x x x x
Donc la longueur d'une arête vaut : 54 : 6 = 9 cm. 4 SABCD est une pyramide à base rectangulaire dont les faces latérales sont des triangles isocèles.
EXERCICE 2
SABCD est une pyramide régulière. La nature de la base ABCD est carré. ... 5 cm. S. E. F. G. H. O. 4 cm. 3 cm. 65 cm. 8 cm. 5 cm.
Code : Thème : Géométrie de lespace LECON 14 : PYRAMIDES ET
3 × 6 × 6?2. 2. = 54?2 ². Exercice 2. L'unité de longueur est le centimètre. SABCD est une pyramide régulière de sommet S et de base le carré ABCD de
5 SABCD est une pyramide à base rectangulaire dont les faces
7 juin 2016 5 SABCD est une pyramide à base rectangulaire dont les faces latérales sont des ... ABCD. 63 cm. 9 cm². 1 Calcule le volume des pyramides.
x x x x
5 SABCD est une pyramide à base rectangulaire d'une pyramide de sommet S à base triangulaire. ... Un cône de révolution de hauteur 6 cm et dont la base ...
SABCD est une pyramide régulière. a. Quelle est la nature de la
propriété de Pythagore au triangle ABC : SEFGH est une pyramide à base rectangulaire. ... 5 cm. S. E. F. G. H. O. 4 cm. 3 cm. 65 cm. 8 cm. 5 cm.
I. Pyramide
Un polygone à n côtés appelé base de la pyramide. La pyramide SABCD à une base qui est un carré de 4 cm de côté. La hauteur SH = 6 cm.
Dernières corrections
SABCD est une pyramide dont la base est le rectangle ABCD. On place sur sa hauteur [ ]SA le point A? tel que. 6. SA? = cm. En coupant la pyramide SABCD par
THEME :
Le triangle SAB est rectangle en A. EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE = 3 cm. 1
Activités numériques [12 Points]
[12 Points]. EXERCICE 1. SABCD est une pyramide à base rectangulaire. ABCD de hauteur [SA]. On donne SA = 15 cm
Module 1 :Section plane d’une pyramide à base carrée
Module 1 :Section plane d’une pyramide à base carrée Travail à effectuer SABCD est un pyramide régulière à base carrée ABCD et de sommet S On appelle O le centre de symétrie du carré On a SO = 6 cm et SA = 7 cm Une section plane de cette pyramide parallèlement à la base ABCD coupe [SA] [SB] [SC] et
Volumes et sections - Mathovore
SABCD est une pyramide régulière à base carrée avec AB = 6 cm et SA = 5 cm On souhaite trouver son patron Pour cela on va « déplier » la pyramide ainsi : On appelle S1 S2 S3 S4 les points issus de l' « éclatement » de S tels qu'ils forment les triangles S1AB S2BC S3CD S4DA Quelle est la nature de ces triangles ?
(5 points) La hauteur [SI] de la pyramide a pour longueur SI
SABCD est une pyramide régulière dont la base est le carré ABCD de côté 5 cm et de centre I La hauteur [SI] de la pyramide a pour longueur SI = 3 cm 1) Calculer le volume de la pyramide 2) Soit M le milieu de l'arête [BC] Démontrer que la longueur IM = 25 cm 3) On admet que le triangle SIM est rectangle en I a) Calculer tan M SI)
Chapitre 12 Pyramide - Collège Clotilde Vautier
Propriété : Le volume d'une pyramide est égale à : Volume = 1 3 ×airedelabase×hauteur Exemple : SABCD est une pyramide régulièretel que AB = 5 cm et tel que [SH] soit la hauteur avec SH = 6 cm Comme SABCD est une pyramide régulière donc sa base est un carré Donc Aire de la base = côté×côté = 5×5 = 25 cm²
Quelle est la hauteur d'une pyramide à base carrée?
EXERCICE 22 - VOLUME D'UNE PYRAMIDE À BASE CARRÉE Sur la ?gure ci-dessous, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9 cm et SA = 12 cm. Le triangle SAB est rectangle en A.
Qu'est-ce que la pyramide à base carrée ?
