Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 fév. 2017 Soit I un sous-ensemble fini de N la somme de tous les termes ai
CALCUL LITTÉRAL
Sommes (ou différence) de termes. Produits de facteurs. ? 3. (2 + 4) + 3 Méthode : Appliquer les identités remarquables pour développer (1).
Les méthodes de factorisation
3. a b. + + est une somme de 3 termes : a b et 3. (2) x y z w évidence
Cours-développement-factorisation5.pdf
b) Identités remarquables: 2) Factorisation à l'aide des identités remarquables : ... Si on a à factoriser uniquement deux termes : identité (3).
DEVELOPPEMENT FACTORISATION
http://www.college-tanguy-prigent-st-martin-des-champs.ac-rennes.fr/sites/college-tanguy-prigent-st-martin-des-champs.ac-rennes.fr/IMG/pdf/chepitre_3_dev_fact_id_rem.pdf
Chapitre 10 – Identités remarquables et les équations sous la forme
I – Les identités remarquables pour développer plus vite Et on remarque que le facteur 3 est présent dans les deux termes.
Traduction anglaise des termes mathématiques
29 mar. 2015 Traduction anglaise des termes mathématiques ... barycentric coordinates. PAUL MILAN. 3. TRADUCTION FRANÇAIS-ANGLAIS ... identité : identity.
Algèbre Polynômes et opérations
Les termes d'un polynôme sont les monômes de la forme réduite a ce que l'on appelle les identités remarquables identités à connaître par coeur:.
Identités remarquables équation produit nul
Factoriser en reconnaissant une identité remarquable. L'expression 25 + 4 ² – 20 est une somme de 3 termes qui n'ont pas de.
CALCUL ALGEBRIQUE
Dans l'exemple on a distribué la multiplication par x sur les termes 4 et y. 2. Double-distributivité. Propriété : 3. Identités remarquables. Propriété : Pour
IDENTITES REMARQUABLES 3 - ac-reimsfr
Exercice n°3 : Calculer mentalement en utilisant une identité remarquable A = 492 B = 522 C = 47 53 D = 1042 – 962 A = (50 – 1)2 B = (50 + 2)2 C = (50 – 3)(50 + 3) D = (104 + 96)(104 – 96) A = 2500 – 100 + 1 B = 2500 + 200 + 4 C = 502 – 32 D = 200 8 A = 2401 B = 2704 C = 2500 – 9 D = 1600 C = 2491
Les identités remarquables - ac-guyanefr
3 Exemples : Pour le développement de ces exemples on utilise les règles de la simple distributivité et de la double distributivité vues précédemment A Carré d’une somme =(3????+4) On peut donc passer directement =(3????)2+2×3×4????+42 de l’étape 1 à l’étape 3 = 9????2+24????+16 B Carré d’une différence
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La troisième identité peut aussi être lue : a² - b² = (a + b)(a – b) Elle fournit ainsi une formule de factorisation de la différence de deux carrés 1- Exemple de développement Développer A = (2x – 3)(2x + 3) A = (2x – 3)(2x + 3) = (2x)² - 3² = 4x² - 9 On a appliqué la 3ème identité en prenant a = 2x et b = 3
Comment identifier les identités remarquables ?
Il est donc important que tu saches identifier les identités remarquables quand tu les rencontres et qu'ensuite tu sois capable de les manipuler rapidement et correctement. Développer un produit, c'est le transformer en une somme ou une différence. Exemple : Développer l'expression A = . II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme
Comment calculer les identités remarquables de degré 3 ?
identités remarquables de degré 3. (a - b) 3 = a 3 - 3a²b + 3ab² - b 3. a 3 - b 3 = (a - b) ( a² + ab +b²) a 3 + b 3 = (a + b) ( a² - ab +b²) Utiliser la calculatrice des polynômes pour vérifier vos calculs.
Comment calculer la troisième identité remarquable ?
