[PDF] Les sphères et les boules. Exercices sphères et sections.

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Les sphères et les boules.

1. Définitions.

2. Formules.

3. Section d'une sphère.

4. Exercices sphères et sections.

5. Se repérer sur la sphère terrestre :

6. Exercices.

Sphères et boules : définitions.

1. La sphère :

Une sphère est une figure géométrique

caractérisée par deux éléments essentiels :

Son CENTRE et son RAYON.

Une sphère de centre le point O et de rayon R

est formée de l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que la distance OM égale le rayon de la sphère.

La figure ci-contre est une représentation en

perspective cavalière d'une sphère de centre O et de rayon ...R OM OA OB OC etc= = = = =

Nous utiliserons la notation :

( ; )S O R pour parler d'une sphère de centre O et de rayon R.

Ainsi :

Si OM = R, alors le point M appartient à la

sphère de centre O et de rayon R En notations mathématiques, cela se traduit par : ();OM R M S O R=??.

Réciproquement :

Si un point M appartient à une sphère de centre O et de rayon R, alors OM = R (); .M S O R OM R??= Vocabulaire : Deux points A et B tels que [AB] est un diamètre de la sphère sont dits " diamétralement opposés ». En conséquence, le centre de la sphère est le milieu du segment [AB].

2. La boule :

Une boule de centre O et de rayon R est formée de tous les points M de l'espace tels que la distance OM est inférieure ou égale au rayon de la boule. On considère donc les points de la sphère plus ceux " dans la sphère ». Ainsi, si nous utilisons la notation ();B O R pour la boule de centre O et de rayon R :

Si M est un point de la boule de centre O et de

rayon R, alors OM est inférieure ou égale à R. Réciproquement : Si OM est inférieure ou égale à R, alors M est un point de la boule de centre O et de rayon R. C D A B E F O

Formules.

1. Aire d'une sphère:

a) L'aire d'une sphère de rayon r :

24 .A rπ=

Comme le rayon vaut la moitié du diamètre, si on note par d le diamètre :

22 2 2

22

244 4 4 4 .2 2 4 4d d d dA rdππ π π π π( )= = × = × = × = =( )( )

On remarquera que l'aire d'une sphère est égale à 4 fois celle d'un disque de même rayon.

b) Exemples : • Aire d'une sphère de 8 cm de rayon au centimètre cube près. :

2 2 3 34 4 8 4 64 256 . 804.A r cm cmπ π π π= = × = × = ≈

Aire de la Terre au kilomètre carré près et au million de km² près en écriture scientifique :

En prenant comme valeur pour le rayon de la Terre 6 370 km. 2 2 3

9 24 4 6370 509.904.363. 510.000.000. ²

5,1 10 .

A r km km

A km

2. Volume d'une boule :

34.3

RVπ=

Si on remplace R par le demi-diamètre :

33 3 3 3 3 3

34 4 4 4 4.3 3 2 3 2 3 8 3 2 4 3 2 6

R d d d d d dVπ π π π π π π× × ×( )= = × = × = = = =( )× × × ×( )

Exemple : Volume d'une boule de pétanque de 72 mm de diamètre.

Valeur exacte en millimètres cubes puis valeur

approchée au cm

3 près puis au 1/10 ème de litre près.

3 3 3 3

7236.2

4 4 36 4 4665662208 .3 3 3

195432.

r mm r Vmm V mm

Comme on a : 1 cm

3 = 1 000 mm3 et 1 litre = 1 000 cm3

3 3

3195432.195,432. 0,195432.195.

0,2. .V mm

V cm litre

V cm

V litre≈≈ =

O M M' H ZZ' K O M M' H ZZ' O M M' H ZZ'

Sections de sphère par un plan.

1. Distance d'un plan à une sphère.

Le parallèlogramme bleu de la figure ci-

contre représente le plan qui découpera la sphère : le plan de coupe.

Préalable : la distance entre un point

quelconque du plan et le centre de la sphère varie en fonction de la position de ce point du plan.

Sur la figure, on a :

OK OH>.

Il existe un point du plan pour qui cette distance est la plus petite. Sur la figure, il s'agit du point H. Ce point H est tel que le triangle KHO est toujours un triangle rectangle en H : On appelle distance du plan à la sphère la distance OH. 2.

Position relative d'un plan par rapport

à une sphère de rayon r .

a) Premiere situation : OH r>.

Le plan ne coupe pas la sphère.

b) Deuxième situation : OH r=

La section de la sphère se limite au point

H, seul point qui appartient à la fois au

plan et à la sphère.

On dit que

LE PLAN EST TANGENT A

LA SPHERE en H.

Le plan et le rayon [OH] sont

perpendiculaires. O M M' H H'ZZ' O M M' H H' ZZ' OMM'H H' ZZ' O M M' H H' ZZ' OMM'H H'ZZ' OH H'ZZ' O M M' HH' ZZ' c) Troisième situation : OH r<

La section est un cercle de centre le point H.

Plus celui-ci se rapproche du centre de la sphère, plus le rayon de la section augmente. On obtient une section de la plus grande taille quand la section passe par le centre de la sphère :

Une telle section s'appelle un grand cercle de la

sphère. En continuant à baisser le point H le long du diamètre [MM'], la section diminue pour atteindre la position limite en M'où le plan de coupe est de nouveau tangent

à la sphère.

O M M' HG Z O M M' H Z

3. Calcul du rayon de la section :

La section est le cercle de centre H. G est unpoint de cette section. Soit H le centre de la section et G un point de cette section.

HG est donc le rayon de la section, rayon que

nous allons maintenant calculer.

Comme le triangle HGO est rectangle en H,

d'après l'égalité de Pythagore :

2 2 2OG OH HG= +

Or : le point G appartient aussi à la sphère de centre O.

Si on note par

Rle rayon de la sphère et par

rcelui de la section, on a :

2 2 2 2 2 2 2 2R OH r r R OH r R OH= +?= -?= -

4. Exemples d'exercices:

a) On considère une sphère de rayon 5.r cm= et de centre O. Soit [OM] un de ses rayons et H, un point de ce rayon tel que : OH = 3,5 cm.

Par H passe un plan perpendiculaire à [OM].

Question : dessinez aux vraies

dimensions le cercle issu de laquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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