De même, la pyramide à base carrée n'est pas centrosymétrique. Le groupe ponctuel de symétrie de la pyramide à base carrée est 4 mm. Sa projection stéréographique avec les pôles de la pyramide est donnée dans la figure d) ci-dessous. La pyramide à base carrée est un polyèdre de coordination rencontré fréquemment dans les composés du vanadium .
Comment calculer la base d’une pyramide ?
La base de la pyramide est un carré parfait. Or, la diagonale de n’importe quel carré est égale à la longueur du côté multipliée par la racine carrée de 2. Et inversement, on peut retrouver le côté du carré à partir de la diagonale en la divisant par la racine carrée de 2 [10] .
Est-ce que la pyramide à base carrée est centrosymétrique ?
Il n'existe pas d'axe de rotation d'ordre 2 ni de plan miroir perpendiculaire à la direction [001], car sinon il existerait un sommet opposé à l'apex de l'autre côté de la base carrée. De même, la pyramide à base carrée n'est pas centrosymétrique.
Exercice 1 : Brevet - Rouen - 1997
I·RNÓHP ŃL-contre est constitué d'un cylindre et d'un cône de révolution ayant une base commune dont le rayon mesure 5 cm. La hauteur du cône mesure 12 cm, celle du cylindre mesure 4 cm. On désigne par V1 le volume du cône, par V2 le volume du cylindre, et VT est le volume total de l'objet.1) Calculer les valeurs exactes de V1 et V2. Vérifier que V1 = V2.
2) En déduire la valeur exacte du volume total VT puis en donner une valeur
arrondie au cm3.Solution :
a) Calcul du volume V1 du cône : Le cône a un rayon de base de 4 cm et une hauteur de 12 cm. IH YROXPH G·XQ Ń{QH HVP GRQQp SMU OM IRUPXOH V1 = 3 h BRZ % HVP O·MLUH GH OM NMVH GX Ń{QHB
R Aire de la base du cône ( disque de 5 cm de rayon ) :5²
R Volume du cône de 12 cm de hauteur :
V1 = 312 5² u
Remarque : Il est LQXPLOH GH IMLUH OH ŃMOŃXO HQ GHX[ pPMSHVB HO HVP SRVVLNOH G·pŃULUH GLUHŃPHPHQP
V1 = 312 5² u
Il est demandé une valeur exacte et non ici une valeur approchée ou un arrondi.Nous avons donc :
V1 =100 4 25 3
4 3 25 3
12 25 uu
uuu uu que nous écrirons : V1 = 100
Calcul du volume V2 du cylindre :
Le cylindre a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 4 cm. IH YROXPH G·XQ Ń\OLQGUH HVP GRQQp SMU OM IRUPXOH V2 = hBRZ % HVP O·MLUH GH OM NMVH GX Ń\OLQGUHB
Le volume de notre cylindre est donc :
V2 =4 5² u
100 4 25 uu
soit : V2 = 100
THEME :
PYRAMIDE ET CONE
AGRANDISSEMENT ET REDUCTION
V1 = 100
et V2 = 100
donc : V1 = V2 b) Calcul du volume total VT :VT = V1 + V2 =
100
100
200
VT = 200
soit (valeur arrondie au cm3 ) VT3cm 628
Exercice 2 : Brevet ² Nord - 2006
Sur la figure ci-contre, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA] telle que AB = 9 cm etSA = 12 cm. Le triangle SAB est rectangle en A.
EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE = 3 cm.1) a) Calculer EF.
