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Année 2011

THESE DE L'UNIVERSITE DE LYON

L'UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1

DIPLOME DE DOCTORAT

Spécialité : Didactique des Mathématiques

Maha MAJAJ

L'enseignement de l'arithmétique en France au collège et à la transition collège / lycée.

ASSUDE Teresa

BATTIE Véronique

DURAND-GUERRIER Viviane

GRUGEON Brigitte

HABSIEGER Laurent

OUVRIER-BUFFET Cécile

REMERCIEMENTS

Table des matières

PARTIE 1 : ................................................................................. CHAPITRE I- Travaux didactiques sur l'arithmétique .................................. CHAPITRE II- Cadre théorique et méthodologie de la recherche..................... CHAPITRE III - Organisations mathématiques et définitions en arithmétique.... PARTIE 2 ............................................................................ CHAPITRE IV - analyse écologique des programmes de collège et de Seconde depuis 1902 jusqu'à nos jours.................................................................. CHAPITRE V- analyse écologique de manuels de 1969- 2010........................ 170
PARTIE 3 ................................................................................. CHAPITRE VI- Analyse des rapports personnels des enseignants de la classe de 197
CHAPITRE VII- Analyse des rapports personnels des élèves de la classe de 263
Conclusion et perspectives ............................................................ 351

Bibliographie ............................................................................. ㌩㔩㔩

Annexes ................................................................................... ㌩㘩㔩

Introduction et problématique de la recherche

PARTIE 1

CHAPITRE I

Travaux didactiques sur l'arithmétique

" Théorie des nombres »

Dans ce chapitre, nous présentons un aperçu des travaux existant sur l'arithmétique, au sens

" théorie élémentaire des nombres ». D'une manière générale, les recherches en didactique

concernant l'arithmétique sont assez peu nombreuses, en particulier en France ; on trouve cependant un ensemble assez conséquent de travaux anglo-saxons concernant essentiellement la formation des professeurs de l'école primaire. Le faible nombre de travaux français sur

l'arithmétique peut être justifié par le fait que l'arithmétique a été absente des programmes de

l'enseignement secondaire pendant une vingtaine d'années jusqu'à sa réintroduction en 1998.

Si l'arithmétique est traitée dans les travaux anglais comme une véritable problématique dans

l'enseignement et l'apprentissage de l'arithmétique pour identifier les difficultés relatives à

ses objets, elle est, par contre, étudiée dans les travaux français pour examiner sa viabilité

dans l'enseignement lorsqu'elle était absente (Assude, 1998), et lorsqu'elle est réintroduite (Ravel, 2003). On trouve également un petit nombre de brochures publiées par les IREM qui sont consacrées à l'enseignement de l'arithmétique dans le secondaire. Dans ce qui suit, nous présentons les travaux que nous avons retenus sur l'enseignement et l'apprentissage de l'arithmétique dans les travaux anglo-saxons d'une part, et dans les travaux français d'autre part.

I. Travaux anglo-saxons

Les recherches faites sur la théorie des nombres se divisent en trois catégories : - Recherches relatives à l'apprentissage et l'enseignement des concepts de la théorie des nombres tels que les nombres premiers et la divisibilité. - Recherches concernant des objets plus généraux comme la preuve et la généralisation ; ces travaux utilisent les concepts de la théorie des nombres comme un contexte. - Recherches utilisant la théorie des nombres comme moyen pour accéder au domaine affectif de l'apprenant. Nous ne présentons que la première catégorie des recherches qui sont consacrées

spécifiquement à l'étude des principaux concepts de la théorie des nombres. Cette catégorie

de travaux correspond au coeur de notre étude.

Chapitre I

Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction. » et le deuxième en 2006 sous le titre : Number theory in mathematics education ». Nous signalons que la plupart des travaux proposés ici se trouvent dans le premier ouvrage. Pour présenter cet ensemble de travaux, nous avons choisi de proposer les concepts de la théorie des nombres suivant l'organisation suivante : division euclidienne (I.1), divisibilité (I.2), Nombres premiers (I.3) , Décomposition en facteurs premiers (I.4). Ce choix de présentation ne signifie évidemment pas que nous considérons ces concepts de

manière isolée. Nous allons trouver au contraire que la plupart de ces travaux mettent l'accent

sur l'articulation entre ces concepts et montrent que plusieurs difficultés rencontrées par les

enseignants en formation peuvent être mises en lien avec l'absence de connexion établie entre les concepts de la théorie des nombres. Enfin notons que le public de la plupart de ces travaux, notamment le travail de Zazkis, regroupe des enseignants en formation de l'école

élémentaire. Nous avons choisi de les présenter, car ces recherches traitent des concepts de la

théorie élémentaire des nombres qui sont au programme de collège et de la classe de seconde

en France, et sont au coeur de notre travail de thèse.