La troisième identité remarquable : (a b) (a-b) En utilisant le même principe qu’auparavant, vous obtenez a²-ab ba-b².Comme ab = ba et –ab ab = 0. Les 2 termes « ab » et « ab » s’annuleront.Le résultat final est : a²-b².
Comment factoriser les 3 identités remarquables ?
Les trois identités remarquables sont très utiles en mathématiques et peuvent être facilement factorisées. On peut donc factoriser ces 3 identités remarquables de la manière suivante : Il y a trois identités particulières que l’on peut trouver en factorisant les expressions suivantes : a²-b², a²+b² et a²-2ab+b².
Les symboles somme et produit
Table des matières
1 Le symbole sommeΣ2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Linéarité et changement d"indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sommes télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Sommes à connaître. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Sommes doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Le symbole produitΠ9
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Relation produit - somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Produits télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1 Le symbole sommeΣ
1.1 Définition
Définition 1 :Soit(ai)une suite de nombres réels ou complexes. Soit deux entiers naturelsnetptels quep?n, on définit la somme suivante par : n∑ k=pa k=ap+ap+1+···+an Soit I un sous-ensemble fini deN, la somme de tous les termesai,idécrivant I sera notée∑ i?Ia iRemarque :
La variablekest une variable muette, c"est à dire qu"une fois la somme calculée, le résultat ne dépend plus dek. On peut donc lui donner le nom qu"on veut :i, j,k, etc. à exception des bornes de la somme, icipetn:n∑ k=pa k=n∑ i=pa i=n∑ j=pa jOn retrouve cette variable muette, lorsque l"on veut calculer une somme àl"aide d"un algorithme. (boucle Pour)
Lorsque les termes de la somme ne dépendent pas de la variable, on somme des termes constants donc : n∑ k=03=3+3···+3? n+1 termes=3(n+1)Si I={2;4;6}alors∑
i?Ia i=a2+a4+a6.Exemples :
1+2+···+n=n∑
k=1k.1+2+22+···+2n=n∑
k=02k. 1 n+1+1n+2+···+12n=n∑ k=11n+k.1+3+5+···+(2n-1) =n∑
k=1(2k-1). ?Ne pas confondre : n∑ k=1(k+1) =n∑ k=1k+navecn∑ k=1k+1 les parenthèses font toute la différence. n∑ k=022k(n+1 termes) et2n∑ k=02k(2n+1 termes) Propriété 1 :Relation de Chasles et linéarité :Relation de Chasles :
n∑ k=pa k= m∑ k=pa k+n∑ k= m+1 akL"opérateur somme est linéaire :
n∑ k=p(αak+βbk) =αn∑ k=pa k+βn∑ k=pb k.PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
Exemple :n∑
k=0a k=2∑
k=0a k+n∑ k= 3 aketn∑ k=0(3k+4k) =n∑ k=03k+4n∑ k=0k1.2 Linéarité et changement d"indice
Propriété 2 :Changement d"indice.
L"expression à l"aide du symbole
∑n"est pas unique. On peut écrire une somme avec des indices différents. Les changements d"indicesk→k+p(translation)k→p-k(symétrie) sont les plus fréquents :n∑ k=1a k=n+p k=p+1a k-p=p-1 k=p-na p-kExemples :Calculer la somme :Sn=n∑
k=1?1k-1k+1?