b) Calculer SB.2) a) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
b) Donner le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SEFGH. c) En déduire le volume de SEFGH. On donnera une valeur arrondie à l'unité.Solution :
1) a) Calcul de EF :
IM VHŃPLRQ ()*+ HVP RNPHQXH j O·MLGH G·XQ SOMQ SMUMOOqOH j OM NMVH GRQŃ OHV GURLPHV () et (AB) sont
parallèles. ( de même les droites (FG) et (BC), de même les droites ( HG) et (DC) , de même les droites (EH) et
(AD) ).Dans les triangles SAB et SEF,
E (SA)
F (SB)
les droites ( EF) et (AB) sont parallèles. GRQŃ G·MSUqV OH POpRUqPH GH 7OMOqV QRXV MYRQV : AB EF SB SF SA SE 9 EF SB SF 12 3Calcul de EF :
9 EF 12 3 donc EF12 93usoit EF = ) cm ( 2,25 4 9 43
93 u
u
EF = 2,25 ( cm )
b) Calcul de SB :Dans le triangle SAB rectangle en A ,
1RXV MYRQV G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH :
SB² = SA² + AB²
SB² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225
SB = ) cm ( 15 225SB = 15 ( cm )
2) a) Calcul du volume de la pyramide SABCD :
La base de cette pyramide est un carré de 9 cm de côté et sa hauteur est 12 cm. IH YROXPH G·XQH S\UMPLGH HVP GRQQp SMU OM IRUPXOH V = 3 h BRZ % HVP O·MLUH GH OM NMVHB
VSABCD =
) cm ( 324 12 93 312 93 3
312 993uu
uuu uuVSABCD = 324 cm3
b) Calcul du coefficient de réduction :La pyramide SEFGH est un réduction de la pyramide SABCD. Le rapport est égal à : ( rapport des
hauteurs par exemple ² ou rapport des mesures de côtés associés , par exemple EF et AB ) k = 4 1 12 3 ( ou k = 410,259
0,25 9
92,25 u
Le rapport de réduction est
4 1 ou 0,25 c) Calcul du volume de SEFGH :Méthode 1 :
IM VHŃPLRQ G·XQH S\UMPLGH SMU XQ SOMQ SMUMOOqOH j OM NMVH M OM PrPH IRUPH TXH OM NMVHB La base EFGH de la pyramide SEFGH est donc un carré de 2,25 cm de côté. La hauteur de cette pyramide étant égale à 3 cm, le volume est donc :VSEFGH =
) cm ( 5 5,0625 2,25²33 2,25²
33 2,25² 3
u uVSEFGH = 5 ( cm3 )
Méthode 2 :
La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD de rapport 4 1Donc le volume de la pyramide SEFGH est :
VSEFGH =
)4 1(3VSABCD =
) cm ( 5 5,0625 64324324 64
1324 4
1 324 )4
1(3 333 u u u
VSEFGH = 5 ( cm3 )
Remarque :
Le rapport de réduction est demandé à la deuxième question de cet exercice.1RXV QH GHYRQV SMV POpRULTXHPHQP O·Xtiliser avant cette question. Sinon, déterminer ce rapport dès le
début permet de simplifier ce problème. Si dés le début nous le calculons, la première question est
VLPSOLILpHB HO Q·HVP SOXV XPLOH GH IMLUH MSSHO MX POpRUqPH GH 7OMOqV HP j VM UpGMŃPLRQ MVVez lourde.
Avec un rapport de réduction de
4 1 , obtenu en faisant le rapport des hauteurs des deux pyramides ( voirquestion 2 b ), nous pouvons écrire ( toutes les longueurs de la pyramide SEFGH sont égales à celles de la
pyramide SABCD multipliées par ce rapport 4 1 EF = 4 1 AB = ) cm ( 2,25 4 99 41 u
Exercice 3 : Brevet ² Afrique 3 - 1995
Voici, représenté en perspective cavalière, un parallélépipède rectangle ou pavé droit ABCEFGH. La face ABCD est un carré de 3 cm de côté.On donne HD = 6 cm.
1) Déterminer les longueurs des segments [BD] et [DE].
On donnera les valeurs exactes de ces mesures.
2) Le triangle EDC est rectangle en D. Calculer la longueur exacte de
son hypoténuse.3) On considère la pyramide de sommet E et de base ABCD et de
hauteur EA.Montrer que son volume est 18 cm3.
4) Compléter le patron de la pyramide EABCD représenté à la fin du
problème.5) On fabrique cette pyramide à partir du pavé droit. Quel est le
volume perdu au cours de cette opération ?6) La pyramide ainsi obtenue est
une maquette à l'échelle 1/50 d'une pyramide réelle. Calculer la hauteur, l'aire de la base et le volume de la pyramide réelle. Voici l'ébauche d'un patron de la pyramide EABCD.Solution :
1) Calcul de BD :
Dans le triangle ABD rectangle en A ,
1RXV MYRQV G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH :
BD² = AB² + AD²
BD² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18
2 3 2 3 2 9 2 9 18 BDu u u
Calcul de DE :
Dans le triangle ADE rectangle en A ,
1RXV MYRQV G·MSUqV Oe théorème de Pythagore :
DE² = AE² + AD²
DE² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
5 3 5 3 5 9 5 9 45 DEu u u
2) Nature du triangle EDC :
IM GURLPH FG HVP SHUSHQGLŃXOMLUH MX[ GURLPHV $G HP G+ OHV IMŃHV G·XQ SMUMOOpOpSLSqGH VRQP GHV
rectangles. Donc (CD) est perpendiculaires à toutes les droites de la face ADHE, passant par D. Donc (CD) est perpendiculaire à la droite (DE).Le triangle EDC est donc rectangle en D.
