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Terminale S

Anne-Sophie PHILIPPE

BA CA 3A4A 2A 1 B 3B 4 B 2B 1 C 3 C 4C 2 C 1

Table des matières

1 Suites2

1.1 Rappels sur les suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Limite d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Les fonctions6

2.1 Les limites d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Opérations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Propriétés des limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 8

2.5 Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

3 Fonction exponentielle et équation différentielle11

4 Fonction logarithme népérien12

5 Fonctions puissances et croissances comparées13

5.1 Fonctions puissancesxnet1xn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 Fonctions racinenième. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.4 Fonctions exponentielles de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Les produits scalaires16

6.1 Produits scalaires dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.2 Produits scalaires dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Représentation analytique d"une droite de l"espace18

8 Les nombres complexes19

8.1 Introduction aux nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8.2 Calculs avec les nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8.3 Equation du second degré à coefficientsréels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8.4 Module et argument d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.5 Propriétés du module et des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.6 Lien avec le plan complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.7 Notation exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.8 Nombres complexes et transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Intégration25

9.1 Intégration des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9.2 Propriétés de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.3 Primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27

9.4 Intégrale et primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.5 Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

10 Les probabilités29

10.1 Introduction aux probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.2 Calculs de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.3 Variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Fiches de MathématiquesTABLE DES MATIÈRES

11 Dénombrement et lois de probabilité31

11.1 Dénombrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

11.2 Exemples de lois discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11.3 Lois de probabilité continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

12 Probabilités conditionnelles34

12.1 Les probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

12.2 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34

1

Fiches de Mathématiques1 SUITES

1 Suites

1.1 Rappels sur les suites

Variations d"une suite

?La suite(un)n??est croissante à partir du rangn0si et seulement si, pour toutn?n0,un+1?nn. ?La suite(un)n??est décroissante à partir du rangn0si et seulement si, pour toutn?n0,Un+1?Un. ?Une suite(un)n??est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

Etude du sens de variation d"une suite

?Etude du signe deun+1-un. ?un=f(n), sifest monotone sur[0;+∞], alors la suite(un)n??est monotone, de même variation quef(formule explicite). ?Si(un)n??est strictement positive, on peut comparerun+1 unet 1. Si un+1 un>1,(un)n??est strictement croissante. Si un+1 un<1,(un)n??est strictement décroissante.

Suites majorées, minorées, bornées...

?La suite(un)n??est majorée s"il existe un réelMtel que pour tout entiern,un?M. ?La suite(un)n??est minorée s"il existe un réelmtel que pour tout entiern,un?m. ?La suite(un)n??est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites arithmétiques

?Une suite(un)n??est arithmétique s"il existe un réelr(la raison) indépendant dentel que, pour tout

n??, u n+1=un+r ?Pour tous entiersnetp,un=up+(n-p)×r. ?un=u0+n.r. ?limn→+∞un="+∞, sir>0 -∞, sir<0 ?Somme de termes consécutifs : (nombre de termes)×1erterme×dernier terme 2

Exemple :

1+2+...+n=n×(n+1)2

2

Fiches de Mathématiques1 SUITES

Suites géométriques

?Une suite(un)n??est géométrique s"il existe un réelq(la raison) indépendant dentel que, pour tout

n??, u n+1=un+q ?Pour tous entiersnetp,un=up×qn-q. ?un=u0×qn. ?limn→+∞qn="+∞, siq>1

0, si 0 ?Somme de termes consécutifs : (1ertermes)×1-qnombre de termes 1-q

Exemple :

1+q1+q2+...+qn=1×1-qn+11-q

Attention : nombre de termes=n+1-1erterme

1.3 Démonstration par récurrence

Démonstration par récurrence

Pour démontrer que pour tout entiern?n0,Pn(proposition qui dépend den) est vraie, il faut : ?Initialisation: vérifier quePn0est vraie pourn0?0. ?Hypothèse de récurrence: considérer quePkest vraie pour un certain entierk?n0. ?Propriété d"hérédité: démontrer quePn+1est vraie. ?Conclusion: pour toutn?n0,Pnest vraie.

1.4 Limite d"une suite

Limites d"une suite numérique(un)n??

?La suite(un)n??converge vers un réel?. Ceci signifie que tout intervalle contenant?contient aussi

tous les termes de la suite à partir d"un certain rangp. lim n→+∞un=? (un)n??est convergente et converge vers?.

?La suite(un)n??a pour limite+∞. Cela signifie que tout intervalle ouvert]A;+∞[contient tous les

termes de la suite à partir d"un certain rangp. La suite est divergente.

