[PDF] Chapitre 1 INTRODUCTION 2 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

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Chapitre 1

INTRODUCTION

Ce cours expose les méthodes générales de calcul des sollicitations et des dé- placements des structures hyperstatiques. Il consacre également une large place aux problèmes isostatiques jugés nécessaires à la bonne clarté de l"exposé. Les

méthodes particulières classiques sont également présentées afin de donner à

l"étudiant des moyens de calcul pratiques mais aussi rigoureux que possible. Ce chapitre est consacré à des rappels.

1.1 CLASSIFICATION DES CORPS - NOTION DE POUTRE

Les corps qu"on rencontre et qu"on sera

amené à étudier peuvent être classer en fonction de leurs dimensions. On distingue : a) Les poutres (ou barres)

Une dimension est beaucoup plus grande

que les deux autres qui sont de même ordre de grandeur.

La poutre est l"élément le plus répandu

en construction. Les poutres sont associées, entre elles ou à d"autres types d"éléments pour constituer des systèmes ou structures. DEFINITION : une poutre est un solide engendré par une aire plane (

S) dont le

centre de gravité décrit une courbe G

1G2. Le plan P contenant S restant normal à

la courbe G

1G2 (Figure 1.1).

Section : l"aire

S est appelée section droite, ou plus simplement section de la poutre. Fibre : le volume engendré par un élément d

S de l"aire S est désigné par fibre de

la poutre.

Fibre moyenne : la courbe G

1G2 est appelée fibre moyenne ou axe moyen de la

poutre. C"est le lieu géométrique des centres de gravité des sections de la poutre. Figure 1.1

P G 1 G 2 S d S

2 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Poutre gauche : c"est une poutre dont la fibre moyenne est une courbe gauche. Poutre plane : il s"agit d"une poutre dont la fibre moyenne est une courbe plane (c"est-à-dire contenue dans un plan). Poutre droite : lorsque la fibre moyenne d"une poutre plane est un segment de droite, on parle de poutre droite. Poutre à plan moyen : c"est une poutre possédant un plan de symétrie qui con- tient la fibre moyenne. Ce plan est désigné par plan moyen. Les poutres à plan moyen chargées dans ce plan se rencontrent fréquemment et constituent un des problèmes essentiels traités par la Résistance des Maté- riaux.

Nous avons supposé la section

S constante et dans ce cas la poutre est dite à section constante ou poutre prismatique. Il arrive aussi qu"on soit amené, généra- lement pour des raisons d"économie, à choisir des sections variables ; on parle dans ce cas de poutre à section variable. b) Les plaques, coques et membranes Il s"agit de corps dont deux dimensions, de même ordre de grandeur, sont beaucoup plus grandes que la troisième (Figures 1.2a et 1.2b). Ces types d"élé- ments ne sont pas traités ici. c) Les poutres à parois minces ou poutres coques Les trois dimensions sont significatives et aucune n"est faible comparative- ment aux autres (Figure 1.2c).

1.2 SYSTEMES ET CHARGES CONSIDERES

Les systèmes qui seront considérés dans ce cours seront constitués de poutres isolées ou de poutres reliées les unes aux autres. Les poutres peuvent être assem- blées de façon rigide (ex. portiques) ou de manière à permettre certaines possibi- lités de déplacement - degrés de liberté - (ex. systèmes articulés). Les poutres (ou plus exactement leurs axes moyens), les charges extérieures et les réactions des appuis des systèmes étudiés dans ce cours seront générale- ment situées dans un même plan. Dans ce cas, on dit qu"on a affaire à des sys- tèmes plans. Les charges qui sollicitent les systèmes comprennent : - le poids propre (action de la pesanteur), - les forces et les couples concentrés, (a) (b) (c)

Figure 1.2

Introduction 3

- les forces et les couples répartis. Il faut signaler qu"on entend par force concentrée une force répartie sur une petite surface (ex. action d"une roue). Par ailleurs, les charges sont supposées être appliquées lentement, de zéro à leur valeur finale. On dit dans ce cas que les charges sont appliquées statique- ment. Enfin, nous supposerons que les charges extérieures sont directement appli- quées aux fibres moyennes des poutres. Sous cette hypothèse, les poutres peu- vent être représentées par leurs axes moyens.

