[PDF] Baccalauréat S Liban 29 mai 2018

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Durée : 4 heures

?Baccalauréat S Liban29 mai 2018?

Exercice13points

Commun à tous les candidats

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d"une mutuelle étu-

diante enregistre un nombre record d"appels. Les appelants sont d"abord mis en attente et entendent une musique d"ambiance et un message pré- enregistré.

Lors de cette première phase, le temps d"attente, exprimé ensecondes, est modélisé par la variable

aléatoireXqui suit la loi exponentielle de paramètreλ=0,02 s-1.

Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions.

Le temps d"échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la variable

1.Quelle est la durée totale moyenne d"un appel au standard téléphonique (temps d"attente et

temps d"échange avec le chargé de clientèle)?

2.Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.

a.Calculer la probabilité que l"étudiant soit mis en attente plus de 2 minutes.

b.Calculer la probabilité pour que le temps d"échange avec le conseiller soit inférieur à 90

secondes.

3.Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d"une minute d"être

mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci. Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à 30 secondes l"at- tente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne?

EXERCICE 23points

Commun à tous les candidats

1.Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+i et 1-i.

2.Pour tout entier natureln, on pose

S n=(1+i)n+(1-i)n. a.Déterminer la forme trigonométrique deSn. b.Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la

réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compteet l"absence de réponse n"est

pas pénalisée. AffirmationA: Pour tout entier natureln, le nombre complexeSnest un nombre réel. AffirmationB: Il existe une infinité d"entiers naturelsntels queSn=0.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE 34points

Commun à tous les candidats

L"objectif de cet exercice est d"étudier les trajec- toires de deux sous-marins en phase de plongée. Onconsidère que cessous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante. sous-marin est repéré par le pointS1(t) et le se- cond sous-marin est repéré par le pointS2(t) dans un repère orthonormé?

O,-→ı,-→?,-→k?

dont l"unité est le mètre.

Le plan défini par?

O,-→ı,-→??

représente la surface de la mer. La cotezest nulle au niveau de la mer, négative sous l"eau.

1.On admet que, pour tout réelt?0, le pointS1(t) a pour coordonnées :

?x(t)=140-60t y(t)=105-90t z(t)= -170-30t a.Donner les coordonnées du sous- marin au début de l"observation. b.Quelle est la vitesse du sous-marin? c.On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire dupremier sous-marin. Déterminer l"angleαque forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal. On donnera l"arrondi deαà 0,1 degré près.

2.Audébutdel"observation,lesecondsous-marinestsituéaupointS2(0)decoordonnées(68; 135;-68)

etatteintauboutdetroisminutes lepointS2(3)decoordonnées(-202;-405;-248)avecune vitesse constante. À quel instantt, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la mêmeprofondeur?

EXERCICE 45points

Commun à tous les candidats

On considère, pour tout entiern>0, les fonctionsfndéfinies sur l"intervalle [1; 5J par : f n(x)=lnx xn. . Pour tout entiern>0, on noteCnla courbe représentative de la fonctionfndans un repère ortho- gonal.

Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbesCnpournappartenant à {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

0 1 2 3 4 500,5

Liban229 mai 2018

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Montrer que, pour tout entiern>0 et tout réelxde l"intervalle [1; 5] :

f ?n(x)=1-nln(x) xn+1.

2.Pour tout entiern>0, on admet que la fonctionfnadmet un maximum sur l"intervalle [1; 5].

On noteAnle point de la courbeCnayant pour ordonnée ce maximum. Montrer que tous les pointsAnappartiennent à une même courbeΓd"équation y=1 eln(x).

3. a.Montrer que, pour tout entiern>1 et tout réelxde l"intervalle [1; 5] :

0?ln(x)

xn?ln(5)xn. b.Montrer que pour tout entiern>1 : 5 11 xndx=1n-1?

1-15n-1?

c.Pour tout entiern>0, on s"intéresse àl"aire,exprimée en unités d"aire,de lasurface sous la

courbefn,c"est-à-direl"aire dudomaine duplan délimité par les droitesd"équationsx=1, x=5,y=0 et la courbeCn. Déterminer la valeur limite de cette aire quandntend vers+∞.

EXERCICE 55points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante : •Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu"il gagne la partie suivante est1 4; •Si le joueur perd une partie, la probabilité qu"il perde la partie suivante est1 2; •La probabilité de gagner la première partie est1 4.

Pour tout entier naturelnnon nul, on noteGnl"évènement "lanepartie est gagnée» et on notepnla

probabilité de cet évènement. On a doncp1=1 4.

1.Montrer quep2=7

16.

2.Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul,pn+1=-1

4pn+12.

3.On obtient ainsi les premières valeurs depn:

n1234567

Quelle conjecture peut-on émettre?

4.On définit, pour tout entier naturelnnon nul, la suite(un)parun=pn-2

5. a.Démontrer que la suite(un)est une suite géométrique dont on précisera la raison. b.En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul,pn=2

5-320?

-14? n-1

Liban329 mai 2018

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

c.La suite?pn?converge-t-elle? Interpréter ce résultat.

EXERCICE 55points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

On définit la suite de réels

(an)par : ?a 0=0 a 1=1 a n+1=an+an-1pourn?1.

On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

1.Recopier et compléter l"algorithme ci-dessous pour qu"à lafin de son exécution la variableA

contienne le termean.

1A←0

2B←1

3 Pouriallant de 1 àn:

4C←A+B

5A←...

6B←...

7 Fin Pour

On obtient ainsi les premières valeurs de la suitean: n012345678910 an011235813213455

2.Soit la matriceA=?1 11 0?

CalculerA2,A3etA4.

Vérifier queA5=?8 55 3?

3.On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturelnnon nul,

A n=?an+1an a nan-1? a.Soitpetqdeux entiers naturels non nuls. Calculer le produitAp×Aqet en déduire que a p+q=ap×aq+1+ap-1×aq. b.En déduire que si un entierrdivise les entiersapetaq, alorsrdivise égalementap+q. c.Soitpun entier naturel non nul. nnon nul,apdiviseanp.

4. a.Soitnun entier supérieur ou égal à 5. Montrer que sinest un entier naturel qui n"est pas

premier, alorsann"est pas un nombre premier. b.On peut calculera19=4181=37×113. Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a.?

Liban429 mai 2018

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