Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015
5 mar. 2015 Corrigé du baccalauréat S (obligatoire). Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015. EXERCICE 1. 5 points. Commun à tous les candidats.
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P . Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie. 2 mars 2015. EXERCICE 1. 5 points. Commun à tous les candidats. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [15
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16 nov. 2016 Donc la fonction h est convexe sur [0 ; +?[. Page 2. Baccalauréat ES. A. P. M. E. P.. EXERCICE 2. Candidats n ...
A. P. M. E. P.
?Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie?2 mars 2015EXERCICE15 points
Commun à tous lescandidats
Soitfla fonction définie sur l"intervalle[1,5; 6]par :f(x)=(25x-32)e-x On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère du plan.On donnef?(x)=(57-25x)e-xetf??(x)=(25x-82)e-x.
1. a.On sait quef?(x)=(57-25x)e-xet que e-x>0 pour toutx; doncf?(x) est du signe de 57-
25x:x1,557256 f?(x)+++0--- b.f(1,5)=5,5e-1,5≈1,23;f?5725?=25e-5725≈2,56 etf(6)=118e-6≈0,29 D"où le tableau de variation defsur l"intervalle[1,5 ;6]: x1,557256 f?(x)+++0--- 2,56 f(x)
1,230,29
2.Un point d"inflexion est un point où la courbe représentant lafonction traverse sa tangente; la
courbe admet un point d"inflexion au point d"abscissex0si et seulement si la dérivée seconde de
la fonction s"annule et change de signe enx0. On sait quef??(x)=(25x-82)e-x. Pour toutx, e-x>0 doncf??(x) est du signe de 25x-82 qui s"annule et change de signe pourx=82 25.Sur l"intervalle[1,5; 6], la courbeCadmet donc un unique point d"inflexion d"abscisse82 25.
3.Dans cette question, on s"intéresse à l"équationf(x)=1.
a.On complète le tableau de variation de la fonctionf: x1,557256 2,56 f(x)1,230,29
1α D"après le tableau de variation def, on peut dire que l"équationf(x)=1 admet une solution uniqueαsur l"intervalle[1,5; 6]et queαapprtient à l"intervalle?5725; 6?
Orf(4)≈1,25>1 etf(5)≈0,63<1, donc 4<α<5. L"équationf(x)=1 admet donc une solution uniqueαsur l"intervalle[4; 5]. b.Onaécritl"algorithme suivant permettant dedéterminer une valeur approchée delasolution de l"équationf(x)=1 sur l"intervalle[4; 5]:Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
Initialisation
aprend la valeur 4 bprend la valeur 5Traitement
Tant queb-a>0,1 faire
yprend la valeurf?a+b2?Siy>1 alors
aprend la valeura+b2Sinonbprend la valeura+b2Fin de Tant que
Sortie
Affichera+b2
Il s"agit d"une recherche de valeurs approchées de solutions d"équation par dichotomie. On exécute l"algorithme et on complète le tableau : a+b2yà 10-3
prèsabb-aSortieInitialisation451
1reboucle "Tant que»4,50,89444,50,5
2eboucle "Tant que»4,251,0594,254,50,25Non
3eboucle "Tant que»4,3750,9744,254,3750,125Non
4eboucle "Tant que»4,31251,0164,31254,3750,0625Oui
c.D"après les calculs précédents : f(4,3125)≈1,016>1 etf(4,375)≈0,974<1 donc 4,3125<α<4,375. On peut donc dire que 4,3 est une valeur approchée deαau dixième. Le solveur d"une calculatrice donne4,336comme valeur approchée deα.EXERCICE25 points
Commun à tous lescandidats
PartieA : sélectiondes pommes
On peut représenter la situation décrite dans le texte par unarbre pondéré : C 0,86T1-0,03=0,97
T0,03C1-0,86=0,14
T0,02T1-0,02=0,98
1.L"événement "la pomme prélevée est conforme et est acceptéepar la machine » correspond à
l"événementC∩T. D"après l"arbre pondéré :P(C∩T)=P(C)×PC(T)=0,86×0,97=0,83422.D"après la formule des probabilités totales :P(T)=P(C∩T)+P?
