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Exercice 5 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 pointsUn biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 12000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population
ne peut pas dépasser les 60000 individus.Partie A : un premier modèle
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an.L'évolution annuelle de la population est aussi modélisée par une suite (vn) où vn représente le nombre d'in-
dividus, exprimé en milliers, en 2016+n. On a donc v0=12.1. Déterminer la nature de la suite (vn) et donner l'expression de vn en fonction de n.
2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Partie B : un second modèle
Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population pra une suite (un) définie u0=12 et, pour
tout entier naturel n, un+1=-1,1605un2+1,1un.
1. On considère la fonction g définie sur R par : g(x)=-1,1
605x2+1,1x.
1.a. Justifier que g est croissante sur [0;60].
1.b. Résoudre dans R l'équation g(x) = x .
2. On remarquera que : un+1=g(un).
2.a. Calculer la valeur arrondie à 10-3 de
u1. Interpréter.2.b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0⩽un⩽55.
2.c. Démontrer que la suite (un) est croissante.
2.d. En déduire la convergence de la suite (un).
2.e. On admet que la limite l de la suite (un) vérifie g(l)=l. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le con-
texte de l'exercice.3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera 50 000 indivi-
dus avec ce second modèle.Il utilise l'algorithme suivant :
Variables n est un entier naturel u est un nombre réel Traitement n prend la valeur 0 u prend la valeur 12Tant que . . . . . . . . . . . . . . . .
u prend la valeur . . . . . n prend la valeur . . . . .Fin Tant que
Sortie Afficher . . . . . . . . . . . . . . . . . Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier n tel que un⩾50.S Amérique du Sud novembre 2017
CORRECTION
Partie A : un premier modèle
1. Pour tout entier naturel n, vn représente le nombre d'individus (exprimé en milliers) en 2016+n et vn+1 est
le nombre d'individus (exprimé en milliers) en 2016+n+1. Or le biologiste estime que la population croît de 5 % par an donc : vn+1=vn+5100vn=vn+0,05vn=1,05vn.
Conclusion
(vn) est la suite géométrique de premier terme v0=12 et de raison q=1,05. Pour tout entier naturel n : vn=v0×qn=12×1,05n2. v0=12 >0 et q=1,05 donc la suite (vn) est croissante et limn→+∞vn=+∞, donc le nombre d'individus de la
population dépassera 60 000. Ce modèle ne répond pas aux contraintes du milieu naturel.Partie B : un second modèle
1. Pour tout nombre réel x, g(x)=-1,1
605x2+1,1x.
1.a. g est dérivable sur R
. g'(x)=-2,2605x+1,1
g(x) >0 ⇔1,1 >2,2
605x ⇔ 1,1×605
2,2 >x ⇔ 302,5 > x
Conséquence
Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;60] g'(x) >0 donc g est croissante sur [0;60].1.b. g(x) = x ⇔
-1,1605x2+1,1x=x ⇔ -1,1
605x2+0,1x=0 ⇔ x(-1,1
605x+0,1)=0
⇔ ( x = 0 ou -1,1605x+0,1=0)
-1,1605x+0,1=0 ⇔ x=0,1×605
1,1=55
Conclusion
L'équation g(x) = x admet deux solutions : 0 et 55.2.a. u1=g(u0)=g(12)=-1,1
605×122+1,1×12= 12,938 à 10-3 près.
En 2017=2016+1 le nombre d'individus sera de 12 938.2.b. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
0⩽ un ⩽55.
Initialisation
Pour n=0 u0=12 et 0⩽ 12 ⩽55
La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que : 0⩽ un ⩽55 et
on doit démontrer que 0⩽ un+1 ⩽55. g est une fonction croissante sur [0;60] donc si 0⩽ un ⩽55 alors g(0)⩽ g(un) ⩽g(55). Or g(0)=0 et g(55)=55 car 0 et 55 sont les solutions de l'équation g(x)=x et g(un)=un+1.On obtient :
0⩽ un+1 ⩽55 donc la propriété est héréditaire.
S Amérique du Sud novembre 2017
Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a : 0⩽ un ⩽55.
1.c. Pour tout entier naturel n :
un+1-un=-1,1605un2+1,1un-un=-1,1
605un2+0,1un=0,1un(-11
605un+1)=0,1un(-1
55un+1)
un+1-un=0,155un(-un+55).
Or un ⩾0 et 55-un ⩾0 donc un+1-un ⩾0.Conséquence
La suite (un) est croissante.
1.d. La suite (un) est croissante et majorée par 55 donc convergente.
1.e. g(l) = l ⇔ (l = 0 ou l = 55)
u0=12 et (un) est une suite croissante donc12⩽ l Conséquence
l = 55.3. Variables : n un entier naturel
u nombre réelTraitement : n prend la valeur 0
u prend la valeur 12Tant que u < 50
u prend la valeur g(u) n Prend la valeur n+1Fin Tant que
Sortie : Afficher n
Programme en Python (non demandé)
Exécution du programme
Conséquence
La population dépassera 50000 individus en 2016+36= 2052 . On modifie le programme pour obtenir les valeurs de un pour n=1 à n=36 (on n'arrondit pas à l'unité).S Amérique du Sud novembre 2017
On obtient :
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