient :

2 2 .dt dJdt dfCqqq=--10 2 2 ddJfC.0dtdt qq++q= ou encore J f C.0q+q+q=&&&HEquation horaire du mouvement : La solution de cette équation différentielle est de la forme : )t'sin(e)t(tJ2 f mj+wq=q- J2 f²-4.J.C' avec=w HPériode du mouvementLa période du mouvement est donnée par la relation : 2fJC4 J2.2'

2'T-p=w

p=

Autre expression : Relation entre les périodes T et T'. ( Ferry, R.1981 )Reprenons l'expression de la période d'oscillation d'un mouvement sous l'action des

forces de frottement. 2 2 fJC4

J4.2'T-p=On peut écrire

ae p= ae p= JC4 f1 1.C J2 C fJ4 J4.C

J2'T22On obtient

JC4 f1 1.C J2'T2 p=11 Or C

J2Tp=Donc

JC4 f1 1T'T2 =Pour

1 JC4

f2

áá, on peut écrire :

()21T'Tg+= avec JC8 f2

2=gRemarques :

·Plus l'amortissement est fort, plus

g est grand et plus la mesure de T'est différente

de T.On appelle alors T la "période propre» du système oscillant et T' est sa " pseudo-période».·Si l'amortissement est faible, on pourra considérer

T'T»HGraphe

La représentation graphique de l'équation

)t'sin(e)t(tJ2 f mj+wq=q-est : θm θm sin (ω't +φ)

0 T 2T 3T t(s)

tJ f e2 -12

Figure 10: Courbe qui décrit le mouvement d'un oscillateur harmonique faiblement amorti I.4.Détermination de la constante de torsion ( Commission pédagogique du

Lycée Gallieni, 1975 )Le fil peut être considéré comme un cylindre de longueur OO'= l et de diamètre d.

Figure 11: Schéma d'un fil de torsion

Soit un cylindre OO' de hauteur l dont la base O est maintenue fixe et pour lequel on

impose à la section droite supérieure une rotation d'angle θ, en le soumettant à un couple de

moment G parallèle à l'axe OO'.Tous les points de la surface supérieure ont tourné de l'angle θ par rapport à ceux de la

surface inférieure maintenue fixe.Chaque prisme élémentaire constituant le cylindre tel que celui représenté sur la figure,

subit un cisaillement d'angle α.S'il est situé à la distance r de l'axe du cylindre, on a la relation géométrique

q=al rPar suite, la surface dS du prisme élémentaire est donc soumise à une force tangentielle

dS.dtt= (τ : contrainte de cisaillement, reliée au module de rigidité G par τ=G.α).13

Le moment résultant de toutes les forces dt correspondant à l'ensemble des prismes

élémentaires constituant le cylindre doit être égal au moment du couple exercé sur le cylindre.On écrira donc pour l'élément de surface dS :

dГ = r.dt= r τ.dS (avec dS=2П.r.dr)

Pour le cylindre, ,

R 0 R 0 4R3quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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