1.3 APPUIS DES SYSTEMES PLANS

Les systèmes sont reliés à l"extérieur par des liaisons appelées appuis, et où apparaissent des réactions qui réagissent à l"action des forces appliquées. Les réactions et les charges exercées constituent un système de forces en équilibre, car les constructions que nous considérons sont toujours en équilibre. La classification des appuis se fait d"après le nombre de degrés de liberté (ddl) (c"est-à-dire les possibilités de mouvement) qu"ils laissent au système et d"après la nature des réactions qu"ils peuvent exercer sur lui. a) L"appui simple (Figure 1.3)

Il a deux degrés de liberté :

- la rotation autour de l"appui, - la translation parallèlement au support de l"appui. La réaction est connue par son point d"application (point de contact du sys- tème avec l"appui) et par sa direction (elle est perpendiculaire au support). Seule l"intensité reste à déterminer. En résumé, l"appui simple se caractérise par : 2 degrés de liberté et 1 compo- sante de réaction. La figure 1.3a montre le principe de fonctionnement de l"appui simple. Les figures b, c et d indiquent les représentations courantes. La représen- tation adoptée ici est celle de la figure d. b) L"appui double (Figure 1.4) Il a un seul degré de liberté, la rotation autour de l"appui. Toute translation est par contre empêchée. Dans ce cas, la réaction de l"appui est connue uniquement par son point d"ap- plication, le point de contact du système avec l"appui (point A) (la ligne d"action A RA (b) (c) (d) (a)

Figure 1.3 : l'appui simple.

4 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

de la réaction passe par A). La réaction est décomposée suivant deux directions perpendiculaires et les deux composantes sont à déterminer. L"appui double présente donc 1 degré de liberté et 2 composantes de réaction. c) L"encastrement (Figure 1.5)

Il n"a aucun degré de liberté. Tout dé-

placement est empêché. La réaction est un vecteur pouvant occuper n"importe quelle position du plan. On peut toutefois dé- composer la réaction en 3 composantes : - deux composantes suivant deux di- rections perpendiculaires et passant par A, - un couple appliqué en A. En définitive, l"encastrement se caractérise par : 0 degré de liberté et 3 com- posantes de réaction. d) Appui déformable - Appui élastique Un appui qui peut subir un déplacement dans la direction d"une composante de réaction est dit déformable (ex. sol compressible). Si le déplacement est proportionnel à la composante de réaction qui l"a pro- voqué, l"appui déformable est dit élastique.

1.4 PRINCIPE GENERAL D'ÉQUILIBRE - ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE

Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu"un système soit en équilibre sont : a) les sommes des projections de toutes les forces sur 3 axes passant par un point quelconque et non situés dans un même plan doivent être nulles, b) les sommes des moments par rapport à chacun des trois axes doivent être nulles. Pour une construction (structure), la vérification de ces conditions signifie qu"elle ne peut se déplacer comme un tout (corps rigide), autrement dit elle est en

équilibre.

RA R A A

Art. métallique

Art. de Freyssinet Représentation adoptée

Figure 1.4 : l'appui double.

RA®

Représentation

Figure 1.5 : l'encastrement

CA

Introduction 5

Soient oxyz un repère trirectangle et Fx, Fy et Fz les projections sur les axes ox, oy et oz d"une force quelconque. Les conditions d"équilibre (a) et (b) s"écri- vent (cas général) : S S S S

S SF MF MF Mx x

y y z z= = = =0 0 0 0 0 0 (1.1) Les équations (1.1) sont appelées équations d'équilibre de la statique ou six

équations universelles d'équilibre.

Dans le cas d"un système plan, xy par exemple, le système d"équations (1.1) se réduit à :

S S S DF F Mx y= = =0 0 0 / (1.2)

où D est un axe quelconque perpendiculaire au plan xy. Notons que les équations d"équilibre de la statique sont écrites en travaillant sur la configuration initiale du système, c"est-à-dire non déformée ; autrement dit les déformations sont négligées.

1.5 PRINCIPE DE LA COUPE - ÉLEMENTS DE RÉDUCTION

Considérons la poutre chargée représentée à la figure 1.6. Le corps étant en équilibre sous l"action des charges extérieures et des réactions (supposées con- nues), chaque partie de ce corps se trouve également en équilibre. Pratiquons (par l"esprit) une coupe dans la poutre suivant le plan vertical yz, de manière à avoir deux tronçons. Intéressons-nous par exemple à la partie de gauche. Le tronçon considéré est en équilibre sous l"action des sollicitations qui lui sont appliquées, des composantes de réaction de l"appui A et de l"action du tronçon de droite supprimé. L"action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche peut être remplacée par : une force résultante R (R x, Ry et Rz) et un couple résultant C (Cx, Cy et Cz) agissant au centre de gravité de la section SSSS. Les six composantes représentant l"action de la partie de droite sur la partie de gauche peuvent être déterminées à l"aide des équations de la statique exprimant l"équilibre de la partie considérée (3 équations d"équilibre de translation et 3 équations d"équilibre de rotation).

