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Fonction logarithme : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

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Savoir calculer avec des logarithmes

Simplier les expressions suivantes :

a) ln6ln2 b) lne2c) ln1e xd)eln4 e)e2ln5f)eln3g) lnpeh) lnexResoudre des equations avec des logarithmes et exponentielles

Resoudre dansRles equations suivantes :

a) lnx= 4 b) ln(2x) = 0 c) lnx=1 d)e32x= 5 e) 2ex+ 10 = 6 f) 2lnx+ 6 = 0Resoudre dansRles equations suivantes : a) ln(2x+ 1) + lnx= 0 b) ln(2x)2lnx= 0 c) lnx2= (lnx)2

Equation avec des logarithmes - Piege classique!

On souhaite resoudre dansRl'equation : ln(6x2) + ln(2x1) = ln(x).

Clara arme que cette equation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justier.Resoudre des inequations avec des logarithmes

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a) ln(x)<2 b) ln 1 +2x lnx0 c) (lnx)2+ ln1x

0Resoudre dansR, les inequations suivantes :

a) ln(3x) 2 b) ln(lnx)<0Resoudre des inequations avec des exponentielles

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a)ex>2 b) 4e3x0 c)e1x20 d)e2x2ex0Resoudre dansRles equations et inequations suivantes :

a) ln(x+ 1)ln(2x) = 0 b) ln(x+ 1)ln(2x)0 c) lnx+ ln(3x+ 2)>0Resoudre des equations avec des logarithmes en utilisant un changement d'inconnue

1) Resoudre dansR, l'equationX2+X6 = 0

2) En deduire les solutions des equations suivantes :

a)e2x+ex6 = 0 b) (lnx)2+ lnx6 = 0Signe d'une expression avec des logarithmes Determiner le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indique : a) 1lnxet I=]0;+1[ b) ln(1x) et I=] 1;1[ c) lnex et I=]0;+1[

Etudier une fonction avec des logarithmes

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) = ln(1 +x2).

1) Justier quefest derivable surRpuis determiner, pour toutxreel,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsurR.1

On considere la fonctionfdenie sur ]1;+1[ parf(x) =xlnx.

1) Justier quefest bien denie sur ]1;+1[.

2) Justier quefest derivable sur ]1;+1[ puis determiner, pour toutxde ]1;+1[,f0(x).

3) Determiner le tableau de variations defsur ]1;+1[.On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) = (lnx)2lnx.

1) Justier quefest derivable sur ]0;+1[ puis determiner, pour toutx2]0;+1[,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsur ]0;+1[.Dans chaque cas :

1) Justier que la fonctionfest derivable sur l'intervalle I indique.

2) Determiner la derivee defet le tableau de variations defsur I.

a)f(x) = ln(1ex) et I=] 1;0[ b)f(x) = ln2x

et I=]0;+1[ c)f(x) = ln(1 +ex) et I=RDans chaque cas, determiner la derivee defet le tableau de variations defsur l'intervalle I indique.

a)f(x) =1x + lnxet I=]0;+1[ b)f(x) =xlnxet I=]0;+1[

c)f(x) = ln(x26x+ 10) et I=Rd)f(x) =x2+ 5x3lnxetI=]0;+1[On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e2x3x+ 1.

Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exe

3x+ 4.

1. Justier quefest bien denie surR.

2.Etudier les variations def.On considere la fonctionfdenie sur ]0;[ parf(x) = ln(sinx).

1. Justier quefest bien denie sur ]0;[.

2. Justier quefest derivable sur ]0;[ puis determiner, pour toutxde ]0;[,f0(x).

3. En deduire les variations de la fonctionfsur ]0;[.Limites et logarithme

Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!01lnxb) limx!+1ln2x c) lim x!+1xlnxx2+ 1 d) limx!0xlnxx2+ 1 e) lim x!1ln1 +exf) limx!+1ln1 +exg) limx!01lnxh) lim x!12 ln(1 + 2x)Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!+1xlnxx+ 1b) limx!+1xlnxx

2+ 1c) limx!+1ln2 +x5 +x2

d) lim x!2x>2ln2x2 +x e) lim x!+1lnx(lnx)2f) limx!0lnx(lnx)2g) limx!+1ln(1 +x)x

2h) limx!0ln(1 +x)x

22
L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxetlimx!0lnx

1) a) Completer : Six > :::alors lnx > A

b) Conclure.

