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Analyse d'images :

Filtrage et segmentation

Ouvrage collectif publié avec le soutien du

Groupement de Recherche 134 : Traitement Du Signal et

Images (CNRS)

Coordonné par J-P. COCQUEREZ et S. PHILIPP

Auteurs :

Ph. Bolon, J-M. Chassery, J-P. Cocquerez,

D. Demigny, C. Graffigne, A. Montanvert,

S. Philipp, R. Zéboudj, J. Zerubia

Préface d'Henri Maître

Ouvrage publié avec l'aide du Ministère des affaires étrangères, direction de la coopération scientifique et technique

AVERTISSEMENT

Le livre publié en 1995 chez MASSON (EAN13 : 9782225849237) est épuisé. Cette version pdf est une version élaborée à partie de la version différente de celle du livre. II x Coordination générale

Jean-Pierre COCQUEREZ ETIS-ENSEA

Sylvie PHILIPP 6 avenue du Ponceau

95014 Cergy-Pontoise Cédex

cocquerez@ensea.fr philipp@ensea.fr x Auteurs

Philippe BOLON LAMII/CESALP

(chapitres IV et X) Université de Savoie

BP 406

74016 Annecy

J-M. CHASSERY TIMC-IMAG

(chapitres I, VIII, X, XII, Institut Albert Bonniot annexe A) Université Joseph Fourier

Domaine de la Merci

38706 La Tronche Cédex

J-P. COCQUEREZ ETIS-ENSEA

(chapitres I, III, V, VI, XII, 6 avenue du Ponceau annexes D, E) 95014 Cergy-Pontoise Cédex

D. DEMIGNY ETIS-ENSEA

(chapitre V, annexes E, F) 6 avenue du Ponceau

95014 Cergy-Pontoise Cédex

C. GRAFFIGNE Université René Descartes

(chapitres VII, XI, annexe B) UFR de Mathématiques et d'Informatique

45 rue des Saints Pères

75270 Paris Cédex 06

A. MONTANVERT LIP

(chapitres III, XII, annexe A) ENS Lyon

46 allée d'Italie

69364 Lyon Cédex

S. PHILIPP ETIS-ENSEA

(chapitres II, III, V, IX, X, 6 avenue du Ponceau annexes A, C) 95014 Cergy-Pontoise Cédex

R. ZEBOUDJ ETIS-ENSEA

(chapitres X, XIII) 6 avenue du Ponceau

95014 Cergy-Pontoise Cédex

J. ZERUBIA INRIA Sophia-Antipolis

(chapitres VII, XI, annexe B) 2004 route des lucioles

06560 Valbonne Cédex

x Contributions

P. GAUSSIER ETIS-ENSEA (chapitre VI)

I. MAGNIN Laboratoire CREATIS INSA Lyon (chapitre III)

P. MIGNOT INRIA-Rocquencourt (chapitre X)

F. PRETEUX INT Evry (annexe C)

x Remerciements Un ouvrage comportant autant d'essais n'a pu se faire sans les conseils et la participation de

nombreux collègues de différents laboratoires, doctorants, ingénieurs-système, sans oublier les

personnes ayant accepté de relire certaines parties du texte. Nous remercions chaleureusement : E. Bertin, P. Bertolino, B. Chalmond, D. Coquin, R. Deriche, A. De Cesare, P. Duvaut, Y. Elomary, M. Jordan, C. Mathieu, F. Ployette, R. Karah Fallah, Y. Lechevallier, M. Leclerc, V. Lefevre, J.

Levy-Vehel, B. Rabin, A. Raji, JP. Reissmann.

Enfin, tout ce travail aurait été impossible sans le soutien du GDR 134 que nous remercions, avec

une mention particulière pour Odile Macchi, sa directrice qui a su nous encourager dans les moments

difficiles.

