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Mathieu POUJADE
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Curriculum vitae
1999 DEA de mécanique filière mécanique des fluides
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Travaux dirig´es de m´ecanique quantique
olivier.legrand@unice.fr anders.kastberg@unice.fr olivier.alibart@unice.frFormalisme math
ematiqueExercice 1 :Commutateurs et traces
1.Montrer que
[A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(1)2.La trace d"un op´erateur est la somme des ´el´ements diagonaux de sa matrice repr´esentative dans une
base donn´ee TrA=? nA nn(2)Montrer que
TrAB= TrBA(3)
et en d´eduire que la trace est invariante dans un changement de baseA→A?=SAS-1. La trace d"un
op´erateur est (heureusement!) ind´ependante de la base.3.Montrer que la trace est invariante par permutation circulaire
TrABC= TrBCA= TrCAB(4)
Exercice 2 :D´eterminant et trace
1.Soit une matriceA(t) d´ependant d"un param`etretv´erifiant
dA(t) dt=A(t)B Montrer queA(t) =A(0)exp(Bt). Quelle est la solution de dA(t) dt=BA(t)?2.Montrer que
deteAt1×deteAt2= deteA(t1+t2)
et que deteA= eTrA
ou de fa¸con ´equivalente detB= eTr lnB(1)Suggestion : obtenir une ´equation diff´erentielle pour l"op´erateurg(t) = det[exp(At)]. Les r´esultats sont
´evidents siAest diagonalisable.
Exercice 3 :Commutateurs et valeur propre d´eg´en´er´eeSoit trois matricesN×N A,BetCqui v´erifient
[A,B] = 0 [A,C] = 0 [B,C]?= 0 Montrer qu"au moins une valeur propre deAest d´eg´en´er´ee.2014/20151
Licence 3 Semestre 2Quantique
Exercice 4 :Matrices normales
Une matriceCest ditenormalesi elle commute avec la matrice hermitique conjugu´ee CC=CC
En ´ecrivant
C=12(C+C) + i12i(C-C) =A+ iB
montrer queCest diagonalisable. Exercice 5 :Matrices normales et d´ecomposition spectrale (`a chercherseul!)On se propose de d´emontrer le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale d"un op´erateur normalMsans
faire appel `a la diagonalisabilit´e des op´erateurs hermitiques. Ainsi, comme il est ais´e de montrer que les
op´erateurs hermitiques et les op´erateurs unitaires sont normaux, le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale
pour ces deux classes d"op´erateurs en d´ecoule.On veut donc ´etablir le th´eor`eme suivant : Tout op´erateur normalMsur un espace de HilbertHest
diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee deH. R´eciproquement, tout op´erateur diagonalisable est
normal.1.Montrer la r´eciproque.
2.Pour d´emontrer la premi`ere proposition, on proc`ede par induction sur la dimensionddeH. Soitλ
une valeur propre deM,Ple projecteur sur le sous-espace propre associ´e `aλetQle projecteur sur le
compl´ement orthogonal `a ce sous-espace. On ´etablira d"abord queM=PMP+QMQ .(1)
D´emontrer ensuite queQMQest normal.
Par induction,QMQest diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `aQet
PMPest d´ej`a diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `aP. Il s"ensuit que
M=PMP+QMQest diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee de l"espace total.3.Montrer qu"une matrice normale est hermitiquesi et seulement sielle poss`ede des valeurs propres
r´eelles.Exercice 6 :Identit´es op´eratorielles
1.Soit l"op´erateurf(t) fonction du param`etret
f(t) = etABe-tA o`u les op´erateursAetBsont repr´esent´es par des matricesN×N. Montrer que df dt= [A,f(t)]d2fdt2= [A,[A,f(t)]] etc.En d´eduire
e tABe-tA=B+t1![A,B] +t22![A,[A,B]] +...(1)
2.On suppose queAetBcommutent tous deux avec leur commutateur [A,B].´Ecrire une ´equation
diff´erentielle pour l"op´erateur g(t) = eAteBt et en d´eduire, par int´egration entret= 0 ett= 1, la relation eA+B= eAeBe-1
2[A,B](2)
Attention! Cette identit´e n"est pas g´en´eralementvalable. Elle n"est garantie que si [A,[A,B]] = [B,[A,B]] =
0. Montrer ´egalement avec les mˆemes hypoth`eses
eAeB= eBeAe[A,B](3)
2014/20152
Licence 3 Semestre 2Quantique
Postulats de la physique quantique
Exercice 7 :Mesures quantiques et ´evolution temporelleA. Mesure quantique
On consid`ere une base orthonorm´ee{|1?,|2?,|3?}o`u le hamiltonienHet une grandeur physiqueAsont repr´esent´es par les matrices :H=E0((
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