[PDF] Travaux dirigés avec SAGE (partie II)

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Travaux diriges avec SAGE(partie II)

Math 3 | Annee 2010-2011

Sommaire

1 Series de Fourier1

1.1 Fonctions denies par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Coecients de Fourier et sommes partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Equations dierentielles ordinaires 3

2.1 Resolution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 Equations aux derivees partielles 4

3.1 Resolution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3.2 Diusion de la chaleur dans un barreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.3 Ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.4 Ondes stationnaires : corde de piano, corde de clavecin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Conseils :

en n de s eance,enr egistrezvotr efeuil lede c alculen s electionnant\Save workshe etto a le",

pr enezl'habitude de c ompletervos feuil lesave cdes textes (titr es,c ommentairesetc.) ;p ourins ererune

cellule de texte, il faut cliquer sur la ligne bleue tout en appuyant sur la touche, saisir le texte

dans la cellule puis cliquer sur le bouton \save changes" situe en bas.

1 Series de Fourier

1.1 Fonctions denies par morceaux

On les construit par la commandepiecewise(consultez l'aide). Pour denir la fonctionf:R!R periodique de periodeT= 2 telle que : f(x) =0 pour 06x61 x1 pour 16x62 entrez :var('x') f1(x) = 0; f2(x) = x-1

f = piecewise([[(0,1),f1],[(1,2),f2]])Essayez de tracer le graphe defsur l'intervalle [0;2] : que constatez-vous? Le mieux est de programmer

une fonction qui prolongefaRtout entier : 1 Math 3 | Annee 2010-2011 Travaux diriges avec SAGE (partie II) def fp(x) : if x < 0 : return fp(x+2) elif x > 2 : return fp(x-2) else : return f(x)Entrez cette fonction, puis la commande : plot(fp,-2,4)

La fonctionfpestrecursive, c'est-a-dire que dans sa denition elle fait appel a elle-m^eme. Comprenez-

vous comment elle fonctionne? (imaginez par exemple le calcul defp(5)).

Faites appara^tre les noms des methodes qui s'appliquent af. Trois d'entre-elles vous serviront pour la

suite : fourierseriescosinecoefficient fourierseriessinecoefficient fourierseriespartialsum

Voyez dans l'aide a quoi servent ces methodes.

Remarque.| Il est possible d'utiliser des fonctions anonymes, par la syntaxe : lambdavariables:valeur

Ainsi vous auriez pu denir directementfsans avoir a denirf1etf2, par la commande :f = piecewise([[(0,1),lambda x : 0],[(1,2),lambda x : x-1]])

1.2 Coecients de Fourier et sommes partielles

Rappelons que le developpement en serie de Fourier defenxest de la forme : a 0++1X n=1a ncos(n!x) +bnsin(n!x) ou!=2T . On prend pourfla fonction denie au paragraphe precedent. 1.

Calculez a0(utilisezintegrate).

2. Donnez l'exp ressionde anetbnpourn>1. Simpliez ces expressions en imposantnentier par la commandeassume(n,'integer'). 3. Calculez la somme partielle de la s eriede F ourierde fenxa l'ordre 5 (i.e. jusqu'a l'indicen= 5).

1.3 Exercice

1. Soit f1:R!Rla fonction periodique de periode 2, denie par : f

1(x) =1 pour16x <0

1 pour 06x <1

Denissezf1, puis representez son graphe sur l'intervalle [2;2]. 2. Calculez formellemen tles co ecientsde F ourieranetbn. 3. Sur l'in tervalle[ 2;2], tracez en superposition le graphe def1et celui de sa somme partielle de

Fourier a l'ordre 5, puis aux ordres 15, 25, 35. Remarquez l'allure du graphe au voisinage des points

de discontinuite (phenomene de Gibbs). 2 Math 3 | Annee 2010-2011 Travaux diriges avec SAGE (partie II) 4.

Soit f2:R!Rla fonction denie par :

f

2(x) = cos4(x):

Tracez son graphe sur l'intervalle [6;6].

5. Mon trezque f2est periodique de periode. Que vaut!? 6. Calculez la somme partielle de sa s eriede F ourier al'ordre 2 (le dernier terme est en cos(4 x)). 7. D emontrezque cette somme partielle est egale af2. 8. En v ousinspiran tde ce qui pr ecede,programmez une fonction triglinearizepermettant de

lineariser une expression qui est une puissance de sin(x) ou de cos(x). Par exemple la commande :triglinearize(sin(x)^5)

doit rendre le resultat :-5/16*sin(3*x) + 1/16*sin(5*x) + 5/8*sin(x).

2 Equations dierentielles ordinaires

2.1 Resolution exacte

La commandedesolvepermet de resoudre les equations dierentielles d'ordre 1 et 2. Soit par exemple a resoudre : y

0+y= ex

Entrez :var('x')

function('y',x) # declare y comme fonction de xpuis l'equation dierentielle : deq = diff(y(x),x) + y(x) - e^(-x); deq Notez quedeqest une simple expression. Dans un tel cas, l'equation a resoudre sera automatiquement comprise commedeq == 0par la commandedesolve:desolve(deq,y(x)) # ou bien : desolve(deq,[y(x),x])

qui rend une expression. Pour obtenir la solution comme fonction dex, entrez plut^ot :sol(x) = desolve(deq,y(x)); sol

Veriez enn que cette fonction est bien solution de l'equation dierentielle. Pour cela, remplacez dans

deqla fonctionypar la fonctionsol:deq.substitutefunction(y,sol)

Vous pouvez obtenir la solution particuliere verianty(0) = 1 avec la commande :desolve(deq,y(x),[0,1])

Remarque.| Pour declarerycomme fonction dex, evitez d'ecrire l'assignationy = function('y',x) car alorsydesignerait l'expressiony(x)et non la fonction! (voir la remarque dux1.4 de la planche precedente).