Préface

La segmentation des images est indissociablement attachée à l'histoire du traitement de l'image. Dès les années 60 et les premiers travaux d'analyse, d'amélioration, de compression et de reconnaissance des formes sur des signaux bidimensionnels, apparaissent des contributions à ce chapitre important. Leur objectif est encore mal déclaré, mais on peut déjà discerner dans ces premiers écrits l'espoir de décomposer des scènes plus complexes en des éléments individuellement identifiables, ou plus aisément traitables que l'image entière. Les deux approches " par contours » ou " par régions » sont très tôt en compétition, chacune réclamant des vertus particulières. Les travaux fondamentaux, expérimentaux ou appliqués se succèdent sans arrêt jusqu'à nos jours et constituent aujourd'hui le corpus littéraire le plus important du traitement des images. Au milieu des années 80 déjà, une bibliographie attentive du domaine proposait plus de 1500 références au lecteur, qui se gardait bien de les lire d'ailleurs, car un petit nombre seulement d'entre elles apportait une information véritablement établie et généralisable. Pourquoi ce foisonnement de travaux ? Bien sûr par l'importance du sujet. L'image reste aujourd'hui encore un sujet difficile, dont l'interprétation est très malaisée, et sa décomposition en sous-problèmes plus simples relève naturellement de la technique scientifique la plus élémentaire. Mais l'intérêt du thème n'explique pas tout, sa difficulté est en grande partie cause de la profusion des travaux qui lui sont dédiés, et cela pour deux raisons : tout d'abord parce que le problème est mal posé, ensuite parce qu'il est généralement trivialement résolu par un observateur humain quelconque. Ce deuxième point est particulièrement irritant : qu'un enfant reconnaisse en un instant son chien dans un mauvais cliché d'amateur, qu'il retrouve le chasseur caché dans un dessin, ou qu'il nomme les uns après les autres tous ses camarades sur la photo de classe, en voilà assez pour vexer tous les laboratoires du monde entier. Et l'on rejoint alors le premier problème : qu'appelons-nous détecter, reconnaître ou même voir ? On le sait bien sûr, mais on ne peut aujourd'hui en donner scientifiquement que des définitions axiomatiques manipulant des êtres abstraits du langage scientifique : des pixels, ou des ensembles de pixels partageant des propriétés ou vérifiant des prédicats, et les objets de notre quête (le chien ou le chasseur) ont bien du mal à nous donner " leurs » propriétés, ou " leurs » prédicats distinctifs. L'ouvrage qui nous est proposé s'attaque courageusement au problème. C'est un ouvrage collectif aussi, peut-être parce que le nombre fait le courage ! Qui aurait conçu de le mener à bien seul ? Il a pris naissance dans l'une de ces structures du

CNRS où il est permis de réfléchir à plusieurs sur un problème difficile, de

comparer ses expériences et ses connaissances et d'en faire profiter ainsi la ŃRPPXQMXPpB 0HUŃL MX *G5 134 7UMLPHPHQP GX 6LJQMO HP HPMJHV SRXU ŃHPPH °XYUH de qualité qui explore sans parti-pris toutes les mémoires des traiteurs d'image et

VIII Analyse d'images : filtrage et segmentation

en exprime les algorithmes les plus variés. Merci aux rédacteurs téméraires qui ont pris le risque de cette aventure malgré les conseils des Cassandre (j'en étais !), merci aux programmeurs obscurs, aux testeurs inconnus, aux expérimentateurs ignorés qui ont élaboré les parcelles de ce savoir. Cet ouvrage est officiellement consacré, nous le disions tout à l'heure, à la segmentation des images. Cet objet est trop modeste car il traite chemin faisant de la majorité des grands problèmes du traitement des images : de la représentation des signaux, de leur description, des outils théoriques de leur traitement (morphologie mathématique, champs de Markov, graphes d'adjacence,

classification et bien d'autres que j'oublie). C'est un traité qui sera précieux à

plusieurs niveaux : pour l'étudiant qui y trouvera les bases indispensables à sa formation, pour le chercheur et l'enseignant qui compléteront leur culture et leurs

références, pour le thématicien en télédétection, en sciences biomédicales ou dans

d'autres domaines utilisateurs d'images, comme source d'inspiration pour automatiser ses traitements.

Henri Maître

Professeur à l'ENST Paris

Responsable du département Image

Tables des matières

x Coordination générale V x Auteurs V x Contributions V x Remerciements VI

PREFACE ................................................................................................................................... VII

NOTATIONS .......................................................................................................................... XVIII

Ensemble XVIII

Filtrage, convolution, transformée de Fourier XVIII

Fonction XVIII

Image XVIII

Opérateurs morphologiques XIX

Région XIX

Signal XIX

Statistique d'ordre XIX

Variable aléatoire, champ, probabilité. XIX

Vecteur XX

AVANT-PROPOS ...................................................................................................................... XXI

IMAGE ET SEGMENTATION .................................................................................................... 1

ATTRIBUTS DE REGION ............................................................................................................ 6