2) On poseX=1x

a) Completer limx!0lnx= limX!:::::: b) Conclure.L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxx etlimx!+1lnxpx etlimx!0xlnx

1) On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =xlnx

a)

Etudier les variations def

b) En deduire que pourx >0, lnx < x c) Deduire du b) que pourx >0, lnx <2px d) Conclure.

2) On pose :X=px

a) Completer lim x!+1lnxpx = limX!:::::: b) En deduire lim x!+1lnxpx

3) On pose :X=1x

a) Completer limx!0xlnx= limX!:::::: b) Conclure.a) (un) est une suite geometrique de raisonq= 1:1 etu0=25 Determiner le plus petit entier naturelntel queun100. b) (un) est une suite geometrique de raisonq= 0:9 etu0= 20.

Determiner le plus petit entier naturelntel queun0:1.Dans chaque cas, determiner le plus petit entier naturelntel que :

a) 34
n

102b) 156

n >0:99 c) 5(1:2)n>103Probabilite et logarithme

1) Luc lance une piece non truquee.

Combien de fois doit-il lancer cette piece au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins 1 pile soit superieure a 0.99

2) Lot lance un de non truque a 6 faces.

Combien de fois doit-il lancer ce de au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins un six soit superieure a 0.999.

3) On place un capital a 4% par an en inter^ets composes.

C'est a dire qu'a la n de chaque annee, les inter^ets s'ajoutent au capital. Au bout de combien de temps, le capital aura-t-il double?

4) Michel achete des poissons dans un magasin.

La probabilite qu'un poisson vive plus de deux ans est de 0.1 3 Combien doit-il en acheter au minimum pour la probabilite d'en avoir

encore un vivant apres de 2 ans soit superieure a 0.99On considere les fonctionsfetgdenies sur ]0;+1[ parf(x) = lnxetg(x) = (lnx)2

On noteCfetCgles courbes representatives defetg.

1)

Etudier les positions relatives deCfetCg.

2) Soit M et N les points deCfetCgd'abscissex.

Sur l'intervalle [1;e], pour quelle valeur dex, la distance MN est-elle maximale?On rappelle que pour tout reela >0,elna=a.

En deduire pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.On rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Completer : Pour tout reela6= 0,a:::= 1

2) En deduire que pour tout reela >0,ln1a

=lna

3) En deduire que pour tous reelsaetbstrictement positifs,lnab

= lnalnbOn rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Completer : Pour tout reela0,pa:::=a

2) En deduire que pour tout reela >0,lnpa=12

lnaOn rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Demontrer que pour tout reela >0 et tout entier natureln,ln(an) =nlna.

2) Demontrer que la propriete du 1) reste vraie pour toutnentier negatif.On rappelle que pour tout reela >0,elna=a.

En deduire que la fonctionlogarithme neperienestcroissantesur ]0;+1[.

On rappelle que :

La fonction logarithme neperien est derivable sur ]0;+1[

Pour tout reelx >0,elnx=x

En deduire pour tout reelx >0,ln0(x) =1x

.On rappelle que la fonction logarithme neperien est derivable sur ]0;+1[.

En deduire quelimx!0ln(x+ 1)x

= 1.On veut demontrer par deux methodes que pour toutaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb

1) On rappelle que pour touta >0,elna=a.

En deduire pour que toutaetbstrictement positifs, ln(ab) = lna+ lnb.

2) Pour toutx >0, on posef(x) = ln(ax)ln(a)ln(x) ouaest un reel strictement positif.

a) Determinerf(1). b) Determinerf0(x). c) Conclure.4

Suite et logarithme

On considere la suite denie paru0= 4 et pour tout entier naturelnparun+1=pu n.

1) On a represente la courbe de la fonction racine carree.

Determiner graphiquement les 4 premiers termes de la suite (un).

2) Conjecturer le sens de variation de (un).

3) (un) semble-t-elle converger?

Si oui, conjecturer sa limite.

4) Demontrer que pour tout entier natureln:

1un+1un

5) Demontrer ce qui a ete conjecture au 3)

6) On posevn= lnun

a) Demontrer que la suite (vn) est geometrique et preciser sa raison. b) Exprimervn, puisunen fonction den. c) Demontrer la conjecture du 3) en utilisant la question 6 b). Equation avec parametre - nombre de solutions - probleme ouvert

On considere l'equation (E

1) :exxn= 0.

ouxest un reel strictement positif etnun entier naturel non nul.

1. Montrer que l'equation (E

1) est equivalente a l'equation (E2) : ln(x)xn

= 0.

