[PDF] 12. Régression linéaire simple

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12. Regression lineaire simple

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v2)

MTH2302D: regression1/46

1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6

Plan

1. Introduction

2. Regression lineaire simple

3. Estimation des parametres

4. Intervalles de conance et tests

5. Analyse des residus

6. Correlation

MTH2302D: regression2/46

1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6

1. Introduction

2. Regression lineaire simple

3. Estimation des parametres

4. Intervalles de conance et tests

5. Analyse des residus

6. Correlation

MTH2302D: regression3/46

1/62/6 3/6 4/6 5/6 6/6

Regression lineaire : introduction

But :etablir un lien entre une variable dependanteYet une variable independanteXpour pouvoir ensuite faire des previsions surYlorsqueXest mesuree.Exemple 1 L'analyse de la temperature de fonctionnement d'un procede chimique sur le rendement du produit a donne les valeurs suivantes pour la temperatureXiet le rendement correspondantYi:

Temperature

CRendement %Temperature

CRendement %

1004515070

1105116074

1205417078

1306118085

1406619089

MTH2302D: regression4/46

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Exemple 1 (suite)

Le graphe ci-dessous represente les points(Xi;Yi)pour ces donnees et suggere une relation lineaire entreXetY.404 0 0 0 808

90901101301

01 0190

40

0 0 8918 0 3+4, -408MTH2302D: regression5/46

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1. Introduction

2. Regression lineaire simple

3. Estimation des parametres

4. Intervalles de conance et tests

5. Analyse des residus

6. Correlation

MTH2302D: regression6/46

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Modele lineaire

Denition

Unmodele de regression lineaire simpleest de la forme

Y=0+1X+"

ou I

Yest lavariable dependante(une v.a.).

I

0et1sont lescoecients(ordonnee a l'origine et pente).

I Xest lavariable independante(variable explicative). I "est uneerreuraleatoire.MTH2302D: regression7/46

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Modele lineaire (suite)

L'esperance deYpour chaqueXest le point sur la droite d'equation E(YjX) =0+1X.

On suppose que

I

Pour chaque valeur deX, E(") = 0et V(") =2.

I "N(0;2). I

Les erreurs"sont independantes (non correlees).

On cherche a

I

Estimer les parametres0,1et2.

I Verier si le modele est adequat.MTH2302D: regression8/46

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1. Introduction

2. Regression lineaire simple

3. Estimation des parametres

4. Intervalles de conance et tests

5. Analyse des residus

6. Correlation

MTH2302D: regression9/46

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Parametres0et1

Supposons quenpaires d'observations(X1;Y1),(X2;Y2),:::, (Xn;Yn)ont ete faites. Substituant dans le modele lineaire, on obtient Y i=0+1Xi+"i)"i=Yi01Xi: Les coecients sont determines par la methode des moindres carres qui minimise la somme des carres des erreurs :

L(0;1) =nX

i=1(Yi01Xi)2: On resout le systeme de deux equations a deux inconnues rL(^0;^1) = 0.MTH2302D: regression10/46

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Parametres0et1(suite)

rL(^0;^1) = 0)8

0=Y^1X

1=P n i=1XiYinXYP n i=1X2inX

2=SXYS

XXavec

IX=1n P n i=1XietY=1n P n i=1Yi. I

SXX=Pn

i=1(XiX)2=Pn i=1X2inX

2= (n1)S2.

I

SY Y=Pn

i=1(YiY)2=Pn i=1Y2inY 2. I

SXY=Pn

i=1(XiX)(YiY) =Pn i=1XiYinXY. Exemple 2 :retrouver ces formules.MTH2302D: regression11/46

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Droite de regression pour l'exemple 1404

0 0 0 808

90901101301

01 0190+,--./0+1,23/+/1.41/002,-Voirchier Excel .

MTH2302D: regression12/46

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Point de vue algebrique

I

Etant donnesnpoints de donnees

(X1;Y1);(X2;Y2);:::;(Xn;Yn)deR2, on essaie de trouver l'equation d'une droite qui passe par lesnpoints. I

Cette equation estY=0+1Xavec0;12R.

I

0et1devraient ^etre les solutions du systemeAx=bavec

A=2 6

6641X1

1X2......

1Xn3 7

775;x=0

1 ;b=2 6 664Y
1 Y 2... Y n3 7 775.
I

Resolution au sens des

moindres ca rres ^0;^1) = A>A

1A>b.MTH2302D: regression13/46

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Proprietes de0et1

La droite de regression estimee est

^Y=^0+^1X.

Les variables aleatoires

^0et^1sont des estimateurs de l'ordonnee a l'origine0et de la pente1.Theoreme

1.E(^0) =0et E(^1) =1(estimateurs non biaises).

2.V(^0) =2"

1n +X 2S XX# et V(^1) =2S XX.

3.Cov(^0;^1) =2X

S XX.

MTH2302D: regression14/46

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Parametre2

Rappel : le modele de regression estY=0+1X+"avec

"N(0;2).

La dierence entre la valeur estimee

^Yi=^0+^1Xiet la valeur observeeYiest appeleeresiduet est denoteeEi=^YiYi.

On denit

I

Lasomme des carres d^ue a l'erreurpar

SS E=nX i=1E 2i=nX i=1(^YiYi)2. I

Lasomme des carres d^ue a la regressionpar

SS R=nX i=1(^YiY)2=^21SXX=S2XYS XX.

MTH2302D: regression15/46

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Parametre2(suite)

La quantiteSY Yrepresente la variabilite totale desYi. On peut la decomposer par S

Y Y=SST=SSE+SSR.Theoreme

1.E(SSE) = (n2)2.

2.^2=SSEn2MSEest donc un estimateur sans biais de2.MTH2302D: regression16/46

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Exemple 1 (suite)

L'analyse de la temperature de fonctionnement d'un procede chimique sur le rendement du produit a donne les valeurs suivantes pour la temperatureXiet le rendement correspondantYi:

Temperature

CRendement %Temperature

CRendement %

1004515070

1105116074

1205417078

1306118085

1406619089

Voir chier Excel

MTH2302D: regression17/46

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1. Introduction

2. Regression lineaire simple

3. Estimation des parametres

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