C∩
T?Nouvelle-Calédonie - Corrigé22 mars 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
3.Une pomme prélevée est acceptée par la machine. L"événement" la pomme est conforme sa-
chant qu"elle est acceptée par la machine» est l"événementPT(C). PT(C)=P(C∩T)
P(T)=0,83420,837≈0,997
PartieB : contrôled"un fournisseur
On formule l"hypothèse que 86% des pommes de ce fournisseur sont conformes doncp=0,86.1.Pour une proportionpet un échantillon de taillen, l"intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95% est :???p-1,96? p?1-p? ?n;p+1,96? p?1-p? ?n??? Donc l"intervalle de fluctuation asymptotiqueIau seuil de 95% de la fréquence des pommes conformes dans un échantillon de taille 80 est : I=?0,86-1,96?
0,86(1-0,86)?80; 0,86+1,96?
0,86(1-0,86)?80?
≈[0,783; 0,937]2.L"entreprise a constaté que seulement 65 pommes de l"échantillon étaient conformes.
La fréquence observée de pommes conformes est doncf=6580=0,8125.
Cette fréquence appartient à l"intervalleIdonc il n"y a pas lieu, au vu de l"échantillon étudié, de
remettre en cause l"hypothèse selon laquelle 86% des pommessont conformes.EXERCICE35 points
Commun à tous lescandidats
Soitgla fonction définie et dérivable sur l"intervalle[0,5; 5]par :g(x)=2ln(x)+1 x. On noteg?sa fonction dérivée etΓsa courbe représentative dans le repère ci-dessous. Soit B le point deΓd"abscisse 1; la droite (OB) est tangente en B à la courbeΓ.1.Le point A d"intersection de la courbeΓavec l"axe des abscisses a pour ordonnée 0; son abscisse
est solution de l"équationg(x)=0. On résout sur[0,5 ;5]l"équationg(x)=0 : g(x)=0??2ln(x)+1 x=0??2ln(x)+1=0??ln(x)=-12??x=e-1 2De plus e
-12?[0,5; 5]. Les coordonnées de A sont donc?
e-12; 0?2. a.On calcule la dérivée de la fonctiongsur[0,5 ;5]:
g ?(x)=2 x×x-(2ln(x)+1)×1 x2=2-2ln(x)-1x2=1-2ln(x)x2 b.Sur[0,5 ;5]x2>0 doncg?(x) est du signe de 1-2ln(x) :1-2ln(x)>0??1
2>ln(x)??e1
2>xdonc
g ?(x)>0 sur?0,5; e1
2? ,g?? e12? =0 etg?(x)<0 sur? e12; 5? c.On peut en déduire les variations de la fonctiongsur[0,5; 5]: • la fonctiongest strictement croissante sur?0,5; e1
2? • elle admet un maximum enx=e1 2et • elle est strictement décroissante sur? e1 2; 5?3.Il est dit dans le texte que la droite (OB) est tangente en B à lacourbeΓ; la droite (OB) passe par
le point O et le point B d"abscisse 1 et d"ordonnéeg(1)=1. Donc son équation esty=x. La tangente à la courbeΓen B a pour équationy=x.4. a.OnnoteDle domaine définipar l"axe desabscisses, la courbeΓetles droitesd"équationx=1
etx=3.Nouvelle-Calédonie - Corrigé32 mars 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
121 2 3 4 5
1,5 D AB Par lecture graphique, on peut voir que l"aire du domaineDest comprise entre 2 et 3 unités d"aire. b.SoitGla fonction définie sur l"intervalle[0,5; 5]parG(x)=ln(x)[ln(x)+1]. G ?(x)=1 x[ln(x)+1]+ln(x)×1x=2ln(x)+1x=g(x)doncGest une primitive degsur[0,5 ;5]. c.La fonctiongest dérivable et strictement positive sur[1 ;3]donc l"aire du domaineDestégale à
3 1 g(t)dt=G(3)-G(1)=ln(3)(ln(3)+1)-ln(1)(ln(1)+2)=ln(3)2+ln(3) unités d"aire.EXERCICE45 points
Enseignementobligatoire
Dans une grande entreprise, les commerciaux ont le choix de services de téléphonie mobile exclusive-
ment entre deux opérateurs concurrents : A et B.1.On sait que 18% des abonnés à l"opérateur A changent d"abonnement en fin d"année, donc il en
reste 82%. On sait que 22% des abonnés de l"opérateur B passent chez A l"année suivante.Donc le nombreun+1d"abonnés à l"opérateur A l"annéen+1 est constitué des 82% des abonnés
de l"opérateur A l"annéen, ce qui fait 0,82un, et des 22% d"abonnés de l"opérateur B qui passent
chez A, ce qui fait 0,22vn.Doncun+1=0,82un+0,22vn
Deplus, comme lescommerciaux sontabonnés exclusivement chezles opérateurs Aet Bonpeut dire queun+vn=1. 2. un+1=0,82un+0,22vn u n+vn=1?3.On considère la suite(wn)définie pour toutnparwn=un-0,55; doncun=wn+0,55.