1 TEXTURE 7

2 ATTRIBUTS STOCHASTIQUES D'UNE IMAGE 8

3 MOMENTS ET MOYENNES D'ESPACE D'UNE REGION 9

4 MATRICES DE COOCCURRENCE 11

4.1 Matrices de cooccurrence et indices de texture du second ordre 11

4.2 Périodes calculées à partir des cooccurrences 16

4.3 Matrices de cooccurrence généralisées 17

5 LONGUEURS DE PLAGE (OU ISOSEGMENTS) 19

6 SPECTRE 20

6.1 Densité spectrale de puissance 21

6.2 Périodes calculées à partir du spectre 22

7 CONTRASTE ASSOCIE A UNE REGION 23

8 ATTRIBUTS FRACTALS 25

8.1 Éléments de théorie fractale et multifractale 25

8.1.1 Dimension fractale 25

8.1.2 Dimension fractale généralisée 25

8.1.3 Spectre multifractal 26

8.1.4 Lien entre dimension fractale généralisée et spectre multifractal 26

8.1.5 Lacunarité 27

8.2 Calcul d'attributs fractals 27

X Analyse d'images : filtrage et segmentation

8.2.1 Calcul de la dimension fractale: la méthode des boîtes 27

8.2.2 Calculs du spectre multifractal 30

8.2.3 Calcul des dimensions fractales généralisées 31

8.2.4 Lacunarité 31

9 ATTRIBUTS SURFACIQUES 32

9.1 Courbures 32

9.2 Quadriques 33

10 ATTRIBUTS GEOMETRIQUES 34

11 ATTRIBUTS INTER-REGIONS 36

12 CONCLUSION 37

STRUCTURES DE DONNEES ET ALGORITHMES ASSOCIES ...................................... 38

1 INTRODUCTION 38

2 PARTITIONS ELEMENTAIRES D'UNE IMAGE ET STRUCTURES ASSOCIEES 39

2.1 Partitions élémentaires 39

2.1.1 Pavage, maillage d'une image 39

2.1.2 Voisinages et métriques associées 40

2.2 Partitions irrégulières 42

2.2.1 Graphes d'adjacence de régions 42

2.2.2 Diagramme de Voronoï 44

3 STRUCTURES HIERARCHIQUES POUR LA DECOMPOSITION D'UNE IMAGE47

3.1 Arbre quaternaire ou " quadtree » 47

3.1.1 Principe de base 47

3.1.2 Le quadtree linéaire 48

3.1.3 Discussion 50

3.2 Les pyramides : modèles rigides et généralisations 51

3.2.1 La structure pyramidale 51

3.2.2 Pyramides rigides et pyramides stochastiques adaptatives 51

3.2.3 Discussion 51

4 CODAGE DE CONTOURS 52

4.1 Code de Freeman 52

4.2 Codage de la frontière d'un objet en 8-connexité 54

4.3 Approximations polygonales 55

4.3.1 Approximation par découpage récursif 57

4.3.2 Approximation itérative 59

5 ETIQUETAGE EN COMPOSANTES CONNEXES 61

PRETRAITEMENTS ................................................................................................................... 64

1 MODIFICATION D'HISTOGRAMME 64

1.1 Expansion de dynamique 65

1.2 Egalisation d'histogramme 65

1.3 Spécification d'histogramme 68

2 REDUCTION DE BRUIT 69

2.1 Modèles de bruit d'image 70

2.2 Filtres linéaires stationnaires 71

2.2.1 Cas continu 71

2.2.2 Exemples de filtres réducteurs de bruit 72

2.2.3 Cas discret 74

2.2.4 Problèmes liés à l'implantation des opérateurs 76

2.3 Filtres non-linéaires stationnaires 78

2.3.1 Filtres d'ordre 78

2.3.2 Filtres homomorphiques 84

2.3.3 Filtrage morphologique 85

2.4 Filtres adaptatifs 87

2.4.1 Moyennes adaptatives 87

2.4.2 Filtre de rang adaptatif 88

2.4.3 Moyenne tronquée adaptative 89

2.4.4 Filtrage par fractionnement de la fenêtre d'analyse 93

2.4.5 Remarques 93

2.5 Bruit multiplicatif 94

2.5.1 Algorithme de Lee 95

2.5.2 Filtrage homomorphique 95

2.6 Commentaires 96

3 REHAUSSEMENT DE CONTRASTE 96

3.1 Méthodes linéaires 97

3.1.1 Méthodes basées sur le laplacien 97

3.1.2 Méthodes inverses 100

3.2 Filtrage homomorphique 100

3.3 Filtrage d'ordre adaptatif 101

3.4 Méthodes morphologiques 103

3.5 Observations 105

4 CONCLUSION 105

APPROCHE FRONTIERE: METHODES DERIVATIVES, SURFACIQUES,

MORPHOLOGIQUES ............................................................................................................... 106

