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La correction de la non-r

´eponse par repond´eration

Thomas Deroyon

R ´esum´e-L"objectif de cette note m´ethodologique est de d ´ecrire de fac¸on rapide le principe de la correction de la non- r ´eponse par repond´eration et les m´ethodes les plus fr´equemment utilis

´ees pour la mettre en oeuvre.

I. RAPPELS SUR LES SONDAGES AL´EATOIRES

Les enqu

ˆetes de la statistique publique sont r´ealis´ees sur des parties de la population totale des m

´enages

ou des entreprises, appel

´ees´echantillons, s´electionn´ees

al ´eatoirement. Cette m´ethode pr´esente en effet de bonnes propri ´et´es statistiques. Elle consiste`a associer`a chaque partie sde la population une probabilit´ep(s)d"ˆetre s´electionn´ee, et de choisir la partie de la population qui sera interrog

´ee en

respectant ces probabilit

´es. Le plan de sondage ainsi d´efini

conduit `a associer`a chaque individuide la population une probabilit ´epid"ˆetre interrog´e, appel´ee probabilit´e d"inclusion. Dans ce cadre, si l"on souhaite estimer le total sur la po- pulationUd"une variable d"int´erˆety`a partir de l"´echantillon interrog ´eS, alors l"estimateur par expansion classique, appel´e egalement estimateur de Sen-Horvitz-Thompson, d´efini par

YS=å

i2Sy ip i(1) est un estimateur sans biais sous le plan de sondage. Cela veut dire que sa moyenne sur l"ensemble des

´echantillons

possibles, pond ´er´ee par leur probabilit´e d"ˆetre choisis, sUp(s)ˆYs, est´egale au vrai total deysur la population i2Uyi. De plus, la variance de l"estimateur sous le plan de son- dage, åsUp(s)[ˆYsåi2Uyi]2peutˆetre estim´ee`a partir des donn ´ees disponibles sur l"´echantillonS, plus ou moins ais ´ement suivant la complexit´e du plan de sondage. II. LA NON-R´EPONSE:D´EFINITION ET CONS´EQUENCES A. D

´efinition

Un individu de l"

´echantillon est non-r´epondant s"il n"a pas et´e possible d"obtenir une information exploitable sur tout ou partie du questionnaire pour cet individu. Si l"ensemble du questionnaire ou une trop grande partie du questionnaire est inexploitable, l"individu est ennon-r´eponse totale: il n"a fourni aucune information r

´eellement utilisable. Si seules

certaines questions sont inexploitables, l"individu est ennon- r

´eponse partielle.

B. Baisse de la pr

´ecision

La variance des estimateurs calcul

´es sur des´echantillons

al ´eatoires est en g´en´eral inversement proportionnelle au nombre d"unit ´es disponibles dans l"´echantillon. Or, la non- r ´eponse fait baisser la taille de l"´echantillon exploitable et augmente de ce fait la variance des estimateurs. Ce probl `emepeut cependant ˆetre en partie trait´e en amont, en anticipant le taux de r ´eponse`a l"enquˆete et en augmentant la taille de l" ´echantillon s´electionn´e. De cette fac¸on, le nombre de r ´epondants`a l"enquˆete sera suffisant pour que les estimateurs satisfassent les objectifs ou les contraintes de pr

´ecision im-

pos

´ees`a l"enquˆete.

C. Biais d"estimation

Le deuxi

`eme probl`eme que pose la non-r´eponse est le plus important : l"estimateur par expansion calcul

´e sur les seuls

r

´epondantsR,åi2Ryip

i, est biais´e. Ce biais a deux origines : Id´efaut de couverture: la somme des poids de sondage 1p isur l"´echantillon est, en moyenne,´egale`a la taille de la populationU. La somme des poids des seuls r ´epondants est, par contre, toujours inf´erieure`a la taille de la population. Ceci tient au fait que chaque unit ´e de l"´echantillon repr´esente un certain nombre d"unit ´es de la population. La non-r´eponse entraˆıne ainsi qu"une partie de la population n"est pas repr

´esent´ee par

l"

´echantillon;

Ibiais de s´election: les r´epondants sont susceptibles de diff ´erer des non-r´epondants. Ainsi, dans une enquˆete comme l"enqu

ˆete sur l"emploi en continu qui a pour

but d"estimer le taux de ch

ˆomage, si les personnes

non-r

´epondantes sont plus souvent des personnes en

emploi, la part des ch

ˆomeurs parmi les r´epondants sera

sup ´erieure`a la part effective dans la population. L"esti- mateur du taux de ch

ˆomage1calcul´e sur les r´epondants

avec des poids non corrig

´es de la non-r´eponse sur-

estimera le taux de ch

ˆomage dans la population.