I.1 Travaux sur la division euclidienne

Nous avons retenu deux articles relatifs à la division euclidienne : Campbell (2002), Zazkis (1998). Les deux articles s'interrogent sur la compréhension de la division euclidienne chez

les enseignants en formation de l'école élémentaire. Les concepts, les procédures et le langage

de la division euclidienne sont la préoccupation de Campbell, tandis que Zazkis s'est

intéressée plus particulièrement à l'ambigüité lexicale de deux termes " diviseur » et

" quotient ». Dans ce qui suit, nous allons les présenter brièvement.

I.1.1 Campbell (2002)

La problématique de Campbell, dans son article intitulé " Coming to Terms with Division: Preservice Teacher's Understanding »; concerne l'identification des phénomènes

linguistiques, conceptuels, et procéduraux associés à la compréhension par les enseignants en

formations du concept de la division euclidienne. Pour lui, la division est une notion à multiples facettes, elle est soumise à plusieurs

interprétations étroitement liées en mathématiques. La division peut être vue comme un

Chapitre I

consacré à cette dernière notion

Les données recueillies et les analyses des auteurs montrent que les participants ont rencontré

des difficultés pour traiter les problèmes proposés, difficultés que nous détaillons ci-dessous.

- Concernant les termes de la division, l'auteur a identifié deux difficultés principales Pour certains participants, le reste de la division est la partie décimale du quotient rationnel, tandis que d'autres participants ne prennent pas en compte le fait que le reste doit être

inférieur strictement au diviseur, dans le cas où on leur propose l'écriture 21 = 2 × 9 + 3.

Chapitre I

Concernant la division euclidienne comme division théorème, l'auteur montre que

très peu des participants ont pu identifier le couple (q, r) correspondant à la forme donnée

tandis que la relation entre la divisibilité et la division euclidienne était évidente pour les

participants. De nombreux participants répondent correctement en utilisant une méthode consistant à calculer explicitement le nombre donné, puis à effectuer la division. Dans la question proposant d'identifier le reste et le quotient de la division de A par 2 et par 6

où A = 6 ×147 + 1, le reste de la division de A par 6 a été identifié par certains participants

comme une addition du quotient après avoir calculé (6 ×147)| 6 du reste (càd : le reste=147 +

1). De même, le quotient est identifié par d'autres participants dans la division de A par 2

comme une addition du quotient après avoir calculé (6 ×146) | 2 et du reste (càd : le quotient

= 3 ×147 + 1). L'auteur en conclut que ces résultats montrent que la relation entre la technique de la division

euclidienne et le théorème de la division euclidienne n'était pas évidente pour la plupart des

participants. - Concernant la différence entre la division des entiers et la division des rationnels,

cette étude a montré que les enseignants en formation n'ont pas une compréhension adéquate

en ce qui concerne cette différence. Il met en évidence que l'usage du terme " quotient » peut

induire une confusion du fait qu'il peut avoir des sens formels différents selon que l'on

considère ce terme par rapport à la division des entiers ou à la division des rationnels, ceci

devant être croisé avec le fait que ce terme a également différents sens conceptuels, selon que

l'on considère la division partition ou la division quotition.

Chapitre I

Il n'y a pas une familiarité avec la relation entre les nombres entiers, les nombres rationnels et leurs expressions symboliques. - Il y a une tendance forte pour interpréter les expressions de la division en utilisant un langage informel. - On observe un manque de distinction entre la division des entiers et la division des rationnels. Nous soulignons que Campbell dans cette étude a mis l'accent sur le théorème de la division euclidienne, par le fait que dans le couple (q, r), q et r doivent être des nombres entiers

naturels et que le reste doit être inférieur strictement au diviseur, et par la nécessité de mettre

en place ce théorème pour conclure après avoir effectué la division euclidienne. Notons cependant que, dans cette étude, il n'a pas mis en évidence l'unicité du couple (q, r).

L'ambiguïté des expressions de la division euclidienne, en particulier le terme " quotient »,

mise en évidence par Campbell, est l'objet d'étude du travail de Zazkis que nous présentons ci-dessous.

I.1.2 Zazkis (1998)

Zazkis, dans son article : " Divisors and Quotients : Acknowledging Polysemy », est amenée

à étudier le langage de la division euclidienne. Elle s'intéresse plus spécifiquement à étudier la

polysémie 4 des deux termes " diviseur » et " quotient » c'est-à-dire les différentes significations associées à ces deux termes.