?La suite(un)n??a pour limite-∞. Ceci signifie que tout intervalle ouvert]-∞;B[contient tous les

termes de la suite à partir d"un certain rangp. La suite est divergente. ?La suite(un)n??n"admet aucune limite. La suite est divergente. 3

Fiches de Mathématiques1 SUITES

Suites monotones

?Si une suite(un)n??est croissante et non majorée, alors : lim n→+∞un=+∞ ?Si une suite(un)n??est décroissante et non minorée, alors : lim n→+∞un=-∞ ?Une suite croissante et majorée est convergente. ?Une suite décroissante et minorée est convergente. ROC 1 : limite d"une suite croissante non majorée

?La suite(un)n??n"est pas majorée : quelque soit le réelA, on peut trouver un entierptel queup?A.

?La suite(un)n??est croissante. Pour toutn?p:#un?up u n>A. ?A partir du rangp, tous les termes de la suite sont dans]A;+∞[. ?Conclusion : par définition, cela prouve : lim n→+∞un=+∞ ROC 2 : limite d"une suite décroissante non minorée

?La suite(un)n??n"est pas minorée : quelque soit le réelB, on peut trouver un entierptel queup?B

?La suite(un)n??est décroissante. Pour toutn?p:#un?up u n?Soit la suite(un)n??, croissante et majorée par un réelM. NotonsA, le plus petit des majorants.

?Tout intervalle]A-α;A+α[contient au moins un termeupde la suite. Sinon,A-αserait un majorant de la suite, ce qui contredit le fait queAsoit le plus petit des majorants. ?La suite(un)n??est croissante : pour toutn?p,un?up.

?Conclusion: l"intervalle]A-α;A+α[contient tous les termes de la suite à partir du rangp. Ceci

est vrai, quel que soit le réelα >0. Par définition, la suite(un)n??converge et à pour limiteA. 4

Fiches de Mathématiques1 SUITES

ROC 4 : limite d"une suite décroissante et minorée

?Soit la suite(un)n??décroissante et minorée par un réelm. NotonsB, le plus grand des minorants.

?Tout intervalle]B-α;B+α[contient au moins un termeupde la suite. Sinon,B+αserait un minorant de la suite, ce qui contredit le fait queBsoit le plus grand des minorants. ?La suite(un)n??est décroissante : pour toutn?p,un?up.

?Conclusion: l"intervalle]B-α;B+α[contient tous les termes de la suite à partir du rangp. Ceci

est vrai, quelque soit le réelα >0. Par définition, la suite(un)n??converge et à pour limiteB.

Limite d"une suite géométrique

?Soit(un)n??, une suite géométrique de raisonqnon nulle.

Pour tout entiern:

un=u0×qn ?Si|q|<1, limn→+∞qn=0 ?Siq>1, limn→+∞qn= +∞ ?Siq=1, limn→+∞qn=1 ?Siq?-1,qnn"a pas de limite. Théorème d"encadrement (" des gendarmes ») Soient trois suites(un)n??,(vn)n??,(wn)n??telles que : ?n?n0,v n?un?wnlimn→+∞vn=? lim n→+∞wn=???? limn→+∞un=?

1.5 Suites adjacentes

Théorème et définition

Deux suites(un)n??et(vn)n??sont adjacentes si et seulement si : ?(un)n??est croissante. ?(un)n??est décroissante. ?limn→+∞un-vn=0

Théorème: Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite.

5

Fiches de Mathématiques2 LES FONCTIONS

2 Les fonctions

2.1 Les limites d"une fonction

Définitions

?Limite finie d"une fonction en+ou-∞: présence d"une assymptote horizontale (d"équationy=?)

à?fen+ou-∞.

lim x→+∞1 xn=0 lim x→+∞1 ?x=0 ?Limite infinie d"une fonction à l"infini. Pas d"assymptote. lim x→+∞xn= +∞ lim x→+∞? x=+∞ lim x→-∞xn= +∞(npair) lim x→+∞xn=-∞(nimpair) ?Cas particulier : limx→+∞f(x)-(ax+b)=0 La droite d"équationy=ax+best assymptote oblique à?fen+∞. ?Limite def(x)quandxtend versaen+∞: présence d"une assymptote verticale (x=a) à?f. lim x→0+1 xn=lim x→0-1xn=+∞(npair) lim x→0+1 xn= +∞et lim x→0-1xn=-∞(nimpair) ?Limite finie de la fonction en un réela. limx→af(x)=? 6

Fiches de Mathématiques2 LES FONCTIONS

2.2 Opérations sur les limites

Formes indéterminées

limx→αf=+∞ lim x→αg=-∞??? limx→αf+gest indéterminée lim x→αf=±∞ lim x→αg=0??? limx→αf×gest indéterminée lim x→αf=±∞ lim x→αg=±∞??? limx→αf gest indéterminée lim x→αf=0 lim x→αg=0??? limx→αf gest indéterminée Limite d"une fonction polynôme ou d"une fonction rationnelle

?Règle 1: en±∞, la limite d"une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut

degré.

