SECOND DEGRÉ (Partie 1)
- h(x) = 4 ? 2x2. - k(x) = (x ? 4)(5? 2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x) = 5x ? 3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). -
3x +2 f (x)= 2×5x ? 3
I. Fonction dérivée d'une fonction polynôme du second degré. Dans ce chapitre nous allons utiliser un outil nouveau
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole.
Formules importantes pour la fonction quadratique
Soit le polynôme f(x) = x. 2. -3x -4. 1- Pour l'orientation de la parabole elle sera ouverte vers le haut car le paramètre a=1 est positif.
A.II. Formalisme de Laplace - AlloSchool
4 oct. 2017 Pour des équations du premier et du second degré ce travail est simple. ... On appelle transformée de Laplace de
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
Les coefficients a et b sont des réels donnés avec ?0. II. Représentation graphique. Propriétés : Soit f une fonction polynôme de degré 3 telle que (
Chapitre II Interpolation et Approximation
En insérant les conditions (1.2) dans (1.1) le probl`eme se transforme A gauche
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
Les coefficients a x1 et x2 sont des réels avec ?0. A noter : Plus généralement
ficall.pdf
115 201.03 Polynôme caractéristique théorème de Cayley-Hamilton 184 224.04 Tranformée de Laplace et transformée de Fourier. 792. 185 224.99 Autre.
Sachant que le paramètre a de la règle dune fonction transformée
Leur altitude varie en fonction du temps écoulé depuis le début de l'ascension selon la fonction polynomiale du second degré illustrée ci-dessous.
Denis DEFAUCHY
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A.II. Formalisme de Laplace
A.II.1 Contexte
De nombreux systèmes peuvent être modélisés, à partir des lois de la physique par un ensemble
d'équations différentielles, éventuellement non linéaires.Considérons un système linéaire continu quelconque. Il est caractérisé par l'équation différentielle
suivante (modèle):Remarque :
- par respect du principe de causalité abordé précédemment, ݉ est obligatoirement inférieur à
une direction ݔԦ : σܨ impossible, on ne peut physiquement imposer une vitesse qui induirait un effort. Cetteéquation montre que la donnée de sortie (vitesse) voit sa dérivée contrôlée par
Pour des équations du premier et du second degré, ce travail est simple. Pour des équations plus
complexes, cela devient plus difficile.Nous allons donc introduire une nouvelle notion. En effet, un outil a été développé pour résoudre ces
équations temporelles en passant dans un domaine appelé domaine de Laplace. En transformantrevenant dans le domaine temporel, il devient simple de trouver la solution à des équations complexes
comme celle présentée ci-dessus. Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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Eq différentielle
avec 2ème membreParamètre t
Transformée de
Laplace
Paramètre p
Fonction polynomiale
en pSolution finale
Paramètre t
Transformée de
Laplace inverseParamètre t
Fraction décomposée
en éléments simplesen pA.II.2 Transformation de Laplace
A.II.2.a Définition
Soit ݂, une fonction réelle de la variable réelle ݐ, définie pour ݐͲ. On appelle transformée de Laplace de ݂, la fonction ܨ est appelée variable complexe.
On notera ࣦିଵ la transformée de Laplace inverse : ࣦିଵ൫ܨLa lettre majuscule sera alors automatiquement attribuée à la variable associée dans le domaine de
Laplace
Exemples :
elle multiplie dont par un temps.Toutefois, lorsque dans un schéma bloc, on fait apparaître les unités, on écrira les unités des variables
temporelles, les variables de Laplace étant elles toutes multipliées par un temps. Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.II.2.b Propriétés
A.II.2.b.i Unicité
et le domaine de Laplace.A.II.2.b.ii Linéarité
A.II.2.b.iii Image de la dérivée
En faisant une intégration par parties :
Soit :
Remarque :
Comme une multiplication par correspond à une dérivation temporelle, soit une division par un
temps, on a :Lorsque nous traiterons des problèmes aux conditions initiales non nulles, il faudra pour comprendre
les unités des variables manipulées ne pas oublier ce résultat. Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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Exemple :
Dans le cas où la fonction ݂ ainsi que ses dérivées sont nulles à ݐൌͲ, on obtient le résultat
fondamental :Ce cas se rencontre très fréquemment en asservissements et correspond à l'étude du comportement
d'un système initialement au repos et soumis à une entrée causale, c'est-à-dire nulle pour t < 0.
Remarques :
par p. - Attention : écrire ܨ Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.II.2.b.iv Théorème du retard
Démonstration par changement de variable :
A.II.2.b.v Théorèmes de la valeur initiale et finaleThéorèmes
fonction connaissant sa transformée de Laplace. Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur finaletend vers une valeur stable. Vous verrez au cours de votre scolarité que cette condition de stabilité est
associée à la condition suivante :Un système est stable si tous les pôles (racines du dénominateur) de sa fonction de transfert qui est
une fraction rationnelle ont leur partie réelle négative. Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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Applications
polynômes au lieu de déterminer la limite de fonctions temporelles. quotient de polynômes ܳOn note :
Connaissant cet équivalent, on aura alors :
degré du dénominateur - En zéro, au quotient du terme de plus bas degré du numérateur sur le terme de plus bas degré du dénominateurExemple :
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A.II.2.c Transformées usuelles
Impulsion de DIRAC
ͳ RAS
Echelon unitaire ܨ
Rampe ܨ
Double
Fonction puissance ܨ
Exponentielle ܨ
Multiple
Cosinus ܨ
Sinus amorti
Multiple
Cosinus amorti
Multiple
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݂ primitive de ݂
Equivalents
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A.II.2.d Exemple de calcul de transformée de LaplaceA.II.2.d.i Echelon
O t eoA.II.2.d.ii Signal issu de signaux usuels
Soit le signal suivant :
Pour déterminer sa transformée de Laplace
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- Soit on reconnaît la somme de deux signaux usuels : Un échelon normal et un échelon inversé
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A.II.2.e Fonction de transfert et allure réelle On représente dans le plan complexe les différents pôles de la fonction de transfert ܨExemple : Soit
Les pôles de ܨ
différents pôles de ܨ Exponentielle amortie ʹ Exponentielle amplifiée ʹ 2 Sinusoïdes Preuve : (cf décomposition en éléments simples vue au paragraphe suivant) Dernière mise à jour Systèmes régis par une équa. diff. du 1° et 2° ordreDenis DEFAUCHY
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A.II.2.f ǯ différentielles
A.II.2.f.i Méthode
Données :
- Equation différentielle : - Conditions initiales données (nulles ?)Démarche :
- Calcul de la fonction de transfert ܪ - Détermination de la fraction rationnelle de polynômes correspondant à la sortie ܵ - Décomposition du polynôme en éléments simples dénominateurs des fonctions de transfert afin de trouver les transformées de Laplacequotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] fonction surjective mais pas injective
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