Les diff

´erentes m´ethodes de correction de la non-r´eponse ont pour but de limiter, voire supprimer, le biais qu"introduit la non-r ´eponse. Il existe deux principales familles de m´ethodes : Iles m´ethodes de r´epond´eration, d´ecrites dans la suite de cette note; Iles m´ethodes d"imputation, d´ecrites dans la note m ´ethodologique sur la correction de la non-r´eponse par imputation.

III. LA CORRECTION DE LA NON-R´EPONSE PAR

REPOND

´ERATION

A. Principe

Le principe de la correction de la non-r

´eponse par

repond ´eration (voir [2] et [9]) est d"augmenter les poids 1. d ´efini comme le nombre de chˆomeurs sur le nombre d"actifs,i.e.la somme du nombre de ch

ˆomeurs et du nombre de personnes en emploi.

©Insee

des r ´epondants pour compenser le biais introduit par les non-r ´epondants. Pour ce faire, la non-r´eponse est d´ecrite comme un ph ´enom`ene al´eatoire. Tout se passe comme si chaque unit ´e de l"´echantillon avait une certaine probabilit´e, inconnue et non nulle, de r

´epondre,ri. Ainsi, la s´election

des r ´epondants dans l"´echantillon peutˆetre vue comme une phase additionnelle du plan de sondage (voir figure 1). Les r ´epondants sont de fait s´electionn´es dans la population totale en deux ´etapes : la s´election de l"´echantillonSdans la populationU, suivant un plan de sondage connu et maˆıtris´e; puis la s ´election des r´epondants dans l"´echantillon, suivant un plan de sondage inconnu, que la r

´epond´eration a pour

objectif de d

´ecrire.PopulationUEchantillonSR

´epondantsRS

´election de

l"

´echantillonS

selon le plan de sondage initialS

´election al´eatoire

des r

´epondants

dans l"

´echantillon

Sselon un plan de

sondage inconnuFig. 1. La non-r ´eponse comme phase additionnelle du plan de sondage En effet, si l"on peut construire des estimateurs convergents des probabilit ´es de r´eponseˆri, l"estimateur corrig´e de la non- r

´eponse

YR=å

i2Ry ip iˆri(2) est un estimateur asymptotiquement

2sans biais sous le plan

de sondage du total deydans la population. Plusieurs m ´ethodes sont fr´equemment utilis´ees pour estimer les pro- babilit ´es de r´eponseri. Nous n"´evoquons dans la suite de cette note que les deux m

´ethodes les plus utilis´ees dans les

enqu ˆetes de la statistique publique en France : la m´ethode des groupes de r ´eponse homog`ene et le calage sur marges en une etape.

IV. LES GROUPES DE R´EPONSE HOMOG`ENE(GRH)

A. Principe

Dans cette m

´ethode (voir [3]), on suppose qu"il est

possible de d ´ecouper l"´echantillon en parties disjointes, appel ´ees groupes de r´eponse homog`ene, telles qu"`a l"int ´erieur de ces groupes, toutes les unit´es de l"´echantillon aient des comportements de r

´eponseind´ependants3et aient

la m

ˆeme probabilit´e de r´eponse.

2.i.e.quand les tailles de l"´echantillon et de la population tendent vers

l"infini. L"estimateur est de ce fait approximativement sans biais d `es que la population et l"

´echantillon sont de taille raisonnable.

3.i.e.le fait qu"une unit´e r´eponde n"a aucune incidence sur le compor-

tement de r ´eponse d"une autre unit´e du groupe.Dans chaque groupe, la probabilit

´e de r´eponse commune

est estim ´ee soit comme le nombre d"unit´es r´epondantes divis´e par le nombre total d"unit

´es de l"´echantillon appartenant au

groupe, soit comme la somme des poids de sondage 1=pides unit ´es r´epondantes divis´ee par la somme des poids des unit´es r ´epondantes ou non-r´epondantes appartenant au groupe. La m ´ethode des groupes de r´eponse homog`ene est souvent consid ´er´ee comme relativement robuste. En effet, l"estimateur corrig

´e de la non-r´eponse obtenu avec des

groupes de r ´eponse homog`ene peutˆetre approximativement sans biais m ˆeme si les hypoth`eses sur lesquelles repose la m ´ethode,i.e.que toutes les unit´es d"un mˆeme groupe ont laquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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