?Règle 2: en±∞, la limite d"une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est égale à la

limite du quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du

dénominateur.

Composé de deux fonctions

On notef, la composé deusuivie dev:

f=v◦u lim x→au(x)=b lim x→bv(x)=c??? limx→av◦u(x)=c

Remarque: vérifier les domaines de définition.u, définie sur l"intervalleIetvdéfinie sur l"intervalle

Jtel que :?x?I,u(x)?J

2.3 Propriétés des limites

Unicité

Sifadmet une limite enα, alors, cette limite est unique. 7

Fiches de Mathématiques2 LES FONCTIONS

Théorèmes de comparaison

?Théorème 1: au voisinage deα, Sif(x)?u(x)et limx→αu(x)=+∞, alors, limx→αf(x) =+∞(1) Sif(x)?v(x)et limx→αu(x)=-∞, alors, limx→αf(x)=-∞(2) ?Démonstrations (ROC)

(1) Soit,α=+∞. Tout intervalle]M;+∞[, oùMest un réel, contient touslesu(x)pourxassezgrand.

Or, au voisinage deα,f(x)?u(x). Donc, pourxassez grand, tous lesf(x)sont contenus dans ]M;+∞[.

Par définition,

limx→+∞f(x)= +∞ (2) Idem ?Théorème 2: au voisinage deα, Si limx→α|f(x)-?|?u(x)et limx→αu(x)=0

Alors, lim

x→αf(x) =?. ?Théorème 3 : Théorème des gendarmes: au voisinage deα Siu(x)?f(x)?v(x)et limx→αu(x)=limx→αv(x) =?, alors, lim x→αf(x)=?. ?Démonstration (ROC)

Soit,α=+∞.

Pourx>A:u(x)?f(x)?v(x)

limx→+∞u(x)=?signifie que pourx>B,u(x)?IavecIintervalle contenant?. lim x→+∞v(x)=?signifie que pourx>C,v(x)?I.

PrenonsMle plus grand des nombresA,B,C.

?x?M,on a???u(x)?f(x)?v(x) u(x)?I v(x)?I

Doncf(x)?I.

Par définition, limx→+∞f(x)=?.

?Comptabilité avec l"ordre Au voisinage deα: sif(x)?g(x)et limx→αf(x)=?et limx→αg(x)=??

Alors,????

2.4 Continuité

Définitions et théorèmes

?Sifest continue ena: lim x→a-f(x)=lim x→a+f(x) =f(a) ?Sifest dérivable ena?I, alorsfest continue ena. ?Sifest dérivable surI, alorsfest continue surI. Remarque: la réciproque est fausse, une fonction continue n"est pas toujours dérivable. 8

Fiches de Mathématiques2 LES FONCTIONS

Démonstration (ROC) toute fonction dérivable est continue fest dérivable enasignifie que, limx→af(x)-f(a)x-a=f?(a) Soitg, la fonction définie sur un voisinage deapar : g(x)=f(x)-f(a) x-a avecx?=a f(x) =(x-a)×g(x)+f(a) lim x→ax-a=0 et limx→ag(x)=f?(a)

Donc lim

x→af(x)=f(a)

Par définition,fest continue ena.

Cas particuliers

?Les fonctions polynômes sont continues sur?. ?Les fonctions rationnelles sont continues sur chacun des intervalles du domaine de définition. ?Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur? ?Toutefonctionconstruite paraddition,multiplicationoucompositionde fonctionscontinuesestune fonction continue. ?La fonction racine carrée est définie sur[0;+∞[et est dérivable sur]0;+∞[. Selon le théorème, cette fonction est continue sur]0;+∞[. Mais, sa limite en 0 est 0 donc elle est continue sur[0;+∞[. 9

Fiches de Mathématiques2 LES FONCTIONS

Nombre dérivé

lim h→0f(a+h)-f(a)h=? f(a+h)=f(a)+?h+h?(h)avec lim h→0?(h)=0

Si ces propositions sont vraies,fest dérivable enaet?est le nombre dérivé defenanotéf?(a).

Sifest dérivable ena, la courbe?fadmet au pointA(a;f(a))une tangente?dont le coefficient directeur estf?(a). L"équation de?est : y=f?(a)×(x-a)+f(a)

Si la limite du taux d"accroissement entreaeta+hdefest±∞, alorsfn"est pas dérivable. Il y a pas

de tangente verticale ena.