2. Pour quelles valeurs denl'equation (E1) admet-elle deux solutions?Logarithme decimal

La fonction logarithme decimal, notee log est la fonction denie sur ]0;+1[ par logx=lnxln10

1. Determiner log1, log10, log100, log1000.

2. Quelle conjecture peut-on faire?

3. Demontrer que pour tous nombresaetbstrictement positifs :

a) log(ab) = loga+ logb. b) logab = logalogb.

4. Demontrer la conjecture du 2.

5. Determiner le sens de variation de la fonction log.

6. Le pH d'une solution mesure l'acidite d'une solution.

On denit le pH par pH =log[H+]

ouH+designe la concentration en ions hydrogene en moles par litre. a) Une solution est dite neutre lorsque le pH vaut 7. Determiner la concentration en ionsH+pour qu'une solution soit neutre. b) Une solution est dite acide lorsque le pH est inferieur a 7. Une solution a une concentration en ionsH+de 21011.

Cette solution est-elle acide?

c) Matthias arme que lorsque la concentration en ionsH+diminue, le pH augmente.

Est-ce vrai?Nombre de chires d'un entier naturel

Soientnetpdeux entiers naturels tels que 10n6p <10n+1. 1. D eterminerle nom brede c hiresdans l' ecritured ecimalede p. 2. Mon trerque n=E(logp) ou la fonctionEdesigne la fonction partie entiere. 3. A l'aide de la calculatrice, d eterminerle nom brede c hiresdans l' ecritured ecimalede 2

2018.5

On a trace la courbeCd'une fonctionfdenie sur ]0;+1[ et la tangente aCen A.On sait quef(x) = (ax+b)lnxou a et b sont des reels.

On cherche les valeurs deaetb.

1) A l'aide du graphique, determinerf(1),f(4) etf0(1) en justiant.

2) Determinerf0(x).

3) Montrer queaetbsont solutions du systeme :4a+b= 0

a+b=3

4) En deduire les valeurs deaetb.

5) Expliquer comment verier la coherence des resultats a l'aide d'une calculatrice.6

On a trace la courbe de la fonction logarithme noteeCdans un repere orthonorme (O;I;J).Soit M un point deCd'abscissex.

1) On considere le point M deCpour lequel la distance OM est minimale.

a) Placer approximativement le point M b) Quelle est alors la valeur dex? Tracer la tangenteTaCen M. c) Quelle conjecture peut-on faire concernantTet la droite (OM)?

2) On poseOM=pf(x) oux2]0;+1[

a) Determinerf(x) en fonction dex. b) Demontrer que pour toutx2]0;+1[,f0(x) =2x (x2+ lnx).

3) On noteu(x) =x2+ lnx.

a)

Etudier les variations deu.

b) Determiner les limites deuen 0 et +1. c) Montrer que l'equationu(x) = 0 admet une solution unique. d) En deduire le tableau de signe deu(x). e) Exprimer lnen fonction de.

4) L'objectif de cette question est de demontrer la conjecture du 1.b).

a) A l'aide de la question 3) determiner le signe def0(x). b) En deduire le tableau de variationsf. c) Que peut-on dire des variations defet deOM. d) En deduire les coordonnees du point M en fonction de pour lesquelles la distance OM est minimale. e) Determiner une valeur dea 101. Est-ce coherent?

5) L'objectif de cette question est de demontrer la conjecture du 1.c).

M est le point deCd'abscisse.

a) Determiner un vecteur directeur de la droite (OM). b) Determiner un vecteur directeur de la tangente aCen M. c) Demontrer la conjecture du 1.c)7 On a trace la courbe de la fonction logarithme neperien. a) Expliquer a l'aide de quelle transformation, on peut tracer les courbes des fonctionsf,geth. f(x) =lnx g(x) = 2 + lnx h(x) = ln(x+ 1)

b) Tracer les courbes des fonctionsf,geth.1) On considere la fonctionfdenie pourx >0 parf(x) = ln(x)(x1)

a) Determinerf0(x). b) En deduire le tableau de variations def. c) En deduire que pourx >0, lnxx1

2) Demontrer que pourx >0, 11x

lnx

3) En deduire que pourkentier naturel non nul,1k+ 1lnk+ 1k

1k

4) On considere la suite (un) denie pour tout entiern >0 parun=1n+ 1+1n+ 2+:::+12n.

a) Calculeru1,u2,u3. b) Montrer que 1n +1n+ 1+:::+12n1=un+12n. c) Ecrire l'inegalite du 3) pour toutes les valeurs dek=nak= 2n1.quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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