Pour elle, la polysémie de " diviseur » et " quotient » présente une ambigüité lexicale et cette

ambiguïté ne relève pas de la différence entre l'usage familier et l'usage mathématique ; elle

est interne au contexte mathématique lui-même. Elle explique que le diviseur a deux sens dans le contexte mathématique de la division : I. Premier sens : parmi les termes de la division, c'est le nombre par lequel on divise.

Chapitre I

" For any two whole numbers a and b, where b is non-zero, b

is a divisor (or factor) of a if and only if there exists a whole number c such that b c = a. » (P.27)

(a) En termes de division: " b is divisor of a in this sense if and only if the division of a by b results in a whole number, with no remainder. » (p.27)

Nous ajoutons que la définition ci-dessus est en fait celle de la relation " être un diviseur de »

qui est la relation réciproque de la relation " être divisible par ». De ce fait, l'ambigüité

lexicale renvoie également ici à une ambiguïté sur le statut logique des termes.

De la même manière, le mot " quotient » a deux sens, selon que l'on considère la division

euclidienne ou la division dans un anneau (Q) ou un corps (R) : I. Premier sens : il désigne le résultat de la division. II. Deuxième sens : ce terme concerne la division euclidienne ; il correspond à la partie entière du résultat dans Q ou R (au sens I). Les données de cette étude sont recueillies lors d'une discussion et d'entretiens avec des enseignants de l'école élémentaire en formation. Les résultats obtenus à l'issue de la discussion en classe indiquent que 19 participants interrogés sur le quotient et le reste de la division de 12 par 5 ont donné comme réponse 2 pour le quotient et 2 pour le reste tandis que 37 participants ont donné comme quotient 2.4 ou

12| 5 ; ces réponses sont justifiées à l'aide des références qui étaient disponibles pour les

participants, dont les manuels et les dictionnaires. Les participants ayant donné le quotient 2,

ont expliqué le quotient en donnant le sens (II) associé à la division euclidienne, tandis que les

participants ayant donné la réponse 2.4 et 12| 5 ont expliqué le quotient comme le résultat de

la division.

Les résultats obtenus lors des entretiens montrent que le sens attribué au terme " quotient »

par les participants est différent de celui retenu par l'interviewer. Zazkis explique que le mot " quotient » apparaît souvent dans la classe avec " somme »,

" différence » et " produit » pour désigner le résultat de chacune des quatre opérations

arithmétiques. Contrairement au cas de l'opération de " addition » et " multiplication », la

signification de " quotient » est ambiguë lorsqu'il désigne le résultat de la division, car

l'ensemble des entiers est clos pour l'addition et la multiplication, alors qu'il n'est pas clos par

rapport à la division. La signification de quotient dépend du contexte d'usage de ce terme, soit

dans la division des entiers où le résultat est le quotient et reste entiers, soit dans la division

des rationnels, dans laquelle le terme quotient désigne le résultat de l'opération. L'auteur

Chapitre I

I.2. Travaux sur la divisibilité

La divisibilité occupe une place privilégiée dans les recherches sur l'enseignement et l'apprentissage des concepts et des méthodes de la théorie élémentaire des nombres. Les

travaux que nous présentons ci-dessous sont des travaux consacrés à la divisibilité et la

structure multiplicative (Zazkis et Campbell, 1996), (Brown et al, 2002), des travaux relatifs

Chapitre I

I.2.1. Divisibility and multiplicative structure (Zaksis & Campbell, 1996) Nous présentons d'abord le travail de Zazkis et Campbell (1996) intitulé "Divisibility and Multiplicative Structure of Natural Numbers: Preservice teachers' understanding", car leur travail sera un outil dans le travail de Bown et al (2002) sur le concept de divisibilité.

Dans ce texte, Zazkis et Campbell rapportent les résultats d'une étude sur la manière dont les

enseignants en formation comprennent les concepts de la théorie des nombres, et en

particulier le concept de la divisibilité et la structure multiplicative des nombres naturels, et ils

visent à analyser et décrire les stratégies cognitives utilisées dans la résolution des problèmes.

Pour conduire cette étude, ils se réfèrent à la théorie APOS, dont ils se proposent en outre

d'étudier dans quelle mesure elle permet de comprendre comment se construit le concept de divisibilité chez les apprenants.

Ils présentent la théorie APOS (action, processus, objet et schéma) qui a été proposée par

Dubinsky (1991) pour analyser la construction des connaissances mathématiques de la manière suivante : l'action est une transformation des objets pour obtenir d'autres objets.