a.Pour toutn:wn+1=un+1-0,55=0,6un+0,22-0,55 =0,6(wn+0,55)-0,33=0,6wn+0,33-0,33 =0,6wn w0=u0-0,55=0,4-0,55=-0,15; on peut donc dire que
la suite (wn) est une suite géométrique de premier termew0=-0,15 et de raisonq=0,6. b.La suite (wn) est une suite géométrique de premier termew0= -0,15 et de raisonq=0,6 donc, pour toutn:wn=w0×qn=-0,15×(0,6)n. c.Pour toutn,un=wn+0,55 etwn=-0,15×(0,6)n, doncun=0,55-0,15×(0,6)n.4.Encalculantu10≈0,549,u20≈0,54999 etu30≈0,54999997, on peut conjecturer que lasuite (un)
a pour limite 0,55.C"est un résultat du cours : une suite géométrique ayant une raison q telle que0?q<1, a pour
limite 0. Donc la suite(wn)a pour limite 0 et donc la suite(un)a pour limite 0,55. Le termeundésigne la proportion de commerciaux qui disposent d"un abonnement chez l"opé- rateur A; cette proportion va donc tendre vers 55%.Nouvelle-Calédonie - Corrigé42 mars 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
EXERCICE45 points
Enseignementde spécialité
Une société est spécialisée dans la vente en ligne de produits de haute technologie sur internet.
PartieA
1.On représente la situation décrite dans le texte par un graphe probabiliste de sommetsVet
V: V V 0,4 0,20,60,8
2.D"après le texte on peut dire que?xn+1=0,6xn+0,2yn
y n+1=0,4xn+0,8yn ce qui équivaut à : ?xn+1yn+1?=?xnyn?×?0,6 0,40,2 0,8? La matrice de transition est doncM=?0,6 0,40,2 0,8?3.P1=?0,05 0,95?donc
P2=P1×M=?0,05 0,95?×?0,6 0,40,2 0,8?
?0,05×0,6+0,95×0,2 0,05×0,4+0,95×0,8?=?0,22 0,78?4.On admet que le taux de visites se stabilise à long terme.SoitSla matrice?1
323?; elle peut correspondre à un état du système car13+23=1.
S×M=?1
323?×?0,6 0,40,2 0,8?
=?0,63+0,430,43+1,63? ?1 323?Donc ?1 323?
est un état stable du système.
PartieB
1.On veut parcourir le réseau proposé dans cette partie en empruntant chaque arête une et une
seule fois; autrement dit on cherche une chaîne eulérienne dans ce graphe.On note les degrés de chaque sommet :
ABCDEFGHI
434246432
Il y a exactement deux sommets de degrés impairs dans ce graphe, B et H, donc on peut réaliser des parcours empruntant chaque fibre optique une fois et une seule, partant du routeur B pour se terminer au routeur H, ou partant du routeur H pour se terminer au routeur B.2.On va chercher, au moyen de l"algorithme de Dijkstra le parcours le plus court reliant A à I :
Nouvelle-Calédonie - Corrigé52 mars 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
ABCDEFGHIOn garde
30 (A)30 (A)20 (A)∞50 (A)∞∞∞D
30 (A)30 (A)∞50 (A)∞∞∞
quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] bac 2015 onec dz
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