R F F F

C C C Cx x y y z zx x y y z z===

SSS S S S

R R

C C/ / / (1.3) A z x y B S

Figure 1.6

6 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Les composantes R

x, Ry, Rz, Cx, Cy et Cz s"appellent éléments de réduction (réduction de toutes les forces à droite de la section

S) dans la section S de la

poutre considérée. En RDM, on utilise plutôt les notations N x, Ty, Tz, Mt, My et Mz qui désignent l'effort normal (N x), les efforts tranchants (Ty et Tz), le moment de torsion (M t) et les moments fléchissants (My et Mz). Les composantes Rx, Ry, Rz, C x, Cy, Cz et les grandeurs Nx, Ty, Tz, Mt, My et Mz ne diffèrent que par le signe.

Les composantes R

x, Ry, Rz, Cx, Cy et Cz sont positives si elles sont orientées dans les sens positifs des axes x, y et z du trièdre direct xyz (Figures 1.7b et 1.7c).

Par contre, pour N

x, Ty, Tz, Mt, My et Mz nous adopterons des conventions de signes particulières (§ 1.6) pour des raisons pratiques qui apparaîtront plus loin (Figures 1.7b et 1.7d).

La composante N

x (Rx) agit normalement à la section ; quant aux efforts Ty et T z (Ry et Rz), ils s"exercent tangentiellement (transversalement) à la section.

La composante M

t s"appelle moment de torsion (Cx couple de torsion), car il tord la poutre. Convenons tout de suite de considérer un moment de torsion comme positif s"il tend à faire tourner la section considérée dans le sens horlo- gique.

Les deux dernières composantes, M

y et Mz, sont appelées moments de flexion (C y et Cz couples de flexion), car ils fléchissent la poutre. La seule différence entre les moments et les couples de flexion réside comme on l"a souligné dans la convention des signes (Figure 1.7). Les couples C y et Cz sont positifs s"ils sont orientés dans les sens positifs des axes y et z du trièdre direct xyz. Pour les mo- ments M y et Mz, on a l"habitude de les considérer comme positifs si les centres de courbure de la poutre fléchie sont du côté des z négatifs pour M y et du côté des y négatifs pour M z. Ceci nous amène à préciser les conventions de signes que nous utiliserons. Mais auparavant, remarquons que dans le cas d"un système plan, xy par exemple, les éléments de réduction se réduisent à : un moment fléchissant (M = M z), un effort tranchant (T = T y) et un effort normal (N = Nx). Enfin, il convient de noter que si on avait gardé le tronçon de droite et sup- primé celui de gauche, on aurait trouvé dans la section des éléments de réduction de même intensité et de même nature que ceux trouvés en considérant le tronçon de gauche. Il serait absurde en effet de trouver dans la même section des sollici- tations différentes selon qu"on la regarde de la gauche ou qu"on la regarde de la droite.

Ry=Ty R

x=Nx T z=-Rz R z z x y Cz C x C y M t=-Cx M y=Cy Mz=-Cz (d) (c) (b) (a)

Figure 1.7

Introduction 7

1.6 DEFINITIONS ET CONVENTIONS DES SIGNES DE N, T, M

Considérons un système, de préférence plan pour plus de clarté, constitué par une poutre prismatique (Figure 1.8).

1.6.1 Effort normal

D"après ce qu"on vient de voir (relations 1.3 notamment), l"effort normal N dans la section S est égal à la somme algébrique des projections sur l"axe des x de toutes les forces (charges extérieures et réactions d"appui) agissant sur le tronçon

à gauche de

S (*).

N F=Scosa (1.4a)

Un effort normal exerçant une traction sur la section étudiée sera considéré comme positif.

1.6.2 Effort tranchant

L"effort tranchant T dans la section

S est égal à la somme algébrique des pro- jections sur l"axe des y de toutes les forces agissant sur la partie de la poutre située à gauche de la section

S (*).

T F=Ssina (1.4b)

Nous conviendrons de considérer un effort tranchant comme positif s"il a ten- dance à faire tourner la section

S dans le sens horlogique.