Lorsque l'action totale peut se dérouler entièrement dans l'esprit d'un individu ou peut être

imaginée comme ayant lieu sans que la personne passe nécessairement par toutes les étapes

spécifiques, l'action a été intériorisée pour devenir un processus. Les nouveaux processus

peuvent aussi être construits en inversant ou coordonnant les processus existants. Quand un

processus peut être transformé par une action, alors on dit que le processus a été encapsulé

pour devenir un objet. La construction des connexions qui associent les actions, les processus

et les schémas à un objet particulier est vue comme la thématisation du schéma associé à cet

objet. Chaque objet est ensuite repris comme un noyau d'un schéma.

Les données de cette étude ont été recueillies lors d'entretiens conduits avec 21 enseignants

en formation de l'école élémentaire. L'analyse des réponses des participants est divisée en

trois parties : a) description du développement du concept de divisibilité suivant la théorie

d'APOS, (b) étude des relations conceptuelles et procédurales entre la divisibilité et la division, (c) étude des critères de divisibilité. Dans la première partie de l'analyse, Zazkis et Campbell ont examiné les réponses des

participants pour deux problèmes, en s'appuyant sur la théorie d'APOS. Nous allons présenter

ici un de ces deux problèmes, puis nous indiquerons les étapes par lesquelles les participants

sont passés pour construire le concept de divisibilité et qui ont été identifiées par les auteurs:

"Consider the number M = 3 3 2 5

× 7.

Is M divisible by 7? Explain.

Chapitre I

Is M divisible by 5, 2, 9, 63, 11, 15? Explain." (P.542) Les auteurs ont trouvé que seuls six participants parmi les vingt-et-un ayant participé à l'expérimentation étaient capables de démontrer et de résoudre les problèmes avec une

compréhension de la divisibilité comme objet ; les quinze participants restants n'étaient pas

capables de donner dans certains cas la réponse sans effectuer la division ; parmi ceux-là huit

ont exclusivement effectué la division.

Les stratégies cognitives par lesquelles les participants sont passés pour répondre à cette

question, sont décrites par Zazkis et Campbell selon les étapes suivantes :

Action : Les participants ont pensé à la divisibilité comme une action, ils ont calculé M

et ont effectué ensuite la division par 7 pour décider si M est divisible par 7. - Intériorisation: De l'action au processus : les auteurs expliquent que l'intériorisation est caractérisée par le changement qui permet de passer de l'activité procédurale à la compréhension du processus. La distinction action / processus est utilisée pour distinguer

l'activité procédurale de la compréhension du processus. Ils soulignent que les participants ici

ont pensé à l'activité de la division comme un processus, dans lequel la division est visée,

mais n'est pas réellement effectuée. Le participant a compris que le processus de la division

permet de décider si un nombre entier satisfait les critères de divisibilité. Il a pu identifier 7

comme un facteur sans effectuer la division, mais il a écrit M comme produit de deux facteurs M =

× 7.

Les auteurs ont trouvé que les participants ont pensé à la divisibilité en termes de division ou

multiplication. Nouveaux processus : la coordination et l'inversion : Zazkis et Campbell soulignent que les nouveaux processus peuvent être obtenus par la coordination des processus existants ou l'inversion des processus existants. Le processus de la divisibilité par 15 est pris comme une coordination de la divisibilité par 3 et par 5, ainsi un nombre est divisible par 15 s'il est divisible par 5 et par 3. Les participants ont pu décider M est divisible par 63 car M est divisible par 9 = 3² et 7 (63 = 7 × 9). Nous soulignons 5 que la divisibilité par le produit (15) qui est vue comme une coordination de deux nombres faisant le produit (5 et 3) n'est correcte que dans le cas où ces deux nombres (5 et 3) sont premiers entre eux. Zazkis et Campbell ont trouvé que, dans cet exemple, plusieurs participants avaient des

difficultés pour répondre aux questions qui nécessitent une coordination : ces difficultés

apparaissent avec tous les facteurs de M qui ne sont pas explicitement dans la décomposition de M. a et b divisent un entier c, et si a et b sont premiers entre eux, alors ab divise c.

Chapitre I

Encapsulation de processus à l'objet : selon les auteurs, l'encapsulation de la

divisibilité en tant qu'objet est avérée lorsque l'apprenant commence à distinguer le concept de

la divisibilité du processus de la division et/ou de la multiplication. Les participants ici expliquent la divisibilité de M par 7 et 5 en termes de facteurs dans la décomposition en nombres premiers de M. Cependant, ils n'ont pas reconnu directement la divisibilité de M par les nombres composés comme 81 ; comme le montre le fait que pour répondre à la question, ils effectuent la division de M par 81.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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