Calcul de CE :
Dans le triangle CDE rectangle en D ,
1RXV MYRQV G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH :
CE² = DC² + DE²
CE² = 3² + 45 ( voir ci-dessus DE² = 45 )CE² = 9 + 45 = 54
6 3 6 3 6 9 6 9 54 CEu u u
6 3 CE
3) Volume de la pyramide de sommet E et de base ABCD :
La base de cette pyramide est un carré de 3 cm de côté et sa hauteur est 6 cm. IH YROXPH G·XQH S\UMPLGH HVP GRQQp SMU OM IRUPXOH V = 3 h BRZ % HVP O·MLUH GH OM NMVHB
VEABCD =
) cm ( 18 633 6333
6333u
uu uuVEABCD = 18 ( cm3 )
4) Patron de la pyramide EABCD :
Nous ne pouvons pas, sur un patron, écrire le nom des points. Par exemple, sur l·ébauche du patron de
cette pyramide, le point E apparait déjà deux fois. Ce qui est incorrect pour un dessin géométrique. Mais
cette entorse aux règles va nous permettre de comprendre la réalisation de ce patron.Il manque deux faces : la face CDE et la face
BCE. Nous venons de le démontrer ci-dessus,
la face CDE est un triangle rectangle en D ( il en est de même pour la face BCE ² triangle rectangle en B ). Remarquons que ces deux faces sont d·ailleurs identiques.Nous devons donc à partir de BC tracer un
triangle rectangle en B avec une longueur BEégale à
5 3 Cette longueur figure déjà sur le dessin ( BE est également l·hypoténuse du triangle rectangle ABE ). Il suffit, avec un compas, de reporter cette longueur.5) Volume perdu au cours de la fabrication de cette pyramide :
Volume du pavé droit :
VTotal =
) cm ( 546 3 33uuLe volume de la pyramide étant de 18 cm3 ( question 3 ), le volume perdu lors de la fabrication de cette
pyramide est : VPerdu = VTotal - VPyramide = 54 ² 18 = 36 ( cm3 ) Le volume perdu au cours de la fabrication de cette pyramide est 36 cm36) Hauteur, aire de la base et volume de la pyramide réelle :
La pyramide obtenue est une maquette à l'échelle 1/50 d'une pyramide réelle. Donc la pyramide réelle
est un agrandissement de cette pyramide de rapport, de coefficient 50.R Hauteur de la pyramide réelle :
m 3 soit ) cm ( 300 50 6uR Aire de la base de la pyramide réelle :
( Attention , lorsque les dimensions sont multipliées par un coefficient k, les aires sont multipliées par le
coefficient k² ! ) L·aire de la base de la pyramide réduite est : 3 3 soit 9 cm² Donc l·aire de la base de la pyramide réelle est : m² 2,25 soit ) cm² ( 500 22 25009 50²9u uR Volume de la pyramide réelle :
( Attention , lorsque les dimensions sont multipliées par un coefficient k, les volumes sont multipliés par
le coefficient k3 ! )Le volume de la pyramide réduite étant égal à 18 cm3, le volume de la pyramide réelle est égal à :
333m 2,25 soit ) cm ( 000 250 2 000 12518 5018u u
Hauteur de la pyramide réelle : 3 m
Aire de la base de la pyramide réelle : 2,25 m²Volume de la pyramide réelle : 2,25 m3
Vérification :
La pyramide réelle a une base de 2,25 m² et une hauteur de 3 m.Son volume est donc :
) m ( 2,25 332,25 3
32,253
u uNous retrouvons le résultat ci-dessus.
quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] aire de saut en hauteur
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