1 METHODES DERIVATIVES 107

1.1 Généralités 107

1.2 Principes généraux d'utilisation des méthodes dérivatives 110

1.3 Approches dérivatives appliquées aux images numériques 111

1.4 Opérateurs dérivatifs du premier ordre. 112

1.4.1 Opérateurs de Prewitt et de Sobel 112

1.4.2 Opérateurs de gradients directionnels de Kirsh 114

1.4.3 Opérateurs MDIF et NAGDIF. 115

1.5 Opérateurs dérivatifs du deuxième ordre 117

1.5.1 Opérateur laplacien sur voisinage réduit 117

1.5.2 Opérateur de Marr et Hildreth. 117

1.5.3 Opérateur de Huertas-Médioni 118

1.6 Approches par filtrage optimal 119

1.6.1 Approche de Canny 119

1.6.2 Opérateur monodimensionnel de Deriche 123

1.6.3 Opérateurs bidimensionnels de dérivation et de lissage de Deriche 125

1.6.4 Opérateurs monodimensionnels de Shen 128

1.6.5 Opérateurs bidimensionnels de Shen 131

1.7 Comparaison des performances théoriques de quelques opérateurs de dérivation132

1.7.1 Critères continus de comparaison 134

1.7.2 Critères discrets de comparaison 135

2 MODELE SURFACIQUE 139

2.1 Opérateur de Hueckel 140

2.2 Opérateur de Haralick 140

2.2.1 Rappel sur l'approximation polynômiale 140

2.2.2 Polynômes monodimensionnels discrets de Tchebycheff 141

XII Analyse d'images : filtrage et segmentation

2.2.3 Approximation polynômiale bidimensionnelle 141

2.2.4 Exemple de calcul de masques pour l'opérateur d'Haralick 142

2.2.5 Estimation de la direction du gradient 143

3 MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE 144

3.1 Gradient morphologique 144

3.2 Ligne de partage des eaux 145

4 LOCALISATION DES CONTOURS ET SEUILLAGE 147

4.1 Extraction des maximums locaux de la norme du gradient 147

4.2 Seuillage par hystérésis 148

4.3 Suivi de ligne de crête 148

5 CONCLUSION 150

FERMETURE DE CONTOURS, CONTOURS VIRTUELS ................................................ 151

1 FERMETURE DES CONTOURS 151

1.1 Recherche du meilleur chemin entre 2 extrémités 151

1.2 Recherche du meilleur chemin à partir d'une extrémité 153

1.2.1 Identification des extrémités 153

1.2.2 Algorithme de fermeture 154

2 APPROCHE NEUROMIMETIQUE DE LA VISION 156

2.1 Modèles de réseaux de neurones pour la vision de bas-niveau 156

2.1.1 Système d'analyse d'images par réseau de neurones 156

2.1.2 Masques orientés pour l'extraction de contours 158

2.1.3 Premier niveau de compétition 160

2.1.4 Deuxième niveau de compétition 162

2.1.5 Coopération orientée 165

2.1.6 Rétroaction 166

2.2 Réalisation d'un système d'extraction et de fermeture des contours avec

rétroaction 167

2.2.1 Description de l'implantation 167

2.2.2 Conclusion 169

3 EXTRACTION DE POINTS CARACTERISTIQUES 169

3.1 Utilisation de la diffusion pour l'extraction de points caractéristiques 171

3.2 Détection des points caractéristiques grâce à des cellules Center-Off 173

4 CONCLUSION 174

APPROCHE FRONTIERE : METHODES MARKOVIENNES ........................................... 175

1 INTRODUCTION 175

2 RESTAURATION ET DETECTION DE BORDS 176

2.1 Premier modèle 177

2.2 Deuxième modèle 178

2.3 Troisième modèle 180

3 DEUX ALGORITHMES DETERMINISTES 180

3.1 GNC (Graduated Non Convexity) 180

3.2 Recuit par champs moyens (MFA) 184

APPROCHE FRONTIERE : METHODES VARIATIONNELLES ..................................... 189

1 DETECTION DE CONTOURS : APPROCHES GLOBALES 189

2 MODELE DE CONTOURS ACTIFS (OU SNAKES) 191

2.1 Présentation du modèle du contour actif 192

2.2 Résolution par une approche de type modèle stationnaire 195

2.3 Aspects numériques 196

2.4 Modèle évolutif et formulation variationnelle 199

2.5 Approche numérique et évolution de la courbe 201

3 MODELE DISCRET DE LA BULLE 202

