[PDF] STT-1920 Méthodes statistiques Solutions des exercices du chapitre 4

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Solutions des exercices du chapitre 4

Num (a)

La moyenne.

(b) (c) Le 95 ecentile. (d) Le 5 ecentile.

Solution.

(a) moyenne de la loiF23;29=29

29¡2=29

27

¼1:074:

(b)

2£292(23 + 29¡2)

23(29¡2)2(29¡4)=p

0:20063¼0:448:

(c) le 95 ecentile de la loiF23;29=F23;29;0:05= 1:910: (d) le 5 ecentile de la loiF23;29=F23;29;0:95=1 F

29;23;0:05=1

1:967= 0:5084:

Num La distribution des poids des sacs remplis par la machine A est la loiN(2:080;(0:050)2). La distribution des poids des sacs remplis par la machine B est la loiN(2:050;(0:050)2). (a) Quel pourcentage des sacs remplis par la machine A pµesent moins de 2 kg? (b) Quel pourcentage des sacs remplis par la machine B pµesent moins de 2 kg? Je choisis au hasard 24 sacs remplis par la machine A et 30 sacs remplis par la machine B. Je calcule x A,sA, x B,sB. (c)

Je m'attends µa ce que

x A¡ x

Bsoit environ

, plus ou moins environ (d)

Je m'attends µa ce ques2

A=s2

Bsoit environ

, plus ou moins environ Petites questions portant sur la matiµere du chapitre deux. Je poseN=le nombre de sacs pesant moins de 2 kg parmi les 24 sacs remplis par la machine A. (e) 1 (f) (g) (h)

Comment calcule-t-onP[N¸4]?

Solution.

(a) P[X·2] =P[Z·(2:00¡2:08)=0:05] =P[Z· ¡1:60] = 0:0548: (b) P[Y·2] =P[Z·(2:00¡2:05)=0:05] =P[Z· ¡1:00] = 0:1587: (c)

On utilise le fait que

X A¡ X

B»Nµ

A¡¹B;¾2µ1

n A+1 n

Ici »ca donne

X A¡ X

B»Nµ

2:08¡2:05;(0:05)2µ1

24
+1 30
c'est-µa-dire X A¡ X

B»N(0:03;0:0001875):

On s'attend donc µa ce que

X A¡ X

Bsoit environ 0.030, plus ou moins environp

0:0001875¼0:014.

(d)

On utilise le fait que

S 2 A=S2

B»FnA¡1;nB¡1:

Ici »ca donne

S 2 A=S2

B»F23;29:

donc µa ce queS2 A=S2

Bsoit environ 1.074, plus ou moins environ 0.448.

(e) On obtientN»binomiale(n;p), avecn= 24 etp= 0:0548. (f)

E[N] =np= 24£(0:0548) = 1:3152.

(g) N=p np(1¡p) =p

24£0:0548£0:9452 = 1:1150.

(h) P[N¸4] = 1¡(P[N= 0] +P[N= 1] +P[N= 2] +P[N= 3]) = 1¡½µ24 (0:0548)0(0:9452)24+µ24 (0:0548)1(0:9452)23

µ24

(0:0548)2(0:9452)22+µ24 = 1¡(0:2586 + 0:3598 + 0:2399 + 0:1020) = 0:0398: 2 Num un bon modµele pour la population A et que la loiN(¹B;¾2B) est un bon modµele pour la population B. Obtenez un intervalle de con¯ance de niveau 90% pour le rapport

Solution.On utilise l'intervalle

1 p F n1¡1;n2¡1;® 2 s 1 s 2;1 p F n1¡1;n2¡1;1¡® 2 s 1 s 2! Ici on as1= 20:60 ets2= 8:20.µA l'aide de la table de la loi de Fisher, on obtient F n1¡1;n2¡1;® 2 =F15;20;0:05= 2:203 F n1¡1;n2¡1;1¡® 2 =F15;20;0:95=1 F

20;15;0:05=1

2:328= 0:4296:

On insµere tout »ca dans l'intervalle ci-dessus et on obtient l'intervalle (1:69;3:83). Num plus petit dans le casn1= 25 etn2= 31 ou dans le casn1= 38 etn2= 41? Solution.Dans les deux cas, lep-valueest la surface µa droite de 1.887 sous la sont grand et plus la surface µa droite de 1.887 est petite. Lep-valueest donc plus petit avecn1= 38 etn2= 41 qu'avecn1= 25 etn2= 31. D'ailleurs, avec le logiciel

R j'obtiens

Surface µa droite de 1.887 sous laF37;40= 0:0255 Surface µa droite de 1.887 sous laF24;30= 0:0500 Num

65:06 71:44 67:93 69:02 67:28 62:34 66:23 64:16

68:56 70:45 64:91 69:90 65:52 66:75 68:54 67:90

On suppose que la loi normale avec moyenne¹1et variance¾2est un bon modµele 3

66:00 71:79 65:19 67:25 65:12 61:17

69:72 64:04 67:93 63:95 63:85 68:82

67:54 63:22 61:82 66:81 65:40 69:02

On suppose que la loi normale avec moyenne¹2et variance¾2est un bon modµele On veut tester l'hypothµese nulleH0:¹1=¹2contre l'alternativeH1:¹1> ¹2. (a) (b) au seuil 1%. Au seuil 1%, est-ce que vous acceptez ou est-ce que vous rejetez l'hypothµese nulle? (c)

Quel est votrep-value?