2.2 Exercice

1. R esolvezl' equationdi erentielley02yx+1= (x+ 1)3. 2. D eterminezla solution particuli erev erianty(0) =1. 3. T racezsur u nm ^emedess inle graphe de cette solution particuli ereainsi que le c hampde directions deni par l'equation dierentielle (utiliserplotvectorfield). 3 Math 3 | Annee 2010-2011 Travaux diriges avec SAGE (partie II)

3 Equations aux derivees partielles

3.1 Resolution exacte

Illustrons la methode de separation des variables sur un probleme de diusion de la chaleur en dimen- sion 1. Il faut resoudre l'EDP :@u@t (x;t)c@2u@

2x(x;t) = 0 (1)

ouu(x;t) est une fonction de la variable espacexet de la variable tempst, etcest une constante>0. Commencez par saisir l'EDP :var('x,t,c'); function('u',x,t)

EDP1 = diff(u(x,t),t) == c*diff(u(x,t),x,2); EDP1On cherche une solution de la formeu(x;t) =f1(x)f2(t). Pour cela, entrez :function('f1',x); function('f2',t)

v(x,t) = f1(x)*f2(t)Remplacezuparvdans l'EDP, divisez parf1(x)f2(t) puis simpliez :EDP2 = EDP1.substitutefunction(u,v)/v(x,t)

EDP3 = EDP2.simplify(); EDP3Le membre de gauche ne depend que det, celui de droite que dex: ils sont donc egaux a une m^eme

constantek. Pour trouverf1etf2, on est ramene a resoudre deux equations dierentielles ordinaires :var('k')

ff2(t) = desolve(EDP3.lhs()==k,[f2(t),t]); ff2assume(c>0); assume(k<0)

ff1(x) = desolve(EDP3.rhs()==k,[f1(x),x]); ff1Il reste a jouer sur les constantes d'integration pour obtenir une solution reelle de forme sympathique :

h1 = ff1(x)*ff2(t); h1 var('alpha') h2 = h1.subsexpr(sqrt(k)==I*sqrt(c)*alpha).subsexpr(k==-c*alpha^2); h2 var('C1,C2') h3 = h2(k1=-I*C1/c,k2=C2/c).expand(); h3d'ou la solution cherchee : w(x,t) = h3.simplifyexp()(C1=-I*C1); w.show() qui est de la forme : (x;t)7!ec2t(C1sin(x) +C2cos(x)) (2)

Veriez :bool(EDP1.substitutefunction(u,w))

Remarques :

L'equation (1) etant lineaire, toute somme de fonctions du type (2) est egalement solution (principe de superposition). La donnee de conditions aux limites (surx) impose des conditions sur les constantesC1,C2et. Si

de plus il faut tenir compte d'une condition initiale (pourt= 0), l'idee est de chercher une solution

sous forme d'une somme innie de fonctions du type (2) : voir le probleme suivant. 4 Math 3 | Annee 2010-2011 Travaux diriges avec SAGE (partie II)

3.2 Diusion de la chaleur dans un barreau

Pour 06x61 ett>0, soitu(x;t) la temperature au pointx, a l'instantt, d'un barreau de longueur unite. On suppose queuest solution de l'EDP : @u@t (x;t)@2u@x

2(x;t) = 0 (3)

avec les conditions aux limites : u(0;t) =u(1;t) = 0 (4) et la condition initiale : u(x;0) =f(x) (5) (fsupposee connue). On veut decrire l'evolution de la temperature dans le barreau au cours du temps. 1.

En trezl'EDP (3).

2. D enissezune fonction u1de la forme (2) avecc= 1 : u

1(x;t) = e2t(C1sin(x) +C2cos(x))

(ou;C1;C2sont des constantes arbitraires) et montrez qu'elle est solution de (3). 3. Calculez u1(0;t). Pourquoi a-t-on necessairementC2= 0? 4. Remplacez C2par 0 dans la denition deu1, puis calculezu1(1;t). Pourquoiest-il necessairement de la formekaveckentier? 5. Remplacez parkdans la denition deu1et imposezkentier. Veriez queu1satisfait alors (3) et (4), puis calculezu1(x;0). 6. P our0 6x61 on posef(x) =x2(1x2). An de satisfaire la condition initiale (5), on envisage une solution de la forme : u

2(x;t) =+1X

k=1c kek22tsin(kx) (6) Calculez le coecientck(indication: remarquez queu2(x;0) n'est autre que le developpement en serie de Fourier de la fonctionfprolongee par imparite sur [1;1] puis par periodicite surR). Vous devriez trouver : c k=42k2+ (52k212)(1)k+ 12 5k5quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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