4 CONCLUSION 206

COMPARAISON DES EXTRACTEURS DE CONTOUR ................................................... 208

2 COMPARAISON SUR IMAGES DE SYNTHESE 210

2.1 Génération des images de test 210

2.2 Définitions des critères de comparaison 212

2.3 Paramètres de réglage des différents opérateurs 215

2.4 Analyse des résultats 217

3 RESULTATS SUR LES IMAGES REELLES 225

3.1 Description des images 225

3.2 Paramètres de réglage des différents opérateurs 226

3.3 Analyse des résultats 227

3.4 Conclusion 229

METHODES DE CLASSIFICATION ...................................................................................... 236

1 METHODES MONODIMENSIONNELLES 237

1.1 Seuillage global 238

1.1.1 Recherche des seuils inter-modes 238

1.1.2 Recherche des modes 238

1.2 Méthodes locales itératives et adaptatives 244

1.2.1 Méthode itérative de classification bayésienne 244

1.2.2 Méthode de relaxation-gradient 247

1.3 Méthodes de seuillage dynamique intégrant des informations de localisation249

1.3.1 Méthode de Nakagawa 249

1.3.2 Utilisation du laplacien 253

1.3.3 Méthode de Hertz : coopération contour/multiseuillage 254

1.4 Discussion 255

1.5 Conclusion 255

2 METHODES MULTIDIMENSIONNELLES 256

2.1 Classification non supervisée 257

2.1.1 Nuées dynamiques 258

2.1.2 Classification ascendante hiérarchique 260

2.2 Classification supervisée 263

2.2.1 Construction d'une fonction discriminante 263

2.2.2 Construction d'un sous-espace discriminant 268

2.3 Méthodes de sélection des attributs 273

2.3.1 Définition des critères de sélection 273

2.3.2 Procédure de sélection des attributs 275

2.4 Procédure de validation 275

XIV Analyse d'images : filtrage et segmentation

3 CONCLUSION 276

APPROCHE REGION : METHODES MARKOVIENNES .................................................. 277

1 REGULARISATION 277

1.1 Introduction 277

1.2 Un algorithme supervisé de segmentation d'images texturées 278

1.2.1 Modèle de texture 278

1.2.2 Loi jointe 279

1.2.3 Estimateur du MAP 281

1.3 Segmentation et détection de contours sur des images texturées 281

1.3.1 Modèle de contours 281

1.3.2 Modèle de segmentation 283

2 RELAXATION 285

2.1 Introduction 285

2.2 Champ de Markov caché et segmentation non-supervisée 285

2.3 Un algorithme non supervisé de segmentation 288

2.3.1 Formation automatique de germes de base 289

2.3.2 Croissance de régions de bas niveau 290

2.3.3 Croissance de régions de haut niveau 290

2.4 Un algorithme semi-supervisé de segmentation d'images texturées 292

2.4.1 Modèle 292

2.4.2 Définition de

J' 293

2.4.3 Energie U1 295

2.4.4 Système de voisinages 295

2.4.5 Caractéristiques de textures et seuils 296

2.5 Un algorithme supervisé de segmentation d'images non-texturées 297

2.5.1 Modèle 297

2.5.2 Choix du paramètre

N 298

2.5.3 Fonction énergie 298

2.5.4 Relaxation 298

APPROCHE REGION : METHODES STRUCTURALES .................................................. 300

1 INTRODUCTION 300

2 AGREGATION DE PIXELS 301

2.1 Algorithme général 301

2.2 Détail de la croissance de régions 302

2.3 Convergence 304

2.4 Commentaires 304

3 SEGMENTATION PAR CORRELATION D'HISTOGRAMMES LOCAUX 304

3.1 Généralités 304

3.2 Principe 307

3.3 Croissance de régions 308

3.3.1 La relaxation 308

3.3.2 La propagation 311

3.3.3 Choix des seuils 314

4 DIVISION ET FUSION GUIDEES PAR LES STRUCTURES 315

4.1 Présentation générale 315

4.1.1 Algorithme général de segmentation par division et fusion 315

4.1.2 Remarques sur la convergence et la complexité 316

4.2 Fusion de régions dans un graphe 317

4.3 Méthode de fusion multicritère 319

4.4 Partitionnement de Voronoï 320