On utilise la linéarité :Sn=n∑
k=11k-n∑ k=11k+1 On effectue un changement d"indice sur la deuxième somme :k→k+1 : S n=n∑ k=11 k-n+1∑ k=21k. k=21k-n∑ k=21k-k=n+1? ???1 n+1=1-1n+1Pourn?2, on considère la sommeSn=n+1∑
k=2k22k-1. Faire une translation d"indice pour que la nouvelle variable varieentre 0 et(n-1) et une symétrie d"indice pour que la nouvelle variable varie entre 2et(n+1). Pour la translation, il suffit de faire :k→k-2, on a alors : S n=n-1∑ k=0(k+2)22(k+2)-1=n-1∑ k=0(k+2)22k+3 Pour la symétrie, il faut déterminer le milieu :2+ (n+1)2=n+32. On effectue alors la symétriek→n+3-k, on a alors : S n=n+1∑ k=2(n+3-k)22(n+3-k)-1=n+1∑ k=2(n+3-k)22n+5-2kPAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1.3 Sommes télescopiques
Théorème 1 :Sommes télescopiques
Soit une suite(an)une suite de nombres réels ou complexes, on a : ?n,p?N,p?n,n∑ k=p(ak+1-ak) =an+1-apRemarque :n∑
k=0(ak+1-ak) =an+1-a0etn∑ k=0(bk-bk+1) =b0-bn+1Démonstration :On pose :Sn=n∑
k=p(ak+1-ak)On utilise la linéarité :Sn=n∑
k=pa k+1-n∑ k=pa k On effectue un changement d"indice sur la première somme :k→k+1 S n=n+1∑ k=p+1a k-n∑ k=pa k On sépare les termes différents :Sn=an+1+n∑ k=p+1a k-n∑ k=p+1a k-ap=an+1-ap Exemples :Lessommestélescopiquessontuneméthodetrèsefficacepourcalcu- ler la somme des termes d"une suite(un). Il s"agit de trouver une suite(vn)pour queun=vn+1-vn. Ce n"est bien sûr pas toujours possible malheureusement.Calculer les sommes suivantes :
Sn=n∑
k=11k(k+1): on décompose1k(k+1)en1k-1k+1 S n=n∑ k=11 k(k+1)=n∑ k=1?1k-1k+1?
=1-1n+1.Rn=n∑
k=1k×k! : on décomposek×k! en(k+1)k!-k!= (k+1)!-k! R n=n∑ k=1k×k!=n∑ k=1[ (k+1)!-k!]= (n+1)!-1Tn=n∑
k=11k(k+1)(k+2) a k(k+1)-a(k+1)(k+2)=a(k+2)-akk(k+1)(k+2)=2ak(k+1)(k+2), on aa=12 T n=n∑ k=11 k(k+1)(k+2)=12n∑ k=1?1k(k+1)-1(k+1)(k+2)?
1 2?12-1(n+1)(n+2)?
n(n+3)4(n+1)(n+2)
PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1.4 Sommes à connaître
Théorème 2 :Somme des entiers, des carrés, des cubes Pour tout entier naturelnnon nul, on a les relations suivantes :S1(n) =n∑
k=1k=1+2+···+n=n(n+1)2S2(n) =n∑
k=1k2=1+4+···+n2=n(n+1)(2n+1)6S3(n) =n∑
k=1k3=1+8+···+n3=n2(n+1)24 Démonstration :La première formule a été démontré en première en ordon- nant la somme dans l"ordre croissant puis dans l"ordre décroissant. Les deux der- nières formules ont été démontré en terminale par récurrence. Mais les démons- trations directes sont possibles à l"aide de sommes télescopiques. On pourrait généraliser ces démonstration aux somme des puissancespième des entiers na- turels.S1(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)2-k2] = (n+1)2-1 n∑ k=1[(k+1)2-k2] =n∑ k=1(k2+2k+1-k2) =n∑ k=1(2k+1) =2n∑ k=1k+n∑ k=11=2S1(n) +nOn en déduit que :
2S1(n) +n= (n+1)2-1?S1(n) =(n+1)2-(n+1)
2=n(n+1)2
S2(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)3-k3] = (n+1)3-1 n∑ k=1[(k+1)3-k3] =n∑ k=1(k3+3k2+3k+1-k3) =n∑ k=1(3k2+3k+1) =3n∑ k=1k2+3n∑ k=1k+n∑ k=11=3S2(n) +3S1(n) +nOn en déduit que :
3S2(n)+3S1(n)+n= (n+1)3-1?3S2(n) =?(n+1)3-1-3S1(n)-n??