(d)

Solution.

(a)

On rejetteH0siT¸tn1+n2¡2;®, avec

T= X 1¡ X 2 S cq 1 n 1+1 n 2= X 1¡ X 2 S cq 1 16 +1 18 t n1+n2¡2;®=t32;0:01= 2:449 (b)

On obtient

x

1= 67:2494s1= 2:4553

x

2= 66:0356s2= 2:8255

s c=s (n1¡1)s21+ (n2¡1)s22 n

1+n2¡2=r

15£(2:4553)2+ 17£(2:8255)2

32
= 2:6584: T obs=67:2494¡66:0356

2:6584q

1 16 +1 18 = 1:329: Conclusion : au seuil 1%, il n'y a pas leiu de rejeterH0. (c) 4 (d) Voici les histogrammes et les graphes quantile-quantile gaussiens. Il est clair que la loi normale est un modµele raisonnable.Bay of Plenty

62 64 66 68 70 72

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

62 64 66 68 70

Bay of PlentyBanks Peninsula

60 62 64 66 68 70 72

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

62 64 66 68 70 72

Banks Peninsula

Est-il raisonnable de supposer que les deux populations ont (µa peu prµes) la 5

Bay of Plenty Banks Peninsula

62 64 66 68 70 72

On peut aussi faire un test formel :H0:¾21=¾22contreH1:¾216=¾22. Par on rejetteH0siS21=S22¸F15;17;0:05ou siS21=S22·F15;17;0:95:

A l'aide de la table, on obtient

F

15;17;0:05= 2:308

F

15;17;0:95=1

F

17;15;0:05=1

2:368= 0:422:

0:755. Conclusion : au seuil 10%, on ne rejette pasH0. Avec le logiciel R, j'ob-

tiens p-value= 2£PH0[S21=S22·0:755] = 2£0:295 = 0:590: Num Voici les poids de 15 fraises provenant du champ A :

48:73 43:44 46:71 51:62 47:24 54:64 47:00 48:40

45:86 47:70 46:14 47:68 44:73 51:69 50:54

Voici les poids de 15 fraises provenant du champ B :

44:89 34:31 42:74 53:36 41:98 41:64 47:24 37:86

45:89 40:88 40:85 38:60 44:38 44:52 38:26

6 (a)

Calculez une estimation pour¹A¡¹B.

(b) (c) Calculez un intervalle de con¯ance de niveau 95% pour¹A¡¹B. (d) ces conditions. (e) (f)

Champ :

A B 15 15

48.142

42.496

2.935 4.577 s c=r (15¡1)£(2:935)2+ (15¡1)£(4:577)2

15 + 15¡2= 3:8447:

(a)

Estimation pour¹A¡¹B:

x A¡ x

B= 48:142¡42:496 = 5:646:

(b)

L'erreur type :scp

(1=n1) + (1=n2) = 3:8447p (1=15) + (1=15) = 1:404. (c) L'intervalle de con¯ance de niveau 95% pour¹A¡¹B: x A¡ x

B)§tn1+n2¡2;®

2 scp (1=n1) + (1=n2)

Avec la table j'obtienstn1+n2¡2;®

2 =t28;0:025= 2:048. J'insµere tout »ca dans la formule ci-dessus et j'obtiens l'intervalle (2:77;8:52). (d)

Les conditions :

1. 2. 3. 4. (e) les graphes quantile-quantile gaussiens. Il est clair que la loi normale est un modµele raisonnable. 7

Champ A

42 44 46 48 50 52 54 56

0 1 2 3 4 5 6

-1 0 1

44 46 48 50 52 54

Champ AChamp B

30 35 40 45 50 55

0 2 4 6 8

-1 0 1

35 40 45 50

Champ B

Est-il raisonnable de supposer que les deux populations ont (µa peu prµes) la Il semble y avoir un peu plus de variation dans les poids du champ B. Faisons un test formel :H0:¾21=¾22contreH1:¾216=¾22. Au seuil 10%, la rµegle de on rejetteH0siS21=S22¸F14;14;0:05ou siS21=S22·F14;14;0:95:

A l'aide de la table, on obtient

F

14;14;0:05= 2:484

F

14;14;0:95=1

F

14;14;0:05=1

2:484= 0:403:

8

Champ A Champ B

35 40 45 50 55

0:411. Conclusion : au seuil 10%, on ne rejette pasH0. Avec le logiciel R,

j'obtiens p-value= 2£PH0[S21=S22·0:411] = 2£0:0539 = 0:1078: (f) Avec 200 fraises du champ A et 200 fraises du champ B, la longueur de l'inter-

2£t398;0:025£3:8447£p

(1=200) + (1=200) = 1:507: Num de m^eme variance, disons ¾2. Calculez un intervalle de con¯ance de niveau 95% pour cette variance¾2.

Solution.J'utilise l'intervalleÃ

(n1+n2¡2)S2c 2n

1+n2¡2;®

2 ;(n1+n2¡2)S2c 2n

1+n2¡2;1¡®

2

La table de la loi du khi-deux me donne

2n

1+n2¡2;®

2 =Â228;0:025= 44:46 2n

1+n2¡2;1¡®

2 =Â228;0:975= 15:31: 9 J'insµere dans l'intervalle ci-dessus et j'obtiens l'intervalle (9:31;27:03). Num X 1¡ X

2)¡tn1+n2¡2;®=2Scr

1 n 1+1 n 2;(quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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