4.5 Arbre quaternaire (" quadtree ») 322

4.6 Approches pyramidales 326

4.6.1 Pyramides de graphes 327

4.6.2 Compléments sur la stratégie de fusion 330

COMPARAISON DES RESULTATS : APPROCHE REGION ........................................... 331

1 DEFINITION DES CRITERES DE COMPARAISON 331

1.1 Une distance entre deux images de régions 331

1.1.1 Mesure de Vinet 332

1.1.2 Une distance entre deux images de régions 333

1.2 Utilisation du contraste inter-région 334

2 COMPARAISON SUR DES IMAGES DE SYNTHESE 334

2.1 Fabrication des images de synthèse 334

2.2 Méthodes testées 336

2.3 Paramètres de réglage des méthodes 337

2.4 Analyse des résultats 338

2.4.1 Images bruitées (analyse quantitative) 344

2.4.2 Images bruitées (analyse visuelle) 346

2.4.3 Images de texture 347

3 COMPARAISON SUR DES IMAGES REELLES 347

3.1 Méthodes testées 347

3.2 Paramètres des méthodes 347

3.3 Résultats sur les images de la banque du GDR 134 350

3.4 Comparaison 362

3.5 Conclusion 363

EN GUISE DE CONCLUSION ................................................................................................. 364

1 DEFINITIONS GENERALES DE LA THEORIE DES GRAPHES 365

1.1 Notions de graphe 365

1.2 Chaîne, connexité 366

1.3 Graphe valué 367

2 DIFFERENTES APPROCHES POUR LA CONSTRUCTION DU DIAGRAMME DE

2.1 Approches algorithmiques et distance euclidienne 367

2.1.1 Approche Divide and Conquer 368

2.1.2 Méthode incrémentale 368

2.2 Approches algorithmiques et distance discrète 370

CHAMPS MARKOVIENS ET SEGMENTATION ................................................................ 372

1 DEFINITIONS 372

1.1 Champs markoviens 372

1.2 Mesure de Gibbs et champs markoviens 374

1.3 Expression des probabilités conditionnelles 375

XVI Analyse d'images : filtrage et segmentation

2 APPROCHE MARKOVIENNE DE LA SEGMENTATION 376

3 ESTIMATION DE LA CONFIGURATION O 377

4 ESTIMATION DES PARAMETRES 378

5 ALGORITHMES DE SIMULATION 379

5.1 Echantillonneur de Gibbs 380

5.2 Algorithme de Métropolis 380

6 ALGORITHMES D'OPTIMISATION 381

6.1 Algorithme ICM (Iterated Conditionnal Modes) 381

6.2 Recuit stochastique simulé 382

ELEMENTS DE MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE ...................................................... 384

1 MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE APPLIQUEE AUX IMAGES BINAIRES 384

1.1 Erosion et dilatation morphologiques 385

1.2 Ouverture et fermeture morphologiques 386

1.3 Amincissement et épaississement 387

2 MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE APPLIQUEE AUX IMAGES EN NIVEAUX

DE GRIS 390

2.1 Erosion morphologique 390

2.2 Dilatation morphologique 393

2.3 Ouverture, fermeture morphologiques 395

2.4 Amincissement et épaississement 398

RAPPELS DE TRAITEMENT DU SIGNAL........................................................................... 399

1 TRANSFORMEE DE FOURIER 399

1.1 Définition 399

1.2 Translation 399

1.3 Dérivation 400

1.4 Théorème de convolution 400

1.5 Transformée de Fourier d'une distribution 400

1.5.1 Transformée de Fourier de la distribution de Dirac 401

1.5.2 Transformée de Fourier d'un signal sinusoïdal 401

1.6 Développement en série de Fourier de la fonction peigne 401

2 ECHANTILLONNAGE 402

2.1 Formule de Poisson 402

2.2 Spectre d'une fonction échantillonnée 403

2.3 Théorème de l'échantillonnage, formule de Shannon 403

3 PROCESSUS ALEATOIRES 404

3.1 Statistiques des processus aléatoires 405

3.2 Relation d'incertitude 405

3.3 Processus stationnaires 406

4 FILTRE 406

4.1 Filtrage d'un signal aléatoire 407

4.2 Filtre adapté 407

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