1.6.3 Moment fléchissant

Le moment fléchissant M dans la section

S est égal à la somme algébrique

des moments créés dans cette section par toutes les sollicitations agissant sur le tronçon à gauche de

S (*).

M C Fd=+SSsina (1.4c) où C et d représentent un couple concentré courant et le bras de levier de la com- posante transversale de la force courante F. _____________________________________

(*) Nous avons considéré le tronçon à gauche de S mais il est bien évident qu'on obtiendrait des

efforts de même intensité et de même nature si on considérait le tronçon situé à droite de la section

étudiée.

Figure 1.8

F a (S) N M T

8 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Un moment fléchissant qui provoque des tractions dans les fibres inférieures d"une poutre horizontale sera considéré positif. Dans le cas des pièces obliques ou verticales, on peut considérer comme positif un moment qui tend les fibres de gauche.

1.7 DIAGRAMMES N, T, M

La construction des diagrammes des éléments de réduction constitue une étape essentielle dans toute étude de RDM. Un diagramme est un graphe qui indique la valeur (intensité et nature) de la sollicitation considérée dans toutes les sections du système étudié. Ils sont tracés à partir des relations (1.4).

Les diagrammes des éléments de

réduction permettent de localiser les sections les plus sollicitées (sièges des contraintes les plus

élevées) et servent au dimension-

nement des différents éléments des structures.

Dans la construction des dia-

grammes, les valeurs positives et négatives sont portées de part et d"autre d"un axe-origine. Par ail- leurs, pour le diagramme du mo- ment fléchissant, on a pour habi- tude de porter les ordonnées tou- jours du côté des fibres tendues.

Pour éviter tout risque de

mauvaise interprétation des dia- grammes, il est vivement recom- mandé d"ajouter dans chaque aire des diagrammes les précisions suivantes : - diagramme de N : la lettre C ou T, selon qu"il s"agisse d"un effort de compression ou d"un effort de traction. - diagramme de T : le sens de la rotation provoquée par l"effort (voir dia- gramme de T). - diagramme de M : on peut ajouter un arc pour préciser le sens de la courbure provoquée par le moment (voir diagramme de M).

F 5 2=t

A

2m 2m 1m 5t

5tm

5t C=5tm 45°

H=5t R

A=4t RA=1t

N T

M ©

5t 1t 2 7 8

Figure 1.9

4t

Introduction 9

1.8 RELATIONS CONTRAINTES-EFFORTS

Nous avons vu que les éléments

de réduction dans une section repré- sentent l"action sur la partie de la poutre située d"un côté de cette sec- tion, des forces qui s"exercent sur l"autre partie. Ceci ne veut nullement dire que la section considérée soit soumise à des sollicitations (N - T - M - M t) concentrées en son centre de gravité (ou ailleurs). A l"intérieur d"un corps il n"y a pas d"efforts concentrés, mais uniquement des contraintes dont la sommation est équivalente aux

éléments de réduction.

Les relations entre les efforts et les contraintes se déduisent facilement (Fi- gure 1.10).

N dx x=s S

S T dy xy=t SS T dz xz=t SS (1.5) M ydz x=s SS M zdy x=s SS M y z dt xz xy= +( )t t SS (1.6)

1.9 RELATIONS DIFFERENTIELLES ENTRE q, T ET M

Considérons par exemple une poutre droite symétrique chargée dans son plan de symétrie (mais non soumise à une répartition de moments toutefois) et isolons par deux section (

S1 et S2) un

tronçon dx sur lequel agit une charge répartie transversale q (Figure 1.11).

Sur le tronçon dx, les gran-

deurs T et M subissent les va- riations dT et dM. L"équilibre du tronçon est régi par les

équations de la statique.

L"équation d"équilibre de translation verticale s"écrit :

SFv = 0 d"où on tire : q = - dT/dx (1.7a)

A partir de l"équation de l"équilibre de rotation, on obtient :

SM/o = 0 d"où on tire : T = dM/dx (1.7b)

et d"après (1.7a) : q = - d

2M/dx2 (1.7c)

Les relations (1.7) permettent de tirer quelques enseignements qui facilitent la construction et le contrôle des diagrammes de T et de M. On peut en déduire essentiellement :

Figure 1.10

S z x y txz txy sx S1 S2 q M T dx M+dM T+dT

Figure 1.11

O

10 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

1- L"effort tranchant est la tangente de l"angle formé par la tangente au dia-

gramme de M au niveau de la section considérée et l"axe longitudinal de la poutre. De même, la valeur absolue de la charge répartie représente la tan-quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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