Si les limites sont différentes à droite et à gauche, alorsfn"est pas dérivable ena. Il y a un point

anguleux ena.

Théorème des valeurs intermédiaires

Sifest continue sur[a;b], alors, pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), il existe au moins un réelcappartenant à[a;b]tel que f(c) =k. L"équationf(x)=kadmet au moins une solution dans[a;b]. Théorème de bijection ou corollaire du theorème des valeursintermédiaires Sifest continue et strictement croissante sur[a;b],f([a;b]) =[f(a);f(b)].

Alors,

?y?[f(a);f(b)], il existe un et un seul réelc?[a;b]tel quef(c) =y. L"équationf(x)=yadmet une et une seule solution dans[a;b]. Idem pour une fonction strictement décroissante.f([a;b]) =[f(b);f(a)].

Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle donné réalise une bijection...

Démonstration (ROC)

?Supposonsfcontinue et strictement croissante sur[a;b]. ?Existence :

fest continue sur[a;b]. D"après le théorème des valeurs intermédiaires,?y?[f(a);f(b)], l"équation

f(x)=yadmet au moins une solution. ?Unicité :

Supposons quef(c1) =f(c2) =yavecc1

Cela contredit la suppositionf(c1)=f(c2)=y.

Donc, il existe un seul réelctel quef(c) =y.

10 Fiches de Mathématiques3 FONCTION EXPONENTIELLE ET ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

2.5 Dérivation

Rappels

?fest constante si et seulement sif?est nulle. ?fest croissante si et seulement sif?est positive. ?fest décroissante si et seulement sif?est négative. ?Sif(a)est un extremum local defenaalors,f?(a) =0. (réciproque fausse) ?Sif?s"annule et change de signe enaalors,f(a)est un extremum local.

Dérivée d"une fonction composée

gdérivable surJetudérivable surItels que :?x?I,u(x)?J. Alors,f=g◦uest dérivable surIet on a(g◦u)?(x)=g?(u(x))×u?(x) (g◦u)?= (g?◦u)×u?

Exemples importants

u, fonction positive et dérivable surI. ?f=? uest dérivable et donne :(?u)?=u?2?u. ?f=unest dérivable et donne :(un)?=n×un-1×u?

3 Fonction exponentielle et équation différentielle

Définition

On dit quef, fonction dérivable sur un intervalleI, est solution de l"équation différentielley?=k.y,

lorsque?x?I,f?(x) =k.f(x).

Fonction exponentielle

Il existeune et une seule fonctiondérivable sur?telle quey?=yety(0)=1 (condition initiale). C"est la

fonction exponentielle. ?(exp)?=exp?ea+b=ea×eb ?e2a= [ea]2?e-a=1 ea ?ea-b=ea eb?(ea)n=en.a ?e0=1 ?La fonction exponentielle est strictement croissante sur? ?limx→+∞ex= +∞et limx→-∞ex=0 ?lim h→0e h-1 h=1 ?limx→+∞e x x=+∞et limx→-∞x.ex=0 ?limx→+∞e x xn=+∞et limx→-∞xn.ex=0 ?Fonction composéeeu.(eu)?=u?.eu 11 Fiches de Mathématiques4 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Equationy?=a.y

L"ensemble des solutions dans?de l"équationy?=ayest l"ensemble des fonctions x?→c.eax oùcest un réel quelconque. Il existeune unique solutionvérifiant la condition initialey?(x0) =y0.

Equationy?=ay+b

Les solutions de l"équation(E):y?=a.y+bsont les fonctions définies sur?, de la formef-baoùf est solution dey?=ay. C"est-à-dire x?→Ceax-b a oùC??. Siy(x0) =y0,(E)admetune uniquesolution.

4 Fonction logarithme népérien

Propriétés

?ln(1) =0?ln(e)=1 ?eln(a)=a?ln(ea) =a ?ln(a×b)=ln(a)+ln(b)?lna b=ln(a)-ln(b) ?ln1 a=-ln(a)?ln?a=12ln(a) ?ln(an)=n×ln(a)

Etude de la fonction

?La fonction ln est définie et continue sur]0;+∞[. ? ?x?]0;+∞[, ln?(x)=1 x. ?La fonction ln est croissante sur]0;+∞[. ?limx→+∞ln(x)=+∞et limx→0ln(x)=-∞ ?limx→+∞ln(x) x=0 et limx→0x.ln(x)=0 ?limx→1ln(x) x-1=1 et limx→0ln(x+1)x=1 12 Fiches de Mathématiques5 FONCTIONS PUISSANCES ET CROISSANCES COMPARÉES

Démonstration (ROC)

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