S 2=1 3? (n+1)3-3n(n+1)2-(n+1)? =2(n+1)3-3n(n+1)-2(n+1)6 (n+1)(2n2+4n+2-3n-2)6=(n+1)(2n2+n)6=n(n+1)(2n+1)6
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
S3(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)4-k4] = (n+1)4-1 n∑ k=1[(k+1)4-k4] =n∑ k=1(k4+4k3+6k2+4k+1-k4) =n∑ k=1(4k3+6k2+4k+1) =4n∑ k=1k3+6n∑ k=1k2+4n∑ k=1k+n∑ k=11=4S3(n) +6S2(n) +4S1(n)+nOn en déduit que :
4S3(n) +6S2(n) +4S1(n) +n= (n+1)4-1?
4S2(n) = (n+1)4-1-6S2(n)-4S1(n)-n
= (n+1)4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1) = (n+1)? (n+1)3-n(2n+1)-2n-1? = (n+1)(n3+3n2+3n+1-2n2-n-2n-1) = (n+1)(n3+n2) =n2(n+1)2Théorème 3 :Somme géométrique
Pour tous naturelspetntels quep?n
et pour tout réel ou complexextel quex?=1, on a : n∑ k=pxk=xp×1-xn+1-p1-x=premier terme×1-xNbre de termes1-x
Démonstration :PosonsSn=n∑
k=pxk.On utilise une somme télescopique :
S n-xSn=n∑ k=pxk-n∑ k=pxk+1=n∑ k=p(xk-xk+1) =xp-xn+1 On factorise :Sn(1-x) =xp(1-xn+1-p)x?=1?Sn=xp×1-xn+1-p1-xExemple :S=n∑
k=32k=23×1-2n-21-2=23(2n-2-1) =2n+1-8
Théorème 4 :Factorisation standard
Pour tout naturelnet pour tous réels ou complexesaetb, on a : a n-bn= (a-b) n-1∑ k=0an-k-1bk= (a-b)(an-1+an-2b+···+abn-2+bn-1)PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
Démonstration :On pose :Sn=n-1∑
k=0an-k-1bk, on a alors :aSn=n-1∑
k=0an-kbk=an+n-1∑ k=1an-kbkk→k+1=an+n-2∑ k=0an-k-1bk+1bSn=n-1∑
k=0an-k-1bk+1=n-2∑ k=0an-k-1bk+1+bn k=0an-k-1bk+1-n-2∑ k=0an-k-1bk+1-bn=an-bn1.5 Sommes doubles
Définition 2 :Lorsqu"on somme sur deux indices, on parle de somme double. Soit(aij)une suite double de nombres réels ou complexes et soit deux entiers naturelsnetp, on note :1?i?n1?j?pa
ij=n∑ i=1p j=1a ij=p j=1n∑ i=1a ijsomme des termes d"un tableaun×p. 1?i ?j?na ij=n∑ j=1 j i=1a ij=n∑ i=1n∑ j=i aijsomme triangulaire d"un tableaun2. 1?i1?i,j?na
ij=∑1?i?n1?j?na
ij On peut schématiser ces sommes double par un tableau double entrée.1?i?n1?j?pa
ij? ij12...pTotal1a11a12...a1p
p j=1a 1j2a21a22...a2p
p j=1a 2j nan1an2...anp p j=1a nj Tot. n∑ i=1a i1n∑ i=1a i2 n∑ i=1a ip n∑ i=1p j=1a ij p j=1n∑ i=1a ijPAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1?i ?j?na ij? ij12...nTotal1a11a12...a1n
n∑ j=1a 1j2a22...a2n
n∑ j=1a 2j nann n∑ j=1a nj Tot.1∑
i=1a i12∑ i=1a i2 n∑ i=1a in n∑ i=1n∑ j=ia ij n∑ j=1j i=1a ijPour∑
1?i1?i ibj(carré d"une somme) Démonstration :La première formule est directement lié à la définition de la somme double. Pour le carré d"une somme, on fait intervenir la symétrie du tableau double en- trée en séparant la somme en trois parties (le triangle supérieur est identique au triangle inférieur) : n∑ i=1a i? 2 =n∑ i=1a i×n∑ j=1aquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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